大数赛《解析几何》第五章培训讲义.doc

大学生数学竞赛解析几何培训讲义第五章 二次曲线的一般理论一、本章知识脉络框图一般式方程 二次曲线的方程双线性式方程矩阵式方程两个不同的实交点两个重合的实交点直线与二次曲线的相关位置两个共轭的虚交点惟一实交点没有交点直线在二次曲线上二次曲线的中心、渐近方向及渐近线二次曲线按中心分类二次曲线按渐近方向分类二次曲线的直径及共轭直径、主方向及主直径用坐标变换化简二次曲线的化简用不变量化简二、本章重点及难点二次曲线属于平面解析几何的内容。在中学我们已经对二次曲线的各种具体表现形式做了比较多的研究，如椭圆、双曲线、抛物线等。在这一章，我们主要是对所有的二次曲线作一个一般理论上的研究。本章的重点是：l 二次曲线与直线的交点；l 二次曲线按中心分类、二次曲线按渐近方向分类；l 二次曲线的中心、渐近方向和渐近线、主方向和主直径；l 化简二次曲线.本章的难点是：l 主方向和主直径；l 化简二次曲线.l 利用二次曲线的不变量解决有关问题. 三、本章的基本知识要点1.将二次曲线的一般方程表示为双线性式： 其中也可以表示成短阵形式：其中矩阵A是一个对称矩阵 2.将直线代入二次曲线的方程中，得到其中记通过方程的系数的讨论，直线与二次曲线的位置关系如下：（1）0 直线与二次曲线有两个不同的实交点（2）=0有一对相重合的实交点（3）0没有实交点（4） 直线与二次曲线只有一个实交点（5）直线与二次曲线没有实交点（6）直线落在曲线上 3.在二次曲线上一点Mo(x。，y。)处的切线方程 4.满足的方向 称为二次曲线的渐近方向，按渐近方向可以将二次曲线分成三类：（1）0：椭圆型、（2）=0：抛物型（3）0：双曲型其中5.满足的点(x。，y。)称为二次曲线的中心，按中心也可以将二次曲线分为三类：（1）：中心曲线（2）：无心曲线（3）：线心曲线 6. 满足的点(x。，y。)称为二次曲线的奇异点，二次曲线在奇异点的切线不确定. 7.二次曲线的直径是二次曲线的对称轴（1)中心曲线无实的渐近方向，对任意方向的直径为（2）无心曲线的直径平行于曲线的渐近方向（3)线心曲线只有一条直径：8.二次曲线的与非渐近方向共轭的直径方向叫做非渐近方向的共轭方向，具有共轭方向的直径称为共轭直径.9.与共轭方向垂直的方向称为主方向，具有主方向的直径称为主直径.成为二次曲线的主方向的条件是 (51)由特征方程即解出再代入(51)就可求出曲线的主方向.其中10. 化简二次曲线的方程（1）用坐标变换化简二次曲线的方程如果曲线为中心二次曲线可以求出中心作新坐标系的原点进行移轴消去二次曲线方程的一次项，然后再通过使转角满足的转轴变换消去二次曲线方程的交叉项；如果曲线是无心曲线，则先作使转角满足的转轴变换消去二次曲线方程的交叉项，然后再通过对方程配方的方法找出移轴公式进行移轴化简方程；如果曲线是线心曲线，可以通过分解因式的方法化简.利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，它有一个几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.这是因为如果二次曲线的特征根确定的主方向为，那么由(51)可以得所以因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线的方程，实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置.如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合.因此，二次曲线的方程的化简，只要先求出曲线的主直径，然后以它作为坐标轴，作坐标变换即可. (2)用曲线的不变量和半不变量化简二次曲线的方程在直角坐标变换下，都是不变量；是半个不变量所以可以通过二次曲线的系数矩阵A求出二次曲线的标准方程其中如果曲线为中心二次曲线，从特征方程求出，就可以写出曲线的简化方程为.如果曲线是无心曲线，简化方程为.如果曲线是线心曲线，简化方程为.四、基本例题解题点击【例1】作转轴变换，消去二次曲线中的项，求转角.【解】因为作使的转角就可以消去二次曲线方程中的项所以， 【例2】 求二次曲线的简化方程.