2010海天强化数学讲义第二章.pdf

考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 32 第二章一元函数微分学第二章一元函数微分学 第一节第一节第一节第一节导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 1 1 1 1 导数定义 导数定义 导数定义 导数定义 0 xf x xfxxf x lim 00 0 0 0 lim 0 xx xfxf xx 左导数左导数左导数左导数 0 xf x xfxxf x lim 00 0 右导数右导数右导数右导数 0 xf x xfxxf x lim 00 0 可导可导可导可导左右导数都存在且相等左右导数都存在且相等左右导数都存在且相等左右导数都存在且相等 2 2 2 2 微分定义 微分定义 微分定义 微分定义 若 则称在处若 则称在处可微可微可微可微 00 xxAxfxxfy xf 0 x xxfxxfyd d 00 3 3 3 3 导数与微分的几何意义 导数与微分的几何意义 导数与微分的几何意义 导数与微分的几何意义 会求曲线的切线和法线方程 会求曲线的切线和法线方程 4 4 4 4 连续 连续 连续 连续 可导可导可导可导 可微之间的关系可微之间的关系可微之间的关系可微之间的关系 5 5 5 5 求导法则 求导法则 求导法则 求导法则 1 有理运算法则 2 复合函数求导法 3 隐函数求导法 4 反函数的导数 5 参数方程求导法 6 对数求导法 7 高阶导数 1 有理运算法则 2 复合函数求导法 3 隐函数求导法 4 反函数的导数 5 参数方程求导法 6 对数求导法 7 高阶导数 题型一 可导性的讨论 导数定义 题型一 可导性的讨论 导数定义 题型一 可导性的讨论 导数定义 题型一 可导性的讨论 导数定义 连续可导 可微 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 33 例例例例 2 12 12 12 1 设函数在处连续 下列命题错误的是设函数在处连续 下列命题错误的是 xf0 x A 若 B 若 A 若 B 若 0 0 lim 0 f x xf x 则存在0 0 lim 0 f x xfxf x 则存在 C 若存在 D 若存在 C 若存在 D 若存在 0 lim 0 f x xf x 则存在 0 lim 0 f x xfxf x 则存在 解法解法解法解法 1 1 1 1直接法 直接说明 直接法 直接说明 D D D D 中的命题是错误的 中的命题是错误的 令 我们知道不存在 但令 我们知道不存在 但xxf 0 f 存在存在 0lim lim 00 x xx x xfxf xx 故应选 故应选 D D D D 解法解法解法解法 2 2 2 2排除法 即说明 排除法 即说明 A A A A B B B B C C C C 中的三个命题都正确 中的三个命题都正确 由存在 且其分母趋于零 则 又在处连续 由存在 且其分母趋于零 则 又在处连续 x xf x lim 0 0 lim 0 xf x xf0 x 则 则 则 则 A A A A 中命题正确 同理可说明 中命题正确 同理可说明 B B B B 中命题正确 中命题正确 0 0 lim 0 fxf x 由知 则由知 则0 lim 0 x xf x 0 0 f 0 0 0 lim lim 00 f x fxf x xf xx 从而 从而 C C C C 中命题也正确 中命题也正确 即 即 A A A A B B B B C C C C 都不能选 故 应选 都不能选 故 应选 D D D D 例例例例 2 22 22 22 2 设 则在点可导的充要条件为设 则在点可导的充要条件为0 0 f xf0 x A 存在B 存在A 存在B 存在cosh 1 1 lim 2 0 f h h 1 1 lim 0 h h ef h C 存在D 存在C 存在D 存在sinh 1 lim 2 0 hf h h 2 1 lim 0 hfhf h h 解法解法解法解法 1 1 1 1直接法 由于 直接法 由于 1 1 lim 0 h h ef h h e e fef h h h h 1 1 0 1 lim 0 令令 h h h e fef 1 0 1 lim 0 teh 1 0 0 lim 0 f t ftf t 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 34 故应选 故应选 B B B B 解法解法解法解法 2 2 2 2排除法 由于 排除法 由于 2 0 2 0 cosh1 cosh1 0 cosh 1 lim cosh 1 lim h ff h f hh 0 2 1 cosh1 0 cosh 1 lim 2 1 0 f ff h 由于 则 由于 则 A A A A 中极限存在只能推得在处的右导数存 中极限存在只能推得在处的右导数存0cosh1 xf0 x 在 所以 在 所以 A A A A 不正确 不正确 C C C C 也不正确 事实上 取 显然不存在 