高三数学 名校尖子生培优大专题 数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨教案 新人教A版.doc

数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨38讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。数学上证明与自然数n有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与自然数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。一般地，在高中数学中证明一个与自然数n有关的命题p(n），有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（kn0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（n0），命题p(n）都成立。结合2012年全国各地高考的实例探讨反证法和数学归纳法的应用：一、反证法的应用：典型例题：例1：（对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称x具有性质p. 例如具有性质p. （1）若2，且，求的值；（4分） （2）若x具有性质p，求证：1x，且当n1时，1=1；（6分） （3）若x具有性质p，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）【答案】解：（1）选取，则y中与垂直的元素必有形式。 ，从而=4。 （2）证明：取，设满足。 由得，、异号。 1是x中唯一的负数，所以、中之一为1，另一为1。故1x。假设，其中，则。选取，并设满足，即。则、异号，从而、之中恰有一个为1。若=1，则，矛盾；若=1，则，矛盾.=1。 （3）猜测，i=1, 2, , 。 记，=2, 3, , 。 先证明：若具有性质p，则也具有性质p。 任取，、.当、中出现1时，显然有满足。 当且时，、1。 具有性质p，有，、，使得。从而和中有一个是1，不妨设=1，假设且，则。由，得，与矛盾。，从而也具有性质p。现用数学归纳法证明：，i=1, 2, , 。当=2时，结论显然成立。 假设时，有性质p，则，i=1, 2, , ； 则当时，若有性质p，则 也有性质p，所以。 取，并设满足，即。由此可得与中有且只有一个为1。 若，则，所以，这不可能； ，又，所以。 综上所述，i=1, 2, , 。 【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。【解析】（1）根据题设直接求解。 （2）用反证法给予证明。 （3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质p，则也具有性质p，再用数学归纳法证明猜测，i=1, 2, , 。例2：设a是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。对于as(m，n)，记ri(a)为a的第行各数之和（1m），cj(a)为a的第j列各数之和（1jn）；记k(a)为r1(a),r2(a),rm(a),c1(a),c2(a),cn(a)中的最小值。（1）对如下数表a，求的值；110.80.10.31（2）设数表as（2,3）形如11cab1求的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的as（2，2t+1），求的最大值。【答案】解：（1）由题意可知， 。（2）先用反证法证明：若，则，（无解）。同理可知。由题设所有数和为0，即，解得，与题设矛盾。易知当时，存在。的最大值为1。（3）的最大值为。首先构造满足的：，。经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，。下面证明是最大值。若不然，则存在一个数表as（2，2t+1），使得。由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于。设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则。另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）。因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾。因此的最大值为。【考点】逻辑推理，反证法的应用。【解析】（1）根据ri（a）为a的第i行各数之和（i=1，2），c j（a）为a的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（a）|，|r2（a）|，|c1（a）|，|c2（a）|，|c3（a）|中的最小值可即为所求。 （2）用反证法证明。 （3）先构造满足的，用反证法证明是最大值。例3：已知各项均为正数的两个数列和满足：，（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 数列是以1 为公差的等差数列。（2），。 。（） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，当时，与（）矛盾。 若则，当时，与（）矛盾。 综上所述，。，。 又，是公比是的等比数列。 若，则，于是。 又由即，得。 中至少有两项相同，与矛盾。 。 。【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。 （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。二、数学归纳法的应用：例1：（对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称x具有性质p. 例如具有性质p. （1）若2，且，求的值；（4分） （2）若x具有性质p，求证：1x，且当n1时，1=1；（6分） （3）若x具有性质p，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）【答案】解：（1）选取，则y中与垂直的元素必有形式。 ，从而=4。 （2）证明：取，设满足。 由得，、异号。 1是x中唯一的负数，所以、中之一为1，另一为1。故1x。假设，其中，则。选取，并设满足，即。则、异号，从而、之中恰有一个为1。若=1，则，矛盾；若=1，则，矛盾.=1。 （3）猜测，i=1, 2, , 。 记，=2, 3, , 。 先证明：若具有性质p，则也具有性质p。 任取，、.当、中出现1时，显然有满足。 当且时，、1。 具有性质p，有，、，使得。从而和中有一个是1，不妨设=1，假设且，则。由，得，与矛盾。，从而也具有性质p。现用数学归纳法证明：，i=1, 2, , 。当=2时，结论显然成立。 假设时，有性质p，则，i=1, 2, , ； 则当时，若有性质p，则 也有性质p，所以。 取，并设满足，即。由此可得与中有且只有一个为1。 若，则，所以，这不可能； ，又，所以。 综上所述，i=1, 2, , 。 【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。【解析】（1）根据题设直接求解。 （2）用反证法给予证明。 （3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质p，则也具有性质p，再用数学归纳法证明猜测，i=1, 2, , 。例2：函数。定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标。（1）证明：；（2）求数列的通项公式。【答案】解：（1），点在函数的图像上。 由所给出的两点，可知，直线斜率一定存在。直线的直线方程为。令，可求得，解得。下面用数学归纳法证明：当时，满足，假设时，成立，则当时，由得，即，。也成立。综上可知对任意正整数恒成立。下面证明：，由得，。即。综上可知恒成立。