高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用课件 理.ppt

第十二节定积分的概念与微积分基本定理 定积分的简单应用 知识梳理 1 定积分的概念 几何意义和性质 1 定积分的定义及相关概念 定义 一般地 如果函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 xi 1 xi xn b 将区间 a b 等分成n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i i 1 2 n 作和式当n 时 上述和式无限接近某个常数 这个常数叫做函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 相关概念 在中 a与b分别叫做积分下限与积分上限 区间 叫做积分区间 函数f x 叫做被积函数 x叫做 叫做被积式 a b 积分变量 f x dx 2 定积分的几何意义 x a x b x a x b 3 定积分的性质 k为常数 2 微积分基本定理一般地 如果f x 是区间 a b 上的连续函数 并且f x f x 那么 这个结论叫做微积分基本定理 又叫牛顿 莱布尼茨公式 f b f a 3 定积分的应用 1 定积分与曲边梯形面积的关系 设阴影部分的面积为s s s s s 2 定积分与变速直线运动的路程及变力做功之间的关系 s w 特别提醒 1 定积分应用的两条常用结论 1 当曲边梯形位于x轴上方时 定积分的值为正 当曲边梯形位于x轴下方时 定积分的值为负 当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时 定积分的值为零 2 加速度对时间的积分为速度 速度对时间的积分是路程 2 函数f x 在闭区间 a a 上连续 则有 1 若f x 为偶函数 则 2 若f x 为奇函数 则 小题快练 链接教材练一练1 选修2 2p55习题1 6b组t1 3 改编 解析 答案 2 选修2 2p60习题1 7a组t6改编 汽车以72km h的速度行驶 由于遇到紧急情况而刹车 汽车以等减速度a 4m s2刹车 则汽车从开始刹车到停止走的距离为m 解析 先求从刹车到停车所用的时间t 当t 0时 v0 72km h 20m s 刹车后 汽车减速行驶 速度为v t v0 at 20 4t 令v t 0 可得t 5s 所以汽车从刹车到停车 所走过的路程为 50 m 即汽车从开始刹车到停止 共走了50m 答案 50 感悟考题试一试3 2016 广州模拟 定积分的值为 a e 2b e 1c ed e 1 解析 选c 故选c 4 2016 泉州模拟 由曲线y x2 1 直线x 0 x 2和x轴围成的封闭图形 如图所示 的面积可表示为 a b c d 解析 选b 曲线y x2 1 直线x 0 x 2和x轴围成的封闭图形的面积可表示为 5 2015 天津高考 曲线y x2与直线y x所围成的封闭图形的面积为 解析 两曲线的交点坐标为 0 0 1 1 所以它们所围成的封闭图形的面积s 答案 考向一定积分的计算 典例1 1 计算 若f x 则为 2 设f x e为自然对数的底数 则的值为 解题导引 1 分别用求导公式找到相应的原函数 利用定积分的几何意义求解 2 根据定积分的性质把所求定积分转化为两个定积分和的形式求解 规范解答 1 由得表示以 1 0 为圆心 2为半径的圆在x轴上方的部分 所以是圆面积的所以答案 24 2 2 因为f x 所以答案 母题变式 1 若将本例 1 中 条件变为 则实数a的值如何 解析 因为 asinx cosx sinx acosx 所以所以a 1 2 若本例 1 中 条件不变 试求的值 解析 可知表示以 1 0 为圆心 2为半径的圆在x轴上方的部分的面积 故 规律方法 计算定积分的步骤 1 把被积函数变形为幂函数 正弦函数 余弦函数 指数函数与常数的积的和或差 2 把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分 3 分别用求导公式找到一个相应的原函数 4 利用微积分基本定理求出各个定积分的值 5 计算原始定积分的值 提醒 根据定积分的几何意义可利用面积求定积分 变式训练 1 若则 解析 选b 因为f x 所以所以 2 若定积分则m等于 a 1b 0c 1d 2 解析 选a 根据定积分的几何意义知 