也不正确 事实上 取 显然不存在 3 2 xxf 0 f 但但sinh 1 lim 2 0 hf h h 存在存在 3 2 3 2 3 0 2 3 2 0 6 1sinh lim sinh lim h h h h hh D D D D 也不正确 事实上取 显然不存在 因为 也不正确 事实上取 显然不存在 因为 0 0 0 1 x x xf 0 f 在处不连续 但在处不连续 但 xf0 x 0 11 1 lim 2 1 lim 00 h hfhf h hh 故应选 故应选 B B B B 例例例例 2 32 32 32 3设 可导 则是在可导设 可导 则是在可导 xf sin1 xxfxF 0 0 f xF0 x 的的 A A A A 充分必要条件充分必要条件 B B B B 充分条件但非必要条件充分条件但非必要条件 C C C C 必要条件但非充分条件必要条件但非充分条件 D D D D 既非充分条件又非必要条件既非充分条件又非必要条件 解解解解 由于 而可导 则在由于 而可导 则在xxfxfxxfxFsin sin1 xf xF 可导的充要条件是在可导 令可导的充要条件是在可导 令0 xxxfsin 0 xxxfxsin 0 0 0 0 sin lim 0 0 lim 00 xf xf x xxf x x xx 则是在可导的充要条件 故应选 则是在可导的充要条件 故应选 A A A A 0 0 f x 0 x 注 注 注 注 由本题的分析过程也得到一条常用的结论 设 其由本题的分析过程也得到一条常用的结论 设 其axxxf 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 35 在处连续 则在处可导的充要条件是在处连续 则在处可导的充要条件是 x ax xfax 0 a 例例例例 2 42 42 42 4 函数不可导的点的个数是函数不可导的点的个数是 2 32 xxxxxf A 3 B 2 C 1 D 0 A 3 B 2 C 1 D 0 解解解解xxxxxf 32 2 xxxxx11 1 2 显然不可导的点最多三个 即 显然不可导的点最多三个 即 xf1 x1 x0 x 但由但由例例例例 2 32 32 32 3 的注可知 在可导 而在 不可导 故应的注可知 在可导 而在 不可导 故应 xf1 x1 x0 x 选 选 B B B B 例例例例 2 52 52 52 5 设在点处可导 则函数在点处不可导的充分条设在点处可导 则函数在点处不可导的充分条 xfax xfax 件是 A 且B 且 件是 A 且B 且 0 af0 af 0 af0 af C 且D 且C 且D 且 0 af0 af 0 af0 af xfax xfax 的某邻域内 此时的某邻域内 此时ax 0 xf xfxf 与在处可导性相同 故 与在处可导性相同 故 C C C C 不正确 不正确 xf xfax 同理 同理 D D D D 不正确 故应选 不正确 故应选 B B B B 解法解法解法解法 2 2 2 2直接法 直接法 直接法 直接法 直接证明 直接证明 B B B B 正确 正确 令令 xfx ax afxf ax ax axax lim lim 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 36 ax xf ax lim axaf axaf 即 即 afa afa 由于 则 则在不可导 故应选 由于 则 则在不可导 故应选 B B B B 0 af aa xfax 例例例例 2 62 62 62 6 设函数设函数内在则 1lim 3 xfxxf n n n A 处处可导 B 恰有一个不可导点 C 恰有两个不可导点 D 至少有三个不可导点 A 处处可导 B 恰有一个不可导点 C 恰有两个不可导点 D 至少有三个不可导点 解解解解利用利用例例例例 1 301 301 301 30 的结论 本题中 则的结论 本题中 则1 1 a 3 3 2 xxa 1 1 1 max 1lim 3 21 3 xx x aaxxf n n n 显然为偶函数 不可导的点只可能为 只需讨论 显然为偶函数 不可导的点只可能为 只需讨论 xf1 x1 x 0 1 f3 1 1 lim 1 3 1 x x f x 则在不可导 从而也不导 故应选 则在不可导 从而也不导 故应选 C C C C xf1 x1 x 例例例例 2 72 72 72 7 设在上二阶可导 设在上二阶可导 xf 0 0 f 0 0 xa x x xf xg 1 确定使在上连续 1 确定使在上连续 a xg 2 证明对以上确定的 在上有连续一阶导数 2 证明对以上确定的 在上有连续一阶导数 a xg 解解解解1 1 1 1 显然在处连续 而显然在处连续 而 xg0 x 0 lim lim 00 f x xf xg xx 则若时在上连续则若时在上连续 0 fa xg 2 2 2 2 当时 当时 0 x 且连续 且连续 2 x xfxf x xg xg 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 