高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 曲线与方程课件 理.ppt

第九章平面解析几何 9 8曲线与方程 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 曲线与方程一般地 如果曲线c上点的坐标 x y 都是方程f x y 0的解 且以方程f x y 0的解 x y 为坐标的点都在曲线c上 那么 方程f x y 0叫做 曲线c叫做 2 求动点的轨迹方程的一般步骤 1 建系 建立适当的坐标系 2 设点 设轨迹上的任一点p x y 曲线c的方程 方程f x y 0的曲线 知识梳理 1 答案 3 列式 列出动点p所满足的关系式 4 代换 依条件式的特点 选用距离公式 斜率公式等将其转化为x y的方程式 并化简 5 证明 证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 2 两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解 可见 求曲线的交点问题 就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题 4 圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点f和到一条定直线l f不在l上 的距离的比等于常数e的点的轨迹 当时 它表示椭圆 当时 它表示双曲线 当时 它表示抛物线 其中e是圆锥曲线的离心率 定点f是圆锥曲线的焦点 定直线l是圆锥曲线的准线 0 e 1 e 1 e 1 答案 答案 思考辨析 它表示直线x y 1 0和圆x2 y2 4 0在直线x y 1 0右上方的部分 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知点p是直线2x y 3 0上的一个动点 定点m 1 2 q是线段pm延长线上的一点 且pm mq 则q点的轨迹方程是 解析由题意知 m为pq中点 设q x y 则p为 2 x 4 y 代入2x y 3 0得2x y 5 0 2x y 5 0 解析答案 1 2 3 4 5 p点的轨迹为线段f1f2 当a 3 a 0时 pf1 pf2 f1f2 由椭圆定义知p点的轨迹为椭圆 椭圆或线段 解析答案 1 2 3 4 5 4 教材改编 和点o 0 0 a c 0 距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为 解析设p x y 为轨迹上一点 则x2 y2 x c 2 y2 c 2x2 2y2 2cx c2 c 0 2x2 2y2 2cx c2 c 0 解析答案 1 2 3 4 5 x 2 2 y2 4 0 x 1 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1已知圆m x 1 2 y2 1 圆n x 1 2 y2 9 动圆p与圆m外切并且与圆n内切 圆心p的轨迹为曲线c 求c的方程 题型一定义法求轨迹方程 解析答案 思维升华 解由已知得圆m的圆心为m 1 0 半径r1 1 圆n的圆心为n 1 0 半径r2 3 设圆p的圆心为p x y 半径为r 因为圆p与圆m外切并且与圆n内切 所以pm pn r r1 r2 r r1 r2 4 2 mn 由椭圆的定义可知 曲线c是以m n为左 右焦点 长半轴长为2 思维升华 思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式 由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线 再设出标准方程 用待定系数法求解 已知两个定圆o1和o2 它们的半径分别是1和2 且o1o2 4 动圆m与圆o1内切 又与圆o2外切 建立适当的坐标系 求动圆圆心m的轨迹方程 并说明轨迹是何种曲线 跟踪训练1 解析答案 解如图所示 以o1o2的中点o为原点 o1o2所在直线为x轴建立平面直角坐标系 由o1o2 4 得o1 2 0 o2 2 0 设动圆m的半径为r 则由动圆m与圆o1内切 有mo1 r 1 由动圆m与圆o2外切 有mo2 r 2 mo2 mo1 3 点m的轨迹是以o1 o2为焦点 实轴长为3的双曲线的左支 解析答案 命题点1已知动点满足的关系式求轨迹方程 或判断轨迹 题型二直接法求轨迹方程 解析答案 解析答案 解析答案 设点m的坐标为 x y 解析答案 解析答案 命题点2无明确等量关系求轨迹方程 1 求椭圆c的标准方程 所以a 3 b2 a2 c2 4 解析答案 2 若动点p x0 y0 为椭圆c外一点 且点p到椭圆c的两条切线相互垂直 求点p的轨迹方程 解析答案 思维升华 解设两切线为l1 l2 当l1 x轴或l1 x轴时 对应l2 x轴或l2 x轴 可知p 3 2 当l1与x轴不垂直且不平行时 x0 3 得 9k2 4 x2 18 y0 kx0 kx 9 y0 kx0 2 36 0 解析答案 思维升华 因为直线l1与椭圆c相切 所以 0 得9 y0 kx0 2k2 9k2 4 y0 kx0 2 4 0 所以 36k2 4 y0 kx0 2 4 0 