全效学习（浙江专版）中考数学总复习 第29课时 圆的有关性质课件.ppt

第九单元圆 第29课时圆的有关性质 a 2 cb 4 bc 4 ad b c 小题热身 图29 1 a 2 2014 台州 从下列直角三角板与圆弧的位置关系中 可判断圆弧为半圆的是 3 2015 杭州 圆内接四边形abcd中 已知 a 70 则 c a 20 b 30 c 70 d 110 b d 4 2015 长沙 如图29 2 ab是 o的直径 点c是 o上的一点 若bc 6 ab 10 od bc于点d 则od的长为 图29 2 4 一 必知8知识点1 圆的有关概念定义 在同一平面内 线段op绕它固定的一个端点o旋转一周 另一个端点p所经过的封闭曲线叫做圆 定点o叫做 线段op叫做 圆的集合定义 圆是到定点的距离等于 的点的集合 圆的有关概念 连结圆上任意两点的线段叫做 经过圆心的弦叫做 圆上任意两点间的部分叫做 大于半圆的弧叫做 小于半圆的弧叫做 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧 每一条弧都叫做 考点管理 圆心 圆的半径 定长 弦 直径 弧 优弧 劣弧 半圆 2 点和圆的位置关系如果圆的半径是r 点到圆心的距离为d 那么 1 点在圆外 2 点在圆上 3 点在圆内 3 确定圆的条件确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定 个圆 三角形的外接圆 经过三角形各个顶点的圆 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心 三角形叫圆的内接三角形 d r d r d r 一 智慧锦囊 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 锐角三角形的外心在三角形的 直角三角形的外心是 钝角三角形的外心在三角形的 内部 直角三角形 外部 斜边的中点 4 圆的对称性圆既是一个轴对称图形又是一个 对称图形 圆还具有旋转不变性 5 垂径定理及其推论垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的 推论 1 平分弦 非直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 中心 弧 智慧锦囊 用垂径定理进行计算或证明时 常常连结半径或作出弦心距 构造直角三角形求解 6 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系圆心角定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧 所对的弦 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦 两个弦心距中有一对量相等 那么它们所对应的其余各对量都相等 7 圆周角圆周角 顶点在圆上 它的两边都和圆相交的角 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对的弧上圆心角度数的 相等 相等 一半 推论 1 半圆 或直径 所对的圆周角是 角 2 90 的圆周角所对的弦是 3 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 相等的圆周角所对的弧 8 圆内接四边形圆内接四边形 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上 那么这个四边形叫做圆内接四边形 这个圆叫做四边形的外接圆 性质 圆内接四边形的对角互补 直 直径 相等 二 必会2方法1 添加辅助线 1 有关弦的问题 常作其弦心距 构造直角三角形 如图29 3 2 有关直径的问题 常作直径所对的圆周角 如图29 4 图29 3 图29 4 2 分类讨论在圆中 常涉及到分类讨论 如一条弦所对的弧有优弧和劣弧两种 则其所对的圆周角不一定相等 另外 有关于弦的问题也需要分类讨论 如有两条弦时 需要分在同侧还是异侧等 此类问题是中考的热点考题 三 必明3易错点1 弦和弧的两个端点都在圆上 但弦是线段 弧是曲线 2 直径是圆中最长的弦 半径不是弦 半圆不是直径 3 应用圆心角 弦 弧 弦心距的关系时 前提条件是 在同圆或等圆中 它提供了圆心角 弧 弦 弦心距之间的转化方法 如果没有 在同圆或等圆中 这个前提条件 在应用时推出的结论是错误的 类型之一点与圆的位置关系如图29 5 在rt abc中 c 90 ac 3 bc 4 cp cm分别是ab上的高和中线 如果圆a是以点a为圆心 半径长为2的圆 那么下列判断正确的是 a 点p m均在圆a内b 点p m均在圆a外c 点p在圆a内 点m在圆a外d 点p在圆a外 点m在圆a内 c 图29 5 解析 在rt abc中 c 90 ac 3 bc 4 ap 1 82 点p在圆a内 点m在圆a外 点悟 