37 当时 当时 0 x x gxg g x 0 lim 0 0 2 00 0 lim 0 lim x xfxf x f x xf xx 导数定义 导数定义 2 0 2 0 lim 0 f x fxf x 2 0 2 00 0 0 lim lim lim x xff xfxfx x xfxf x xg xxx 0 2 0 2 0 0 0 lim 0 lim 2 00 g ff f x f xxf x fxf xx 则在处连续 故在上有连续的一阶导数则在处连续 故在上有连续的一阶导数 xg 0 x xg 题型二题型二题型二题型二复合函数导数复合函数导数复合函数导数复合函数导数 定理 定理 定理 定理 设在处可导 在对应点处可导 则复合函设在处可导 在对应点处可导 则复合函 xu 0 x ufy 00 xu 数在处可导 且数在处可导 且 xfy 0 x 00 0 xuf dx dy xx 例例例例 2 82 82 82 8 设 则 设 则 1 sin 2 x x xf 0 f 解解解解应填应填 0 0 0 0 因为为奇函数 为偶函数 为奇函数 则因为为奇函数 为偶函数 为奇函数 则 xf xf xf 0 0 f 例例例例 2 92 92 92 9 已知 则已知 则 2 arctan 23 23 xxf x x fy 0 x dx dy 解解解解 0 2 0 23 12 23 23 x x xx x f dx dy 4 3 1arctan33 1 f 例例例例 2 102 102 102 10 设函数可导 求的导数 设函数可导 求的导数 0 0 0 1 sin 3 x x x x x xf xfxF 解解解解 0 0 0 1 sin 3 xf x x xf xfxF 当时 当时 0 x 1 cos 1 sin3 1 sin 23 x x x x x xfxF 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 38 当时 为 和的复合 且当时 为 和的复合 且0 x xF uf xu 由题设存在 若存在由复合函数求导法知 由题设存在 若存在由复合函数求导法知0 0 0 f 0 0 0 0 fF 而而0 1 sinlim 0 1 sin lim 0 2 0 3 0 x x x x x xx 则则00 0 0 fF 注 注 注 注 0 0 1 sin lim 0 0 lim 0 3 00 x f x xf x fxF F xx x x x x x f x xf x 1 sin 1 sin 0 1 sin lim 3 3 3 0 x x x x x f x xf xx 1 sin lim 1 sin 0 1 sin lim 3 0 3 3 0 00 0 f 这是一种 这是一种 经典经典经典经典 的错误 原因是极限不存在 因为 的错误 原因是极限不存在 因为 x x f x xf x1 sin 0 1 sin lim 3 3 0 求极限的函数在的任何邻域内都有没定义的点 充分大 求极限的函数在的任何邻域内都有没定义的点 充分大 0 x n x 1 n 题型三题型三题型三题型三隐函数的导数隐函数的导数隐函数的导数隐函数的导数 例例例例 2 112 112 112 11 设由所确定 试求 设由所确定 试求 xyy tan yxy yy 解解解解等式两端对求导得等式两端对求导得 tan yxy x 1 sec2yyxy 1 tan1 2 yyx 利用原方程化简 利用原方程化简 1 1 2 yy 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 39 1 1 2 y y 1 1 22 233 yyy y y 例例例例 2 122 122 122 12 设函数由所确定 试求设函数由所确定 试求 xyy 1 y xey 0 2 2 x dx yd 解解解解由知由知1 y xey 0 yy eyxey 令 由原方程知此时令 由原方程知此时 0 x1 y 将 代入上式得将 代入上式得 0 x1 yey 0 式两端对求导得 式两端对求导得 x 0 yyy eyxeyeyy 将 代入上式得将 代入上式得0 x1 yey 0 2 2 0 ey 例例例例 2 132 132 132 13设可导函数由方程所确定 其中可导函设可导函数由方程所确定 其中可导函 xyy y x duux0 sin 数 且 求数 且 求 0 u 1 0 0 0 y 解解解解在中令得在中令得 y x duux0 sin 0 x 又 则 又 则 y duu 0 0 0 u 0 y 等式两端对求导得等式两端对求导得 y x duux0 sin x 1 0 cos xyyx 将 代入上式得将 代入上式得0 x0 y2 0 y 等式 等式 1 1 1 1 两端对求导得 两端对求导得 x 0 sin 2 xyyyyx 将 代入上式得将 代入上式得0 x0 y2 0 y 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 40 3 0 y 