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略 1 题目给出等量关系 求轨迹方程 直接代入即可得出方程 2 题中未明确给出等量关系 求轨迹方程 可利用已知条件寻找等量关系 得出方程 解析答案 跟踪训练2 解析以ab所在直线为x轴 ab的中垂线为y轴 建立坐标系 设m x y a a 0 b a 0 则n x 0 所以y2 x a a x 即 x2 y2 a2 当 1时 轨迹是圆 当 0且 1时 轨迹是椭圆 当 0时 轨迹是双曲线 当 0时 轨迹是直线 综上 动点m的轨迹不可能是抛物线 答案 解析答案 求动点p的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 解析答案 题型三相关点法求轨迹方程 例4设直线x y 4a与抛物线y2 4ax交于两点a b a为定值 c为抛物线上任意一点 求 abc的重心的轨迹方程 解析答案 思维升华 解设 abc的重心为g x y 点c的坐标为 x0 y0 a x1 y1 b x2 y2 消去y并整理得 x2 12ax 16a2 0 x1 x2 12a y1 y2 x1 4a x2 4a x1 x2 8a 4a 解析答案 思维升华 g x y 为 abc的重心 又点c x0 y0 在抛物线上 将点c的坐标代入抛物线的方程得 3y 4a 2 4a 3x 12a 解析答案 思维升华 又点c与a b不重合 思维升华 思维升华 相关点法 的基本步骤 1 设点 设被动点坐标为 x y 主动点坐标为 x1 y1 3 代换 将上述关系式代入已知曲线方程 便可得到所求动点的轨迹方程 跟踪训练3 解析答案 返回 解设m x0 0 p 0 y0 n x y 解析答案 故所求的点n的轨迹方程是y2 4x 返回 思想与方法系列 典例 16分 如图 在正方形oabc中 o为坐标原点 点a的坐标为 10 0 点c的坐标为 0 10 分别将线段oa和ab十等分 分点分别记为a1 a2 a9和b1 b2 b9 连结obi 过ai作x轴的垂线与obi交于点pi i n 1 i 9 1 求证 点pi i n 1 i 9 都在同一条抛物线上 并求该抛物线e的方程 20 利用参数法求轨迹方程 思想与方法系列 解析答案 规范解答方法一解依题意 过ai i n 1 i 9 且与x轴垂直的直线方程为x i bi的坐标为 10 i 所以点pi i n 1 i 9 都在同一条抛物线上 且抛物线e的方程为x2 10y 6分 解析答案 方法二解点pi i n 1 i 9 都在抛物线e x2 10y上 证明如下 过ai i n 1 i 9 且与x轴垂直的直线方程为x i bi的坐标为 10 i 所以点pi的坐标都满足方程x2 10y 所以点pi i n 1 i 9 都在同一条抛物线上 且抛物线e的方程为x2 10y 6分 2 过点c作直线l与抛物线e交于不同的两点m n 若 ocm与 ocn的面积比为4 1 求直线l的方程 解析答案 温馨提醒 返回 解依题意知 直线l的斜率存在 设直线l的方程为y kx 10 此时 100k2 400 0 直线l与抛物线e恒有两个不同的交点m n 8分 解析答案 温馨提醒 因为s ocm s ocn 4 1 所以s ocm 4s ocn 所以 x1 4 x2 又x1 x2 0 所以x1 4x2 即3x 2y 20 0或3x 2y 20 0 16分 温馨提醒 参数法求轨迹方程的步骤 1 选取参数k 用k表示动点m的坐标 3 消去参数k 得m的轨迹方程 4 由k的范围确定x y的范围 返回 温馨提醒 思想方法感悟提高 求轨迹的常用方法 1 直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量 如距离与角 的等量关系 或这些几何条件简单明了且易于表达 我们只需把这种关系转化为x y的等式就得到曲线的轨迹方程 2 待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 先根据条件设出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 方法与技巧 3 定义法 其动点的轨迹符合某一基本轨迹 如直线或圆锥曲线 的定义 则可根据定义采用设方程 求方程系数得到动点的轨迹方程 4 代入法 相关点法 当所求动点m是随着另一动点p 称之为相关点 而运动时 如果相关点p所满足某一曲线方程 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标 再把相关点代入曲线方程 就是把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程 这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法 1 求轨迹方程时 要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的 检验可从以下两个方面进行 一是方程的化简是不是同解变形 二是是否符合题目的实际意义 2 求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求 求轨迹时 应先求轨迹方程 