全国高考数学复习阶段检测试题(四)理.docx

阶段检测试题(四)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的结构特征1几何体的三视图和直观图2几何体的表面积和体积4,9,14,19点线面的位置关系3,7,8平行或垂直的判定与证明6,13,18空间角和距离10,11,15,16,20综合问题5,12,17,21,22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列说法正确的是(D)(A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱(C)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥(D)棱台各侧棱的延长线交于一点解析:棱台也有两个面平行,其余各面都是四边形,所以排除A;有两个面平行,其余各面中相邻两面的公共边不一定都平行,如图(1)几何体就不是棱柱.排除B.又据图(2)排除C;只有D符合棱台的定义.2.(2016全国卷) 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(B)(A)18+36(B)54+18(C)90(D)81解析:由三视图知此多面体是一个斜四棱柱,其表面积S=2(33+36+33)=54+18.故选B.3.(2016嘉兴月考)对于空间的两条直线m,n和一个平面,下列命题中的真命题是(D)(A)若m,n,则mn(B)若m,n,则mn(C)若m,n,则mn(D)若m,n,则mn解析:对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故选项A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故选项B错误;对C,m与n垂直而非平行,故选项C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故选项D正确.4.(2015山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(B)(A) (B)(C)2(D)4解析:由题意,该几何体可以看作是两个底面半径为,高为的圆锥的组合体,其体积为2()2=.5.水以匀速注入某容器中,容器的三视图如图所示,其中与题中容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象是(C)解析:由三视图知其直观图为两个圆台的组合体,水是匀速注入的,所以水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大,又因为容器的对称性,所以函数图象关于一点中心对称.故选C.6. (2016铜川质检)如图,直线PA垂直于圆O所在的平面,ABC内接于圆O,且AB为圆O的直径,点M为线段PB的中点.现有以下命题:BCPC;OM平面APC;点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中真命题的个数为(D)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:易证BC平面PAC,所以BCPC;OMPA,易证OM平面APC;因为BC平面PAC,所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长;故都正确.7.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三个向量共面,则实数等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:由于a,b,c三个向量共面,所以存在实数m,n使得c=ma+nb,即有解得m=,n=,=.8.(2014辽宁卷)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是(B)(A)若m,n,则mn(B)若m,n,则mn(C)若m,mn,则n(D)若m,mn,则n解析:对于选项A,若m,n,则m与n可能相交、平行或异面,A错误;显然选项B正确;对于选项C,若m,mn,则n或n,C错误;对于选项D,若m,mn,则n或n或n与相交,D错误.故选B.9.(2016银川一模)一平面截一球得到直径为2 cm的圆面,球心到这个平面的距离是2 cm,则该球的体积是(B)(A)12 cm3 (B)36 cm3(C)64 cm3(D)108 cm3解析:由题意可知,球的半径R=3(cm),所以球的体积V=R3=33=36(cm3).10. 导学号 18702413已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BDE的距离为(D)(A)2(B)(C)(D)1解析: 如图,连接AC,交BD于O,连接OE,在CC1A中,易证OEAC1.从而AC1平面BDE,所以直线AC1到平面BDE的距离即为点A到平面BDE的距离,设为h.由等体积法,得=SBDEh=SABDEC=22=.又因为在BDE中,BD=2,BE=DE=,所以OE=2,所以SBDE=22=2.所以h=1.故选D.11.已知平面截一球面得圆M,过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4,则圆N的面积为(D)(A)7(B)9(C)11(D)13解析: 如图,由题意可知AMN=60,设球心为O,连接ON,OM,OB,OC,则ONCD,OMAB,且OB=4,OC=4.在圆M中,因为MB2=4,所以MB=2.在OMB中,OB=4,所以OM=2.在MNO中,OM=2,NMO=90-60=30,所以ON=.在CNO中,ON=,OC=4,所以CN=,所以S=CN2=13.故选D.12. 导学号 18702415如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为(A)(A) (B)(C)(D)解析: 根据正方体的几何特征知,平面ACD1是边长为的正三角形,且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点,故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,由图得ACD1内切圆的半径是tan 30=,故所求的截面圆的面积是()2=.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.假设平面平面=EF,AB,CD,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BDEF,现有下面四个条件:AC;AC与,所成的角相等;AC与BD在内的射影在同一条直线上;ACEF.其中能成为增加条件的是 .(把你认为正确的条件序号都填上)解析:如果AB与CD在一个平面内,可以推出EF垂直于该平面,又BD在该平面内,所以BDEF.故要证BDEF,只需AB,CD在一个平面内即可,只有能保证这一条件.答案:14.已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.解析:正四棱锥O-ABCD中,顶点O在底面的射影为底面中心E,则()2OE=,所以OE=,故球半径OA=,从而球的表面积为24.答案:2415.(2016郑州质检)正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角的大小为.