题型四题型四题型四题型四参数方程的导数参数方程的导数参数方程的导数参数方程的导数 公式 公式 公式 公式 tx ty dx dy 32 2 tx tytxtxty dx yd 方法 方法 方法 方法 一阶导数代公式 二阶导数利用 一阶导数代公式 二阶导数利用 1 2 2 txtx ty dt d dx yd 例例例例 2 142 142 142 14 设 又 求 设 又 求 0 tf tftf ty tfx 2 2 dx yd 解解解解t tf tftf ttf tx ty dx dy 1 1 1 2 2 tftxdx dt t dt d t dx d dx yd 注注注注 本题中求二阶导数不能套公式 条件不够 本题中求二阶导数不能套公式 条件不够 2 2 dx yd 例例例例 2 152 152 152 15 设由所确定 求 设由所确定 求 xyy 01sin 323 2 yte ttx y 0 2 2 t dx yd 解解解解本题最简单的方法是利用公式本题最简单的方法是利用公式 0 0 0 0 0 3 0 2 2 x yxxy dx yd t 由知 则由知 则323 2 ttx26 tx6 x 2 0 x6 0 x 由知 且由知 且01sin yte y 1 0 y 0cossin ytetye yy 0sincossin cos ytetyetyetye yyyy 令 得 令 得 0 tey 0 2 2 0 ey 4 32 2 0 2 2 ee dx yd t 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 41 题型五题型五题型五题型五对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法 对数求导法适用于幂指函数 连乘 连除 开方 乘方等 对数求导法适用于幂指函数 连乘 连除 开方 乘方等 例例例例 2 162 162 162 16 设 求 设 求 x xy sin2 1 y 解解解解 1ln sinln 2 xxy 2 2 1 sin2 1ln cos x xx xx y y 2 2sin2 1 sin2 1ln cos 1 x xx xxxy x 例例例例 2 172 172 172 17 设 求设 求 3 2 1 2 1 xx xx y y 解解解解 1ln ln2ln1 ln 3 1 ln 2 xxxxy 2 1 21 2 1 1 1 3 1 x x xxxy y 2 3 2 1 21 2 1 1 1 1 2 1 3 1 x x xxxxx xx y 题型六题型六题型六题型六高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数 常用方法 常用方法 常用方法 常用方法 1 代公式 2 求一阶 二阶 归纳阶导数 1 代公式 2 求一阶 二阶 归纳阶导数 y y n n y 3 利用泰勒级数 3 利用泰勒级数 n n n xx n xf xf 0 0 0 常用公式 常用公式 常用公式 常用公式 1 1 2 sin sin nxx n 2 2 2 cos cos nxx n 3 3 0 kn n k kk n n vuCuv 例例例例 2 182 182 182 18 设 求设 求 65 2 xx x xf xf n 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 42 解解解解 2 2 3 3 3 2 65 2 xxxx x xx x xf 2 2 3 3 nn n xx xf 令令 1 3 3 1 x x x 2 3 1 xx 3 3 2 1 xx 1 1 3 1 3 1 n n nnn x n xnx 则则 11 2 1 2 3 1 3 n n n n n x n x n xf 11 2 2 3 3 1 nn n xx n 例例例例 2 192 192 192 19 设 求 设 求 xexf x sin xf n 解解解解xexexf xx cossin 4 sin 2 cos sin xexxe xx 4 sin 2 nxexf xnn 例例例例 2 202 202 202 20 设设 求求xxxf 44 cossin xf n 解解解解xxxxf2sin 2 1 1cossin21 222 xxxxf4sin2cos2sin2 2 1 4sin 4 1 nxxf nn 例例例例 2 212 212 212 21 求函数在处的阶导数 求函数在处的阶导数 1ln 2 xxxf 0 xn 解法解法解法解法 1 1 1 1利用公式利用公式 n k knkk n n vuCuv 0 令 令 2 xu 1ln xv xu2 2 u0 k u3 k 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 43 0 0 u0 0 u2 0 u2 0 k u3 k 0 0 0 2 2 2 n n n vuCf 1 1 1 1 x x v 2 1 1 xv 2 1 2 3 2 1 3 1 1 3 1 n n nnn x n xnv 