高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时2 导数与函数的极值、最值课件 文.ppt

3 2导数的应用 课时2导数与函数的极值 最值 内容索引 题型一用导数解决函数极值问题 题型二用导数求函数的最值 题型三函数极值和最值的综合问题 答题模板系列 练出高分 思想方法感悟提高 题型一用导数解决函数极值问题 题型一用导数解决函数极值问题 命题点1根据函数图象判断极值 例1设函数f x 在r上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图象如图所示 则函数f x 的极大值 极小值分别是 解析由题图可知 当x0 当 22时 f x 0 由此可以得到函数f x 在x 2处取得极大值 在x 2处取得极小值 f 2 f 2 解析答案 命题点2求函数的极值 解析答案 当a 0时 随着x的变化 f x 与f x 的变化情况如下 解析答案 当a 0时 随着x的变化 f x 与f x 的变化情况如下 命题点3已知极值求参数例3 1 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 则a b 解析由题意得f x 3x2 6ax b 经检验当a 1 b 3时 函数f x 在x 1处无法取得极值 而a 2 b 9满足题意 故a b 7 7 解析答案 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 1 求函数f x 极值的步骤 确定函数的定义域 求导数f x 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在x0处取极大值 如果左负右正 那么f x 在x0处取极小值 2 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调函数没有极值 3 当x0 当x 1时 y 0 当x 1时 y取极大值 3 跟踪训练1 解析答案 解析答案 返回 2 2015 陕西 函数y xex在其极值点处的切线方程为 解析设y f x xex 令y ex xex ex 1 x 0 得x 1 当x 1时 y 0 当x 1时 y 0 故x 1为函数f x 的极值点 切线斜率为0 题型二用导数求函数的最值 题型二用导数求函数的最值 1 当a 1时 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 解析答案 即x 4y 4ln2 4 0 2 求f x 在区间 0 e 上的最小值 解析答案 思维升华 令f x 0 得x a 若a 0 则f x 0 f x 在区间 0 e 上单调递增 此时函数f x 无最小值 若00 函数f x 在区间 a e 上单调递增 所以当x a时 函数f x 取得最小值lna 解析答案 思维升华 若a e 则当x 0 e 时 f x 0 函数f x 在区间 0 e 上单调递减 综上可知 当a 0时 函数f x 在区间 0 e 上无最小值 当0 a e时 函数f x 在区间 0 e 上的最小值为lna 思维升华 思维升华 求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 解析由题意知 当x 0 2 时 f x 的最大值为 1 1 跟踪训练2 解析答案 返回 题型三函数极值和最值的综合问题 题型三函数极值和最值的综合问题 1 求f x 的单调区间 解析答案 令g x ax2 2a b x b c 因为ex 0 所以y f x 的零点就是g x ax2 2a b x b c的零点 且f x 与g x 符号相同 又因为a 0 所以 30 即f x 0 当x0时 g x 0 即f x 0 所以f x 的单调递增区间是 3 0 单调递减区间是 3 0 2 若f x 的极小值为 e3 求f x 在区间 5 上的最大值 解析答案 思维升华 解由 1 知 x 3是f x 的极小值点 解得a 1 b 5 c 5 因为f x 的单调递增区间是 3 0 单调递减区间是 3 0 解析答案 思维升华 所以f 0 5为函数f x 的极大值 故f x 在区间 5 上的最大值取f 5 和f 0 中的最大者 所以函数f x 在区间 5 上的最大值是5e5 思维升华 思维升华 求函数在无穷区间 或开区间 上的最值 不仅要研究其极值情况 还要研究其单调性 并通过单调性和极值情况 画出函数的大致图象 然后借助图象观察得到函数的最值 设函数f x ax3 3x 1 x r 若对于任意x 1 1 都有f x 0成立 则实数a的值为 跟踪训练3 解析答案 返回 解析若x 0 则不论a取何值 f x 0显然成立 返回 g x 在区间 1 0 上单调递增 g x min g 1 4 从而a 4 综上可知a 4 答题模板系列 典例 14分 已知函数f x lnx ax a r 1 求函数f x 的单调区间 思维点拨 1 已知函数解析式求单调区间 实质上是求f x 0 f x 0的解区间 并注意定义域 2 先研究f x 在 1 2 上的单调性 再确定最值是端点值还是极值 3 两小问中 由于解析式中含有参数a 要对参数a进行分类讨论 答题模板系列 3 利用导数求函数的最值问题 解析答案 思维点拨 规范解答 解析答案 综上可知 当a 0时 函数f x 的单调递增区间为 0 2 当a 0时 求函数f x 在 1 2 上的最小值 答题模板 解析答案 返回 温馨提醒 规范解答 所以f x 的最小值是f 2 ln2 2a 7分 所以f x 的最小值是f 1 a 9分 答题模板 解析答案 温馨提醒 综上可知 当0 a ln2时 函数f x 的最小值是 a 当a ln2时 函数f x 的最小值是ln2 2a 14分 又f 2 f 1 ln2 a 答题模板 温馨提醒 答题模板 用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题第一步 求导数 求函数f x 的导数f x 第二步 求极值 求f x 在给定区间上的单调性和极值 第三步 求端点值 求f x 在给定区间上的端点值 第四步 求最值 将f x 的各极值与f x 的端点值进行比较 确定f x 的最大值与最小值 第五步 反思 反思回顾 查看关键点 易错点和解题规范 温馨提醒 1 本题考查求函数的单调区间 求函数在给定区间 1 2 上的最值 属常规题型 2 本题的难点是分类讨论 考生在分类时易出现不全面 不准确的情况 3 思维不流畅 答题不规范 是解答中的突出问题 温馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求闭区间上可导函数的最值时 对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断 直接与端点的函数值比较即可 3 当连续函数的极值点只有一个时 相应的极值必为函数的最值 4 求极值 最值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大小 方法与技巧 1 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有条理 减少失分的可能 