解析:以O为原点,向 量,向量为x,y,z轴正方向,SO为一个单位长度建立空间直角坐标系,则有A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),S(0,0,1),D(0,-1,0),P(0,-,),向量=(-1,-1,0),向量=(-1,-),=(-2,0,0),设n=(x,y,z)是平面PAC的法向量,所以令z=1,x=0,y=1,所以n=(0,1,1),cos=-.所以BC与平面PAC所成角为30.答案:3016. 导学号 18702416如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1上的点,则点E到平面ABC1D1的距离是.解析:以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设点E(1,a,1)(0a1),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),=(1,a,0),=(0,1,0),=(-1,1,1),设n=(x,y,z)是平面ABC1D1的法向量,则n=0,n=0.所以解得x=1,z=1.所以n=(1,0,1),所以E点到平面ABC1D1的距离d=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17. (本小题满分10分) (2015安徽卷)如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求的值.(1)解:由题设AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=ABACsin 60=.由PA平面ABC,可知PA是三棱锥PABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=SABCPA=.(2)证明: 如图,在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MNPA交PC于点M,连接BM.由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,故AC平面MBN,又BM平面MBN,所以ACBM.在RtBAN中,AN=ABcos BAC=,从而NC=AC-AN=,由MNPA,得=.18.(本小题满分12分)设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,ab以及a与b所成角的余弦值,并确定,的关系,使a+b与z轴垂直.解:因为2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(12,13,16),3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28),ab=(3,5,-4)(2,1,8)=32+51-48=-21,|a|=,|b|=,所以cos=-.因为(a+b)(0,0,1)=(3+2,5+,-4+8)(0,0,1)=-4+8=0,所以只要,满足=2即可使a+b与z轴垂直.19.(本小题满分12分) 导学号 18702417如图,正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直,点E在线段AB上,AB=2AD=6.(1)若AE=EB,求证:BM平面NDE;(2)若BE=2EA,求三棱锥MDEN的体积.(1)证明:连接AM,AMND=F,四边形ADMN为正方形,则F是AM的中点.又因为EA=EB,连接EF,则EF为ABM的中位线,所以EFBM.又因为BM平面NDE,EF平面NDE,所以BM平面NDE.(2)解:当BE=2EA时,E为AB的三等分点.所以AE=AB=2,MN=MD=3,可证得AE平面ADMN.所以=SMNDAE=MNMDAE=332=3.20.(本小题满分12分) 如图所示,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.ABCD,ABBC,AB=2CD=2BC,EAEB.(1)求证:ABDE;(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值.(1)证明:取AB的中点O,连接EO,DO.因为EB=EA,所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,ABBC,所以四边形OBCD为正方形,所以ABOD.又EOOD=O,所以AB平面EOD.因为ED平面EOD,所以ABED.(2)解:法一因为平面ABE平面ABCD,且ABBC,所以BC平面ABE.则CEB即为直线EC与平面ABE所成的角.设BC=a,则AB=2a,BE=a,所以CE=a.则在直角三角形CBE中,sin CEB=,即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.法二因为平面ABE平面ABCD,且EOAB,所以EO平面ABCD,所以EOOD.由OB,OD,OE两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系.因为EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE.设OB=1,则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).所以=(1,1,-1),平面ABE的一个法向量为=(0,1,0).设直线EC与平面ABE所成的角为,所以sin =|cos|=.即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.21.(本小题满分12分) 导学号 18702418如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B平面ABC,ABAC.(1)求证:ACBB1;(2)若AB=AC=A1B=2,在棱B1C1上确定一点P,使二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为A1B平面ABC,A1B平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面ABC.因为平面ABB1A1平面ABC=AB,ABAC,所以AC平面ABB1A1,所以ACBB1.(2)解: 如图所示,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),=(2,-2,0).设=(2,-2,0),0,1,则P(2,4-2,2).设平面PAB的一个法向量为n1=(x,y,z),因为=(2,4-2,2),=(0,2,0),所以即所以令x=1,得n1=(1,0,-).而平面ABA1的一个法向量是n2=(1,0,0),所以|cos|=,解得=,即P为棱B1C1的中点.22.(本小题满分12分)导学号 18702419如图(1),直角梯形ABCD中,ABCD,DAB=90,点M,N分别在AB,CD上,且MNAB,MCCB,BC=2,MB=4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直(如图(2).(1)求证:AB平面DNC;(2)当DN的长为何值时,二面角D-BC-N的大小为30.(1)证明:因为MBNC,MB平面DNC,NC平面DNC,所以MB平面DNC.同理MA平面DNC,又MAMB=M,且MA,MB平面MAB.所以平面MAB平面NCD,又AB平面MAB,所以AB平面DNC.(2)解:法一过N作NHBC交BC延长线于H,连DH(图略),因为平面AMND平面MNCB,交线为MN,DNMN,所以DN平面MNCB,BC平面MNCB,所以DNBC,所以BC平面DNH,从而DHBC,所以DHN为二面角D-BC-N的平面角.所以DHN=30,由MB=4,BC=2,