3 1 0 1 2 nv nn 2 1 3 1 2 2 1 0 1 1 n n n nn f n nn 解法解法解法解法 2 2 2 2 1 2 12 2 n xx xxxf nn 等式右端的次项系数等式右端的次项系数 xn 2 1 2 1 13 nn a nn n 又又 0 n f a n n 则则 2 1 0 1 n n naf n n n 例例例例 2 222 222 222 22 设 求 设 求 xyarctan 0 n y 解法解法解法解法 1 1 1 1 2 1 1 x y 则 则 1 1 1 1 1 1 2 yx 令 令 2 1xu yv 1 式两端求阶导数 注意到 1 式两端求阶导数 注意到 1 n1 0 u0 0 u2 0 u 0 0 k u3 k 0 0 0 0 2 2 1 n n n yuCy 即即 0 2 1 0 2 nn ynny 0 0 12 1 0 0 2 yky kk 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 44 这里这里0 0 0 0 yy 2 1 0 2 1 0 12 kyky kkk 解法解法解法解法 2 2 2 2 nn xxx x y 242 2 1 1 1 1 x nn dxxxxy 0 242 1 1 12 1 3 123 n xx x nn 由此可知由此可知 0 0 2 k y 2 1 12 12 1 0 12 kk k y k k k 第二节第二节第二节第二节导数应用导数应用导数应用导数应用 1 1 1 1 微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理 罗尔定理罗尔定理罗尔定理罗尔定理 设在连续 在内可导 且 那么至少 设在连续 在内可导 且 那么至少 xf ba ba bfaf 使 使 ba 0 f 拉格朗日定理拉格朗日定理拉格朗日定理拉格朗日定理 设在连续 在可导 那么至少存在一个 设在连续 在可导 那么至少存在一个 xf ba ba 使 使 ba f ab afbf 柯西定理 柯西定理 柯西定理 柯西定理 设在上连续 在内可导 且 那么设在上连续 在内可导 且 那么 xgxf ba ba0 xg 至少存在一个 使 至少存在一个 使 ba g f agbg afbf 泰勒定理泰勒定理泰勒定理泰勒定理 拉格朗日余项 设在区间 I 上阶可导 那么 至少存在一个使 拉格朗日余项 设在区间 I 上阶可导 那么 至少存在一个使 xf 1 nIx 0 Ix 2 0 0 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 其中 在与之间 其中 在与之间 1 0 1 1 n n n xx n f xR 0 xx 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 45 2 2 2 2 极值与最值极值与最值极值与最值极值与最值 1 极值的必要条件 1 极值的必要条件 0 0 xf 极值点驻点 2 极值的充分条件 1 若 在两侧变号 则在处取得极值 极值点驻点 2 极值的充分条件 1 若 在两侧变号 则在处取得极值 0 0 xf xf 0 x xf 0 x 若 在两侧不变号 则在处无极值 若 在两侧不变号 则在处无极值 0 0 xf xf 0 x xf 0 x 2 若 则在处取得极值 当时 2 若 则在处取得极值 当时0 0 xf 0 0 xf xf 0 x0 0 xf 极小 当时极大 极小 当时极大 0 0 xf n 0 0 xf 0 x xf x 0 x 即 从而单调增 又 则在的左 即 从而单调增 又 则在的左0 x xf 0 xf xf 0 0 f0 x 半邻域 而在的右半邻域内 故在处取极半邻域 而在的右半邻域内 故在处取极0 xf xf0 x 小值 故选 B 小值 故选 B 例例例例 2 242 242 242 24 设二阶导数连续 且 设二阶导数连续 且 xf x exfxxfx 1 1 1 2 1 试问 1 若是极值点时 是极小值点还时极大值点 试问 1 若是极值点时 是极小值点还时极大值点 1 aax 2 若是极值点时 是极大值点还是极小值点 2 若是极值点时 是极大值点还是极小值点 1 x 解解解解1 由于为极值点 则 在等式1 由于为极值点 则 在等式ax 0 af x exfxxfx 1 1 1 2 1 中令得中令得ax a eafaafa 1 1 1 2 1 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 47 a eafa 1 1 1 0 0 1 1 1 a a e af a 则在取极小值 则在取极小值 xfax 2 由知2 由知 x exfxxfx 1 1 1 2 1 x e xfxf x 1 1 2 1 1 1 1 lim lim2 lim 1 111 x e xfxf x xxx 则又则又 01 1 f0 1 f 故为的极小值点 故为的极小值点 1 x xf 例例例例 2 252 252 252 25 