不确定离散时滞PWS 的分段广义H 2 控制器设计.doc

不确定离散时滞PWS的分段广义H2控制器设计 李江荣1，李俊民2(1. 延安大学计算机学院，陕西 延安 716000; 2. 西安电子科技大学理学院，陕西 西安710071)摘要：基于分段二次李雅普诺夫（Lyapunov）函数, 对不确定离散时滞分段系统(简称PWS)提出了广义H2稳定控制器的设计. 通过设计分段状态时滞反馈控制器, 使闭环系统在允许参数不确定范围内广义H2稳定.仿真例子验证该设计方法的有效性.关键词：离散时滞系统、状态时滞反馈控制器、H2控制、分段李雅普诺夫函数中图分类号:TP272 文献标识码:APIECEWISE H2 CONTROLLER DESIGN FOR UNCERTAIN DISCRETE-TIME-DELAY PIECEWISE SYSTEMS LI Jiang- rong1 LI Jun- min2 (1.School of Computer, Yanan University, Yanan, 716000; 2. School of Science, Xidian University, Xian, 710071 )Abstract: A generalized H2 controller design on basis of a piecewise Lyapunov function is presented for uncertain discrete-time piecewise systems. The basic idea of the proposed approach is to design a state-delay feedback controller, which ensures the generalized H2 stability of the resulting closed-loop system for all admissible uncertainties. An example is given to demonstrate the efficiency of the proposed approach.Key words: Discrete-time-delay systems, state-delay feedback controller, H2 control, piecewise Lyapunov function.引言： PWS是一类特殊的混合系统, 已经在多个领域被广泛应用和研究, 如：模糊系统、电路系统、控制系统等. PWS能近似非线性系统, 与多种形式的混合系统等价. 因此PWS是分析和设计非线性系统、混合系统的有效工具1.系统中普遍存在时滞现象，时滞是导致系统不稳定的重要因素。近年来，不确定时滞系统的H2H鲁棒控制引起许多学者的极大兴趣并得到了不少重要结果2-4。然而所得结果主要集中于线性不确定时滞系统，对非线性不确定离散时滞的控制研究还很不成熟。PWS通过划分系统状态空间,局部线性化来描述非线性系统,并在此基础上借鉴已有的线性系统理论完成对非线性系统的稳定性分析和鲁棒控制器的设计。所以对不确定离散时滞PWS的研究很有意义。文献3使用公共Lyapunov函数的方法讨论了不确定离散时滞模糊系统的鲁棒控制问题，其结果在理论上有一定的保守性。文献4给出了不确定离散时滞系统的无记忆状态反馈控制器的设计,然而其能处理的不确定性是局部的，对于大范围系统的不确定性无法满足其假设条件。本文利用分段二次Lyapunov函数的方法讨论一类受干扰的具有不确定性的离散时滞PWS广义稳定的控制问题，通过设计分段的状态时滞反馈控制器，确保闭环系统对所有的允许不确定项广义稳定，仿真实例验证该方法的正确性。系统描述和基本假设考虑下面的线性不确定离散时滞PWS系统：, 其中是系统的第个状态子空间,且满足,是状态变量,是控制输入,是属于的干扰输入, 是输出变量，d0是整数表示系统的状态滞后。是适维常数矩阵，表示系统的第个局部标称模型.是不确定的矩阵函数，表示系统中随时间变化的参数不确定性。是初始条件.假设1:系统的参数不确定性具有如下形式：= ， （2）其中,是已知适维常数矩阵，,是满足下列不等式约束的未知函数矩阵。 （3）假设2：假设系统(1)的各子系统模型()是局部能控的。注1: 假设1不失一般性，类似的假设参见文3,假设2是基本假定,保证对单个系统时本文方法也适用.令集合表示子系统间的转移：,当时，系统状态没有发生转移。 