【提示】因为只要求曲线的简化方程，不要求画图.因此可以用二次曲线的不变量来解.【解】因为，所以曲线为中心曲线.从特征方程即求出，简化方程为，解得简化方程为 【例3】 作移轴变换，消去中心二次曲线中的一次项，求新原点的坐标.【解】因为，所以曲线为中心曲线.只要求出曲线的中心作新坐标系的原点进行移轴就可以消去二次曲线方程的一次项.解方程组求得曲线的中心坐标为（0，1）. 【例4】 如果二次曲线是线心曲线，求的值.【解】因为二次曲线为线心曲线的充要条件是.所以求出 【例5】 求二次曲线的渐近方向.【解】因为满足的方向 就称为二次曲线的渐近方向 所以只要解方程就可以求得二次曲线的渐近方向因此已知二次曲线只有一个的渐近方向 【例6】.求二次曲线对于方向共扼的直径【解】将二次曲线表示成矩阵形式：由方程组解出中心坐标为设与方向共轭的方向为由共轭方向之间的关系得所以因此二次曲线的对于方向共扼的直径为 【例7】求二次曲线的主方向和主直径.【解】二次曲线的矩阵形式为由于，所以该曲线为非中心曲线.由特征方程解出.分别将代入线性方程组解出对应的主方向为，.其中是渐近主方向.因此曲线只有一条主直径，方程为即 【例8】设二次曲线表示两条平行直线，证明这两条直线的距离为.【证明】因为二次曲线表示两条平行直线，故有0，从而该曲线为线心曲线，其简化方程为，即与所以两直线的距离为. 五、扩展例题解题点击【例1】 证明二次曲线为中心二次曲线，且直线通过该中心。【提示】曲线就是为中心二次曲线.求出中心坐标代入直线方程，如果满足直线方程，那么该直线就通过中心. 【例2】证明二次曲线上的每一点都是奇异点【提示】用奇异点的定义【证明】二次曲线可以表示为由于对于二次曲线上的点(x,y)，下面各方程是恒等式，故任意的（x,y）都成立，所以二次曲线上的每一点都是奇异点. 【例3】 求二次曲线的渐近线. 【解】 二次曲线可以表示成短阵形式由方程组解出中心坐标为又由，解得渐近方向为因此渐近线为和 【例4】 求平面直角坐标变换将二次曲线化简为标准方程.【提示】有两个方法化简.一个是转轴移轴分别作；另一个是求出主直径就可以求出坐标变换公式化简方程.下面给出一个解法.【解】二次曲线的矩阵形式为由于，所以该曲线为非中心曲线.由特征方程解出.分别将代入线性方程组解出对应的主方向为因此曲线只有一条主直径，方程为即求出主直径与曲线的交点，即曲线的顶点为，所以过曲线的顶点且以非渐近主方向为方向的直线为即这也是过顶点垂直于主直径的直线，取主直径为新坐标系的轴，而过顶点垂直于主直径的直线为轴作坐标变换，它的变换公式为解出代入已知方程，经过整理得化为标准方程 【例5】 已知二次曲线的方程为.证明：1.二次曲线为线心曲线2.二次曲线的简化方程为.【证明】1.二次曲线的方程为 由于，所以曲线表示.线心曲线 2. 简化方程为即 【例6】证明以直线 为渐近线的二次曲线方程总能写成 【证明】设以直线 为渐近线的二次曲线方程为它的渐近线方程为其中为曲线的中心，因为是关于的二次齐次式，所以它可以分解成两个一次式之积，从而有=因为为曲线的中心，所以令代入上式得=即=故以直线 为渐近线的二次曲线方程可写成 ： 【例7】试证明二次曲线两个不同特征根确定的主方向相互垂直.【证明】设，由它们确定的主方向分别为与，则有 与所以故有因为，所以，故两个主方向与相互垂直.【例8】试证二次曲线是一个实圆的充要条件是0.【证明】因为圆为椭圆的特例，故二次曲线是一个实圆的充要条件是 0，0，且简化方程中的，所以特征方程的判别式.所以有，此时有.因此方程又可简化为由于 0，0可得 0，曲线为实圆.故该二次曲线是一个实圆的充要条件是0. 六、本章训练题及提示【训练题1】已知二次曲线的方程为 证明：1.二次曲线为中心二次曲线； 2.二次曲线的标准方程为.【训练题2】 求过点(1，1)且与二次曲线相切的直线【提示】点(1，1)不是切点【训练题3】 求二次曲线过点（1，-2）的直径，并求出与这个直径共扼的直径【提示】注意曲线无实渐近方向【训练题4】 求平面直角坐标变换将二次曲线化简为标准方程.【训练题5】 证明二次曲线表示两条平行直线，并且这两条直线的距离为【提示】注意用二次曲线的不变量和半不变量【