设函数满足关系式 且 则设函数满足关系式 且 则 xfxxfxfsin 2 0 0 f A 是的极大值 B 是的极小值 A 是的极大值 B 是的极小值 0 f xf 0 f xf C 点是曲线的拐点 C 点是曲线的拐点 0 0 f xfy D 不是的极值 点也不是曲线的拐点 D 不是的极值 点也不是曲线的拐点 0 f xf 0 0 f xfy 解解解解 选 C 选 C 例例例例 2 262 262 262 26 设二阶可导 且 试讨论设二阶可导 且 试讨论 xf0 lim 2 000 0 a h xfxfhxf h 在点的极值 在点的极值 xf 0 x 解解解解 由知 即为驻点 且 由知 即为驻点 且0 lim 2 000 0 a h xfxfhxf h 0 0 xf 0 x 原式原式 h hxf h xfhxf hh 2 lim 0 lim 0 0 2 00 0 h xfhxf h 2 lim 00 0 时 为极小值点 时 为极大值点 时 为极小值点 时 为极大值点 axf 2 1 0 0 a 0 x0 xf xf 当时 单调减当时 单调减 ex0 ef lim 0 xf x limxf x 则在和内各有一个零点 故原方程有两个实根 则在和内各有一个零点 故原方程有两个实根 xf 0 e e 例例例例 2 292 292 292 29 试证方程有且仅有三个实根 试证方程有且仅有三个实根 12 2 x x 证证证证令令12 2 xxf x 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 49 0 0 f0 1 f 则在内至少有一个零点 则在内至少有一个零点 01 2 f xf 5 2 则原方程至少有三个实根 又 则原方程至少有三个实根 又 xxf x 22ln2 22ln2 2 x xf02ln2 3 x xf 从而原方程最多三个实根 原题得证从而原方程最多三个实根 原题得证 例例例例 2 302 302 302 30试确定方程实根个数试确定方程实根个数 0 aaex x 解解解解将原方程变形得将原方程变形得0 axe x 令令 0 xaxexf x xxx exxeexf 1 令 得令 得 0 xf1 x 当时 单调增当时 单调增 1 0 x0 xf xf 当时 单调减当时 单调减 1 x0 xf xf 0 lim 0 axf x 0 lim lim aa e x xf x xx 则则a e f 1 1 1 1 1 1 当时 原方程有两个实根当时 原方程有两个实根 e a 1 例例例例 2 312 312 312 31 设当时 方程有且仅有一个解 试求的取值范围 设当时 方程有且仅有一个解 试求的取值范围 0 x1 1 2 x kxk 解解解解将原方程变形得将原方程变形得 0 11 3 x xx k 令令 0 11 3 x xx xf 4 2 42 331 x x xx xf 令得令得0 xf3 x 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 50 当时 单调增当时 单调增 3 0 x0 xf xf 当时 单调减当时 单调减 3 x0 xf xf 3 9 2 3 f 3 2 00 1 lim lim x x xf xx 0 lim xf x 从而若原方程有具仅有一个实根 则 或 从而若原方程有具仅有一个实根 则 或 3 9 2 k0 k 例例例例 2 322 322 322 32 设在 0 1 上可微 且当时 试证设在 0 1 上可微 且当时 试证 xf10 x1 1 0 fF01 1 1 fF 由零点定理知方程在内至少有一实根 又 由零点定理知方程在内至少有一实根 又 0 xF 1 0 01 xfxF 则最多一个实根 原题得证 则最多一个实根 原题得证 0 xF 例例例例 2 332 332 332 33 设求证 在有且仅有设求证 在有且仅有3 1 2 1 0 ffxf0 xf 1 一根 一根 证法证法证法证法 1 1 1 1由知在上单调减 又 则当由知在上单调减 又 则当0 xf xf 1 03 1 f 时 从而在上单调减 方程在时 从而在上单调减 方程在 1 x0 xf xf 1 0 xf 上最多一个实根上最多一个实根 1 由泰勒公式知当时由泰勒公式知当时 1 x 2 1 2 1 1 1 x f xffxf 2 1 2 1 32 x f x xx35 1 32 令 则令 则2 x0165 2 f0 xf 1 证法证法证法证法 2 2 2 2 21 12 1 2 ccfff 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 51 12 1 递减xff 即即0132 12 1 1 2 f 由零点定理知方程在内至少有一实根由零点定理知方程在内至少有一实根 0 xf 1 题型三题型三题型三题型三不等式证明不等式证明不等式证明不等式证明 证明不等式常用的五种方法证明不等式常用的五种方法证明不等式常用的五种方法证明不等式常用的五种方法 1 单调性 2 最大最小值 3 拉格朗日中值定理 4 泰勒公式 5 