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 3 函数在给定闭区间上存在极值 一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 当函数y x 2x取极小值时 x 解析令y 2x x 2xln2 0 15 解析答案 2 函数y lnx x在x 0 e 上的最大值为 解析函数y lnx x的定义域为 0 1 当x 0 1 时 y 0 函数单调递增 当x 1 e 时 y 0 函数单调递减 当x 1时 函数取得最大值 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 函数f x x3 3x 1 若对于区间 3 2 上的任意x1 x2 都有 f x1 f x2 t 则实数t的最小值是 解析因为f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 所以 1 1为函数的极值点 又f 3 19 f 1 1 f 1 3 f 2 1 所以在区间 3 2 上 f x max 1 f x min 19 又由题设知在区间 3 2 上f x max f x min t 从而t 20 所以t的最小值是20 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值10 则f 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 f x x3 4x2 11x 16 f 2 18 答案18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值10 f 1 10 且f 1 0 5 已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则实数a的取值范围是 解析 f x 3x2 2ax a 6 由已知可得f x 0有两个不相等的实根 4a2 4 3 a 6 0 即a2 3a 18 0 a 6或a 3 3 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析f x x2 2x 3 f x 0 x 0 2 得x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 设a r 若函数y ex ax有大于零的极值点 则实数a的取值范围是 解析 y ex ax y ex a 函数y ex ax有大于零的极值点 则方程y ex a 0有大于零的解 x 0时 ex 1 a ex 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 函数f x x3 3a2x a a 0 的极大值是正数 极小值是负数 则a的取值范围是 解析f x 3x2 3a2 3 x a x a 由f x 0得x a 当 aa或x0 函数递增 f a a3 3a3 a 0且f a a3 3a3 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 设f x a x 5 2 6lnx 其中a r 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与y轴相交于点 0 6 1 确定a的值 解因为f x a x 5 2 6lnx 令x 1 得f 1 16a f 1 6 8a 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y 16a 6 8a x 1 由点 0 6 在切线上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 求函数f x 的单调区间与极值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 令f x 0 解得x 2或3 当03时 f x 0 故f x 在 0 2 3 上为增函数 当2 x 3时 f x 0 故f x 在 2 3 上为减函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 在x 3处取得极小值f 3 2 6ln3 综上 f x 的单调增区间为 0 2 3 单调减区间为 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 解由题意知f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 随x的变化情况如下表 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解当k 1 0 即k 1时 f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上 当k 1时 f x 在 0 1 上的最小值为f 0 k 当1 k 2时 f x 在 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 2时 f x 在 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由题意得g x 0恒成立 所以x 0 所以不等式的解集为 0 0 12 若函数y f x 的导函数y f x 的图象如图所示 则y f x 的图象可能为 解析根据f x 的符号 f x 图象应该是先下降后上升 最后下降 排除 从适合f x 0的点可以排除 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 13 函数f x x3 3ax b a 0 的极大值为6 极小值为2 则f x 的单调递减区间是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 则f x f x 随x的变化情况如下表 所以f x 的单调递减区间是 1 1 答案 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 若函数f x x3 3x在 a 6 a2 上有最小值 则实数a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析f x 3x2 3 0 得x 1 且x 1为函数的极小值点 x 1为函数的极大值点 函数f x 在区间 a 6 a2 上有最小值 则函数f x 极小值点必在区间 a 6 a2 内 即实数a满足a 1 6 a2且f a a3 3a f 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 不等式a3 3a f 1 2 即a3 3a 2 0 即a3 1 3 a 1 0 即 a 1 a2 a 2 0 即 a 1 2 a 2 0 即a 2 故实数a的取值范围是 2 1 答案 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 15 已知函数f x ax 2 ex在x 1处取得极值