金融数学引论讲义-chapter2.pdf

第二章 1 1 第二章 年金 年金annuity一般是指以相等的时间间隔进行的一系列收付款行为也指以固定的时间周期 以相对固定的方式发生的现金流是持续按期收取的定额款项实际背景有养老金按揭贷款的 分期付款和某些固定收益产品投资的定期固定回报收入现金流等有时将年金的收付款金额简称为 年金金额确定年金annuity certain指无条件确定发生的年金未定年金contingent annuity 指年金的发生是有条件的不确定的付款期payment period指两次年金收取之间的时间间隔 本章只考虑确定年金 年金是一系列特殊现金流方式的总称一般情况下考虑的现金流的金额与利率无关但现金 流在不同时刻的时间价值与利率水平有关而且大多数情况下年金现金流是许多复杂现金流的 基础是利率计算的最直接的一种应用年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计算两大类 2 1 基本年金 本节考虑最简单的一种年金方式支付款周期与利息结算周期相同我们称之为基本年金下 面分几种典型情形讨论 2 1 1 期末年金annuity immediate 定义 2 1 若年金的现金流在第一个付款期末首次发生 随后依次分期进行 则称其为期末年金 定义2 2 若每次的年金金额为 1 个货币单位现金流在第一个付款期末首次发生共计n次 称为n期标准期末年金 其时间流程图 1 1 0 1 n 用记号 in a 表示比较日选为 0 时刻的标准期末年金的所有年金金额的现值之和 有时也用记号 in a 代表利率i环境中的标准期末年金的现金流其中a是年金的英文单词的第一个字母n表示 年金现金流的次数i表示年金的计算利率在不至于产生歧义的情况下也将其简单记为 n a 基本计算公式为 in a n vvv L 2 i vn 1 2 1 1 第二章 2 2 其中v为i对应的贴现因子 记号 in a 是用途非常广泛和灵活的一种表示 1 n a本身也表示一定的现金流由 2 1 1 n n via 1 2 1 2 它的含义是 0 时刻一个货币单位的价值 0 n上每次利息收入i的现金流价值i n a n时刻一个货币单位的现值 n v 2 1 n a 可以表示 0 时刻的一个货币单位的贷款对应的n期期末年金现金流 1 n a 1 n a 1 n a 1 n a 1 n a 0 1 2 3 n1 n 用记号 in s 表示标准期末年金的所有年金金额在年金结束时刻的终值之和 简单记为 n s 基本计算公式为 in s 12 1 1 1 1 n iiiL i i n 1 1 2 1 3 结论2 1 n s与 n a有如下关系 1 n s n a n i 1 2 i sa nn 11 证明 1因为 in s i i n 1 1 in a i vn 1 所以 n s n a n i 1 2由 1知 n s n a n i 1 第二章 3 3 所以 11 1 n nn ii sai 1 1 1 1 n n n i ai 1 n a 结论证毕 例2 1 现有十年期 50 万元贷款年利率 8 试比较以下三种还贷方式的应付利息情况 A 在第十年底一次付清 B 每年底偿还当年的利息本金最后一次付清 C 每年底偿还固定的金额十年还清 解 方式 A 在第十年底的一次还款为 500 000 10 1 08 1 079 462 50 其中的利息为 1 079 462 50 500 000 579 462 50 应付利息约为五十八万元 方式 B 每年所付利息为500 000 08 40 000 总的利息付出为1040 000 400 000 应付利息为四十万元 方式 C 设每年的还款额为R价值方程R 10 08 a500 000由710081 6 8 10 a解得 10 08 500 000 74 514 54R a 10 年的付款总额为1074 514 54 745 145 4 其中的利息总额为745 145 4 500 000 245 145 4 应付利息约为 25 万元 说明这里的计算是没有考虑时间的虽然三种利息结果不同但所有还款的现值是相同的都是 原始贷款 2 1 2 期初年金annuity due 