凹凸性 1 单调性 2 最大最小值 3 拉格朗日中值定理 4 泰勒公式 5 凹凸性 例例例例 2 342 342 342 34 求证 求证 0 2 lnba ab ab a b 证 证 证 证 只要证只要证 2 ln ln ababab 令令 b 2 ln ln axaxaxaxxf 0 1 2 ln ln 22 x ax x a x xf x ax axxf 单调增 且单调增且单调增 且单调增且 xf 0 0 xfxfaf 0 0 xfaf 即 即 ab ab a b 2 ln 例例例例 2 352 352 352 35 求证 求证 2 0 sin2 x x x 证法证法证法证法 1 1 1 1令 令 xxfxxxfcos 2 sin 2 则 令 分为及 在上令 分为及 在上0cos 2 0 x 2 0 0 0 x 2 0 x 0 0 x 且 在上 且 在上 为 xf xf0 0 0 xff 2 0 x 为 xf xf 且 故在上则且 故在上则0 0 2 xff 2 0 sin 2 xx sin2 x x 证法证法证法证法 2 2 2 2 令 则令 则 x x xf sin 0 tan cossincos 22 x xxx x xxx xf 在上单调减 在上单调减 xf 2 0 2 2 f 例例例例 2 362 362 362 36 比较的大小 比较的大小 e e 与 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 52 解 解 解 解 取对数 等价于比较与的大小 也等价于比较与的取对数 等价于比较与的大小 也等价于比较与的eln lne e eln ln 大小 只要考察在上的单调性 大小 只要考察在上的单调性 x x xf ln e 0 ln1 2 例例例例 2 372 372 372 37 设 且 证明 设 且 证明 1 lim 0 x xf x 0 xfxxf 证法证法证法证法 1 1 1 1由知 由泰勒公式知由知 由泰勒公式知1 lim 0 x xf x 0 0 f1 0 f 2 2 0 0 x f xffxf 2 2 x f x 0 xfx 原式得证原式得证 证法证法证法证法 2 2 2 2由证法由证法 1 1 1 1 知 知 0 0 f1 0 f 又 则单调增 由拉格朗日中值定理知又 则单调增 由拉格朗日中值定理知0 xf xf 介于之间 介于之间 xcffxfxf 0 cx与0 由于单调增 则由于单调增 则 xf xxfxcfxf 0 原题得证原题得证 证法证法证法证法 3 3 3 3只要证 令只要证 令 0 xxfxxfxF 只要证明只要证明0 xF 由于由于1 xfxF 显然显然01 0 0 fF 又 则单调增 为唯一的零点 即又 则单调增 为唯一的零点 即0 xfxF xF 0 x xF 0 x 为唯一驻点 又 为唯一驻点 又 xF0 xfxF 则为在上唯一极值点 且在该点取极小值 因此则为在上唯一极值点 且在该点取极小值 因此0 x xF xF 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 53 在处取得它在上的最小值 在处取得它在上的最小值 0 x 从而从而00 0 0 fFxF 原题得证原题得证 例例例例 2 382 382 382 38 试证 试证 0 0 lnln 2 ln yxyyxx yx yx 证证证证只要证明只要证明 0 0 2 lnln 2 ln 2 yx yyxxyxyx 即只要证函数的图形是凹的即只要证函数的图形是凹的 0 ln xxxxf 由于由于1ln xxf 0 0 1 x x xf 则函数的图形是凹的 原题得证则函数的图形是凹的 原题得证 0 ln xxxxf 题型四题型四题型四题型四求渐近线求渐近线求渐近线求渐近线 例例例例 2 392 392 392 39 曲线的斜渐近线方程为 曲线的斜渐近线方程为 x x y 2 3 1 解解解解a x xx x x y xxx 1 1 1lim 1 limlim 2 3 2 3 x x x axy xx 2 3 1 lim lim x xxx x 2 3 1 lim x x x x 1 1 1 lim 2 3 2 3 xxx x x x 1 2 3 1 1 1 1 2 3 lim 2 3 2 3 b 2 3 则斜渐近线方程为则斜渐近线方程为 2 3 xy 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 54 例例例例 2 402 402 402 40 曲线的渐近线有曲线的渐近线有 2 1 1 arctan 2 1 xx xx ey x x A 1 B 2 C 3 D 4 A 1 B 2 C 3 D 4 解解解解由于由于 0 2 1 1 arctanlim 2 1 xx xx e x x x 则为水平渐近线则为水平渐近线0 y 又又 2 1 1 arctanlim 2 1 0 xx xx e x x x 则为其垂直渐近线则为其垂直渐近线0 x 不存在 不存在 2 1 1 arctanlimlim 2 1 xx