则，表示系统状态在t时刻从转移到t+1时刻的.定义1：对于系统(1)，如果存在分段状态时滞反馈控制器：， （4）其中，使得下列条件满足，则不确定离散时滞PWS(1)被称为是广义稳定的。 无外部干扰项时闭环系统全局渐近稳定.给定正常数,在零初始条件下,当不为零时,有.引理15：对给定的矩阵和对称矩阵，矩阵不等式 (5)对所有满足(2)的不确定矩阵成立，当且仅当存在标量，使得 （6）引理2：对于离散时滞PWS： （7）如果存在对称正定矩阵，使下面的线性矩阵不等式()成立, （8）， （9）则系统是全局渐近稳定的.主要结果：考虑如下的离散时滞PWS： （10）定理1：当系统(10)采用状态时滞反馈控制器(4)时，对给定的正常数,若存在正定对称矩阵及矩阵,使以下的成立， （11） （12），则闲环系统是广义稳定的。且状态时滞反馈控制器增益阵为。证明：先证当时,闭环系统是全局稳定的.系统(10)采用控制律(4)时，相应的闭环系统为： （13）令则(11),(12)式变为 ， （14）,， (15) 由补引理可得(14),(15)等价于 (16) (17)给(16)式各项两边同时左右乘，得： （18）其中, 给(17)式各项两边同时左右乘，得： （19）由(18),(19)可推得以下成立： （20） （21）则由引理2可得,当时,条件(11),(12)保证闭环系统(13)是全局渐近稳定的。再证明在零初始条件下,闭环系统(13)是广义稳定的第二个条件.定义离散的分段二次Lyapunov函数为：， （22）其中是正定对称矩阵。由(19)可得： ， （23）在零初始条件下,即，,从到对式两边求和,得：， （24）由(13)及可得： 所以： （25）由(24),(25)可得： (26)由定义1可证闭环系统(13)是广义稳定的。定理1得证。在定理1的基础上,对于系统(1)有如下的定理.定理2：当系统(1)采用状态反馈控制律(4)时，对给定的正常数及所有容许的不确定性(3)，若存在正常数，正定对称矩阵和矩阵，使以下成立： (27) ， （28）则系统(1)是广义稳定的.且控制器增益阵为。证明：把(11),(12)式等价变形，且其中分别用,代替，得： (29) (30)其中,令 则根据引理1,存在正常数,使得 (31)由补引理可得(29),(30)式等价于: (32)(33)给(32),(33)各项两边分别同时左右乘, ,其中,即可得矩阵不等式(27),(28).由定理1结论可证得本结论成立.仿真例子：其中：取：当给定,取时,解.可得正定对称矩阵及矩阵：状态时滞反馈控制器增益阵：所以根据定理2得该系统在状态时滞反馈控制器(4)下是广义稳定的，在时滞初始函数, t-2，0上取点(0.5,-0.5), 系统状态轨线象平面图见图1、控制输入轨迹见图2和系统的状态轨迹见图3. S2S11 图1:系统状态轨线的象平面图 图2：系统控制输入图图3:系统状态轨线图结论:本文针对具有状态时滞的线性不确定离散时滞,基于分段二次Lyapunov函数的方法,给出了分段状态时滞反馈控制器的设计,并证明了系统的闭环形式是广义稳定的,并通过实例证明了该方法的正确性与有效性.参考文献：1C.A.Yfoulis.Stabilisation of Nonlinear Systems:the piecewise linear approach Research Studies Press LTD.England.2001.2 Y.S.Moon,P.Park, W.H.Kwon, Delay-dependent robust stabilization of uncertain state-delayed systems , Int.J.Control vol.75 pp pp1447-1455,20013 SHeny yuan Xu and James Lam, robust H control for uncertain Discrete-Time_Delay Fuzzy Systems Via Output Feedback Controllers, IEEE Trans. Fuzzy syst vol.13,No.1,pp 82-93,Feb.20054 李志虎，王景成，邵惠鹤，时变不确定离散时滞系统的鲁棒控制，控制理论与应用，vol.20,No.1 pp 139-142 2003.5 俞立,鲁棒控制线性矩阵不等式处理方法,清华大学出版社,北京,2002.基金项目：国家自然基金项目（60374015