定积分的值 就是函数的图象与x轴及直线x 2 x m所围成图形的面积 是圆心 1 0 半径为1的上半圆 其面积等于而即在区间 2 m 上该函数图象应为的圆 于是得m 1 加固训练 1 2016 长春模拟 与定积分相等的是 a b c d 以上结论都不对 解析 选b 因为1 cosx 所以 2 设f x 是一条连续的曲线 且为偶函数 在对称区间 a a 上的定积分为由定积分的几何意义和性质 得可表示为 解析 选b 偶函数的图象关于y轴对称 故对应的几何区域关于y轴对称 因而其可表示为应选b 3 计算 解析 答案 1 4 2015 石家庄模拟 解析 表示四分之一单位圆的面积 为所以结果是答案 考向二利用定积分计算平面图形的面积 典例2 2016 牡丹江模拟 抛物线y2 4x与直线y 2x 4围成的平面图形的面积是 解题导引 画出平面图形 根据图形确定积分的上 下限及被积函数 规范解答 由得或画出草图如图所示 选用x为积分变量所求面积为答案 9 一题多解 解答本题还有以下解法 选用y为积分变量 这时所求的面积为答案 9 规律方法 1 利用定积分求平面图形面积的步骤 1 根据题意画出图形 2 借助图形确定出被积函数 求出交点坐标 确定积分的上 下限 3 把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和 4 计算定积分 写出答案 2 根据平面图形的面积求参数的求解策略先利用定积分求出平面图形的面积 再据条件构建方程 不等式 求解 3 与概率综合问题的处理思路先按照概率问题分析需要求解哪些量 然后求解时再借助定积分的知识 变式训练 2016 福州模拟 曲线与直线y x 1及x 4所围成的封闭图形的面积为 a 2ln2b 2 ln2c 4 ln2d 4 2ln2 解析 选d 如图 封闭图形的面积为 4 2ln2 加固训练 1 2016 衡水模拟 在平面直角坐标系中 记抛物线y x x2与x轴所围成的平面区域为m 该抛物线与直线y kx k 0 所围成的平面区域为a 向区域m内随机抛掷一点p 若点p落在区域a内的概率为则k的值为 解析 选a 如图 由得x 1 k 区域m的面积区域a的面积因为所以所以所以 2 2016 广州模拟 曲线y x2与直线y kx k 0 所围成的曲边图形的面积为则k 解析 由得或则曲线y x2与直线y kx k 0 所围成的曲边梯形的面积为即k3 8 所以k 2 答案 2 3 2016 青岛模拟 若函数f x a 0 0 的图象如图所示 则图中的阴影部分的面积为 解析 由图象可知所以 1 f x 图中其与x轴的交点横坐标为所以图中的阴影部分的面积为答案 考向三定积分在物理中的应用 典例3 1 物体a以v 3t2 1 m s 的速度在一直线l上运动 物体b在直线l上 且在物体a的正前方5m处 同时以v 10t m s 的速度与a同向运动 出发后 物体a追上物体b所用的时间t s 为 a 3b 4c 5d 6 2 2015 杭州模拟 设变力f x 作用在质点m上 使m沿x轴正向从x 1运动到x 10 已知f x x2 1且方向和x轴正向相同 则变力f x 对质点m所做的功为j x的单位 m 力的单位 n 解题导引 1 利用定积分分别计算出物体a b行驶的路程 然后利用它们之间的关系求解 2 运用变力f x 对质点m所做的功为w 求解 规范解答 1 选c 因为物体a在t秒内行驶的路程为物体b在t秒内行驶的路程为所以整理得 t 5 t2 1 0 解得t 5 2 变力f x x2 1使质点m沿x轴正向从x 1运动到x 10所做的功为答案 342 规律方法 定积分在物理中的两个应用 1 求变速直线运动的路程 如果变速直线运动物体的速度为v v t 那么从时刻t a到t b所经过的路程 2 变力做功 一物体在变力f x 的作用下 沿着与f x 相同的方向从x a移动到x b时 力f x 所做的功是 变式训练 2016 大庆模拟 一列火车在平直的铁轨上行驶 由于遇到紧急情况 火车以速度v t 5 t t的单位 s v的单位 m s 紧急刹车至停止 在此期间火车继续行驶的距离是 a 55ln10b 55ln11c 12 55ln7d 12 55ln6 解析 选b 令注意到t 0 得t 10 即经过的时间为10s 行驶的距离 55ln11 加固训练 1 一物体在力f x 单位 n 的作用下沿与力f x 相同的方向运动了4米 力f x 做功为 a 44jb 46jc 48jd 50j 解析