然后根据方程说明轨迹的形状 位置 大小等 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 平面上动点p到定点f与定直线l的距离相等 且点f与直线l的距离为1 某同学建立直角坐标系后 得到点p的轨迹方程为x2 2y 1 则他的建系方式是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以该同学的建系方式是 答案 解析因为点p的轨迹方程为x2 2y 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若曲线c上存在点m 使m到平面内两点a 5 0 b 5 0 距离之差的绝对值为8 则称曲线c为 好曲线 以下曲线不是 好曲线 的是 填序号 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 m到平面内两点a 5 0 b 5 0 距离之差的绝对值为8 解析答案 中 直线x y 5过点 5 0 故直线与m的轨迹有交点 满足题意 中 x2 y2 9的圆心为 0 0 半径为3 与m的轨迹没有交点 不满足题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综上 中的曲线不是 好曲线 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 点r x1 y1 在直线y 2x 4上 y1 2x1 4 y 2 2 x 4 即y 2x 答案y 2x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 已知 abc的顶点a 5 0 b 5 0 abc的内切圆圆心在直线x 3上 则顶点c的轨迹方程是 解析如图 ad ae 8 bf be 2 cd cf 所以ca cb 8 2 6 10 ab 根据双曲线定义 所求轨迹是以a b为焦点 实轴长为6的双曲线的右支 y 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又 1 2 1 x 2y 5 0表示一条直线 直线 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 已知两定点a 2 0 b 1 0 如果动点p满足pa 2pb 则点p的轨迹所包围的图形的面积为 解析设p x y 由pa 2pb 3x2 3y2 12x 0 即x2 y2 4x 0 p的轨迹为以 2 0 为圆心 半径为2的圆 即轨迹所包围的图形的面积等于4 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析因为原点o到两个定点f1 1 0 f2 1 0 的距离的积是1 且a 1 所以曲线c不过原点 即 错误 因为f1 1 0 f2 1 0 关于原点对称 所以pf1 pf2 a2对应的轨迹关于原点对称 即 正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解以bc的中点为原点 中垂线为y轴 建立如图所示的坐标系 e f分别为两个切点 则be bd cd cf ae af 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 在圆o x2 y2 4上任取一点p 过点p作x轴的垂线段pd d为垂足 设m为线段pd的中点 1 当点p在圆o上运动时 求点m的轨迹e的方程 解设m x y 则p x 2y 点p在圆x2 y2 4上 x2 2y 2 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若圆o在点p处的切线与x轴交于点n 试判断直线mn与轨迹e的位置关系 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解当直线pn的斜率不存在时 直线mn的方程为x 2或x 2 显然与轨迹e相切 当直线pn的斜率存在时 设pn的方程为y kx t k 0 即t2 4k2 4 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2kt 2 4 1 k2 t2 4 4 t2 4k2 4 0 直线mn与轨迹e相切 综上可知 直线mn与轨迹e相切 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 动点p在直线x 1上运动 o为坐标原点 以op为直角边 点o为直角顶点作等腰直角三角形opq 则动点q的轨迹是 解析设q x y p 1 y0 由题意知op oq 化简即y2 1 y 1 表示两条平行直线 两条平行直线 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析过p作pq ad于q 再过q作qh a1d1于h 连结ph pm 可证ph a1d1 设p x y 由ph2 pm2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 2015 浙江 如图 斜线段ab与平面 所成的角为60 b为斜足 平面 上的动点p满足 pab