点与圆的位置关系的判定 根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小作出判断 2015 杭州模拟 在一个三角形中 已知ab ac 6cm bc 8cm d是bc的中点 以d为圆心作一个半径为5cm的圆 则下列说法正确的是 a 点a在 d外b 点b在 d上c 点c在 d内d 无法确定 解析 bc 8cm d是bc的中点 d的半径r 5cm 且5 4 点c在 d内 c 类型之二圆心角 弧 弦之间的关系 2014 黄石 如图29 6 a b是圆o上的两点 aob 120 c是弧ab的中点 1 求证 ab平分 oac 2 延长oa至p使得oa ap 连结pc 若圆o的半径r 1 求pc的长 解析 1 求出等边三角形aoc和等边三角形obc 推出oa ob bc ac 2 求出ac oa ap 求出 pco 90 p 30 图29 6 解 1 证明 连结oc aob 120 c是弧ab的中点 aoc boc 60 oa oc aco是等边三角形 oa ac 同理ob bc oa ac bc ob 四边形aobc是菱形 ab平分 oac 2 由 1 知oa ac 又 oa ap ap ac pac 180 oac 120 apc acp 30 例2答图 点悟 1 在同圆 或等圆 中 圆心角 或圆周角 弧 弦中只要有一组量相等 则其他对应的各组量也分别相等 利用这个性质可以将问题互相转化 达到求解或证明的目的 2 注意圆中的隐含条件 半径相等 3 注意分类讨论思想的应用 20 图29 7 变式跟进答图 类型之三垂径定理及其推论 2015 六盘水 赵州桥是我国建筑史上的一大创举 它距今约1400年 历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙 如图29 8 若桥跨度ab约为40m 主拱高cd约10m 则桥弧ab所在圆的半径r m 根据勾股定理 得r2 202 r 10 2 解得r 25 m 所以圆的半径为25m 图29 8 25 1 2015 衢州 一条排水管的截面如图29 9所示 已知排水管的半径oa 1m 水面宽ab 1 2m 某天下雨后 水管水面上升了0 2m 则此时排水管水面宽cd等于 m 1 6 图29 9 解析 连结oc 作oe ab 垂足为e 与cd交于f点 oa 1m ea 0 6m根据勾股定理得oe 0 8m ef 0 2m 则of 0 6m 在rt ocf中 of 0 6m oc 1m 得cf 0 8m 因此cd 1 6m 故答案为1 6m 变式跟进1答图 2 2015 黄岛模拟 一破损光盘如图29 10所示 测得所剩圆弧两端点间的距离ab长为8cm 弧的中点到弧所对弦的距离为2cm 则这个光盘的半径是 cm 图29 10 5 变式跟进2答图 类型之四圆周角定理及其推论 2015 德州改编 如图29 11 o的半径为1 a p b c是 o上的四个点 apc cpb 60 1 判断 abc的形状 并说明理由 2 试探究线段pa pb pc之间的数量关系 并证明你的结论 图29 11 备用图 解析 1 利用圆周角定理可得 bac cpb abc apc 而 apc cpb 60 所以 bac abc 60 从而可判断 abc的形状 2 在pc上截取pd ap 则 apd是等边三角形 然后证明 apb adc 从而bp cd 解 1 abc是等边三角形 理由如下 在 o中 bac cpb abc apc 又 apc cpb 60 abc bac 60 abc为等边三角形 2 pc pa pb 证明 在pc上截取pd ap 如答图所示 又 apc 60 apd是等边三角形 ad ap pd adp 60 即 adc 120 又 apb apc bpc 120 例4答图 adc apb 在 apb和 adc中 apb adc aas bp cd 又 pd ap cp cd pd bp ap 即pc pa pb 1 2015 深圳 如图29 12 ab为 o直径 已知 dcb 20 则 dba为 a 50 b 20 c 60 d 70 解析 ab为 o直径 acb 90 acd 90 dcb 90 20 70 dba acd 70 d 图29 12 1 求证 cf bf 2 若cd 12 ac 16 求 o的半径和ce的长 解 1 证明 ab是 o的直径 acb 90 又 ce ab ceb 90 2 90 abc a 又 c是弧bd的中点 图29 13 1 a 1 2 cf bf 2 c是弧bd的中点 bc cd 12 又 在rt abc中 ac 16 由勾股定理可得ab 20 o的半径为10 圆的计算中谨防漏解 襄阳中考 圆的半径为13cm 两弦ab cd ab 24cm cd 10cm 则两弦ab cd的距离是 a 7cmb 17cmc 12cmd 7cm或17cm 错解 如答图 作oe cd 交ab于f cd于e 连结ob od 已知cd 10cm de 5cm od 13cm