xx e x e x y x x xx 则原曲线无斜渐近线 应选 则原曲线无斜渐近线 应选 B B B B 例例例例 2 412 412 412 41 求曲线的渐近线 求曲线的渐近线 xxyarctan 解解解解 显然曲无水平渐近线和垂直渐近线 显然曲无水平渐近线和垂直渐近线 xxyarctan axa x xf xx 2 rctanlim lim 2 rctanlim 2 rctanlim lim xaxxxxaaxxfb xxx b x x x x xx 1 1 1 1 lim 1 2 arctan lim 2 2 是时的斜渐近线 是时的斜渐近线 1 2 xbaxy x 同理是时的斜渐近线 同理是时的斜渐近线 1 2 xy x 题型五题型五题型五题型五微分中值定理证明题微分中值定理证明题微分中值定理证明题微分中值定理证明题 一一一一 证明存在一个点证明存在一个点证明存在一个点证明存在一个点 ba 例例例例 2 422 422 422 42 设在上连续 在内可导 与同设在上连续 在内可导 与同 xf ba baabfbaf ab 号 求证 使 号 求证 使 ba f f 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 55 证 证 证 证 只要证只要证0 ff 令令 xxfxF 则则 abaafaF abbbfbF 由罗尔定理知 使 即由罗尔定理知 使 即 ba 0 F 0 ff 原题得证原题得证 例例例例 2 432 432 432 43 设在上连续 在内可导且 设在上连续 在内可导且 xf 2 1 2 1 2 2 2 1 1 ff 求证 使 求证 使 2 1 2 f f 证 证 证 证 只要证只要证0 2 ff 令令 2 x xf xF 则 则 2 1 1 1 fF 2 1 4 2 2 f F 由罗尔定理知 使由罗尔定理知 使 2 1 即 即0 F0 2 4 2 ff 从而有从而有0 2 ff 原题得证原题得证 例例例例 2 442 442 442 44 设在上连续 在内可导 且 设在上连续 在内可导 且 xf ba ba0 bfaf 求证 使 求证 使 ba 0 ff 证 证 证 证 令令 xfexF x 则 由罗尔定理知 使则 由罗尔定理知 使0 bFaF ba 0 F 即即0 ffe 但 则但 则0 e 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 56 0 ff 故原题得证故原题得证 例例例例 2 452 452 452 45 设在上连续 在 0 1 内可导 且 设在上连续 在 0 1 内可导 且 xf 1 0 1 2 1 0 1 0 fff 试证 1 存在 使 试证 1 存在 使 1 2 1 f 2 对任意实数 存在 使 2 对任意实数 存在 使 0 1 ff 证证证证1 1 1 1 令令xxfxF 0 2 1 2 1 2 1 2 1 fF011 1 1 0 x 从而有 取 则 从而有 取 则0 x xf 0 xf 0 a 同理由知 且存在 同理由知 且存在 0 af2 1 lim 1 x xf x 0 1 f0 1 1 bfb 由于在上连续 且 由零点定理知 由于在上连续 且 由零点定理知 xf ba0 0 bfaf ba 使使 0 f 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 尽请关注 57 2 2 2 2 令 由 于 由 罗 尔 定 理 知 令 由 于 由 罗 尔 定 理 知 xfexF x 0 1 0 FFF 使 使 0 1 1 2 且 且0 1 F0 2 F 即 即 0 11 ff0 22 ff 令 则令 则 xfxfex x 0 21 由罗尔定理知 使由罗尔定理知 使 21 0 从而有从而有0 ffff 即即0 ff 例例例例 2 472 472 472 47 设函数在上二阶可导 且 设函数在上二阶可导 且 xgxf ba0 xg 试证 试证0 bgagbfaf 1 在内 1 在内 ba0 xg 2 在内至少有一点 使 2 在内至少有一点 使 ba g f g f 证证证证 1 1 1 1 由于在上 则方程在内最多两个根 又由于在上 则方程在内最多两个根 又 ba0 xg0 xg ba 则当时 则当时 0 bgag bax 0 xg 2 2 2 2 只要证只要证0 gffg 令令 xgxfxfxgxF 则 由罗尔定理知 使 则 由罗尔定理知 使 0 bFaF ba 0 F 即即0 gffg 例例例例 2 482 482 482 48 设在上连续 且 设在上连续 且 xf 1 0 1 0 0 dxxf 求证 使 求证 使 1 0 0 fdxxf 证证证证只要证明只要证明0 0 fdxxf 考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区考研休闲屋社区友情提供 更多精品 尽请关注 友情提供 更多精品 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