定义2 3 在合同生效时立即发生首次的现金流随后依次分期进行的年金方式称为期初年金 定义2 4 每次的年金金额为 1 个货币单位在合同生效时立即发生首次的现金流共计n次 称为n期标准期初年金 第二章 4 4 时间流程图 1 1 1 1 0 1 2 n1 n 用记号 in a i 2 10 1 10 21 2 2 4 连续年金 如果年金的付款周期可以充分小付款间隔充分小付款频率很快相当于 m 极限状 态为每个瞬间的年金金额为 1 个货币单位时间为n个利息换算期利息力为 用 n a 表示 这种连续年金的现值则有 n a n tdt v 0 n v 1 2 2 14 或 n a n e 1 2 2 15 还有 n a in a i 2 2 16 其中 ln 1 i 另一方面连续年金也可被看作是广义年金的极限状态 limlim mm nnn mm aaa 关于连续年金的终值也有类似的结论 n s n t dti 0 1 1 1 n i 2 2 17 第二章 14 14 1 n e 2 2 18 in s i 2 2 19 2 3 变化年金 这一节考虑年金的数额是变化的情况当然理论上讲可以考虑任意金额的年金现值但是 在实际操作中还是有一些常用的模式计算的一般原则是计算每次付款的现值然后求和 2 3 1 一般变化年金付款期 利息换算期 首先限制年金的周期与利率周期相同年金金额以下面几种方式变化 1等量变化 顾名思义等量变化年金的一般方式为首付P元然后每次变化Q元总计n次期末方式 其中P 0 Q为任意实数流程图如下 P P Q QnP 1 1 2 n 如果用A表示这种期末年金的现值则有 A n vQnPvQPvQPPv 1 2 32 L i nva Q i v P n n n 1 i nva QPa n n n 2 3 1 注Q可以是负数表示年金金额随时间递减但是要求P n1 Q 0 定义2 7 若2 3 1中P Q 1则称这样的变化年金为标准递增年金increasing annuity它的现值用 n Ia表示 n Ia i nva a n n n i nva n n 2 3 2 实际上许多变化年金都可以用这种标准递增年金表示例如对前面的一般变化年金有 A PQ n a Q n Ia 2 3 3 第二章 15 15 结论2 8 式 2 3 4 也可以表示为 n nn nvIaia 证明 左边表示每次在期初投资 1 元的现值之和右边的两项分别表示这种投资的利息每年 递增i现值之和本金之和n的现值流程示意图为 利息之和 i 2i in 1 n i 本金之和 1 2 3 n n 年金金额 1 1 1 1 0 1 2 1 n n 所以根究其流程示意图知年金现值为 n a 其中本金和的现值为 n nv利息的现值之和为 n Iai 因 此结论成立证毕 递增年金在结束时的终值一般用 n Is表示 n Is n Ia n i 1 i nsn 2 3 4 i nsn 1 1 2 3 5 结论2 9 可以将递增年金理解为一组固定年金的组合 n Ia 1 0 n t tn ta v 2 3 6 证明 流程示意图为 0 1 2 t n1 n 递增年金 1 2 t n1 n 固定年金 0 t 1 1 1 1 1 1 t 1 1 1 1 1 nt 1 由其流程示意图可以推知结论成立证毕 定义2 8 若1 QnP则称此变化年金为标准递减年金decreasing annuity它的 现值用 n Da表示 n Da i an n 2 3 7 第二章 16 16 递减年金在结束时的终值一般用 n Ds表示 n Ds i sin n n 1 2 3 8 结论2 9 可以将递减年金理解为一组固定年金的组合 n Da n t t a 1 2 3 9 证明 画出其流程示意可以得到结论这里不再详细说明 结论2 10 对公式 2 3 1 所代表的一般等量变化年金也可以表示为一组固定年金的和 n Pa 2 2 1 1 n t tn t avQ 证明 流程示意图为 0 1 2 t n 变化年金 P P Q QtP 1 QnP 1 固定年金 P P P P 1 t Q Q Q 1 nt Q 因此其现值公式为 n Pa 2 2 1 1 n t tn t avQ 证毕 以上的所有结论都可以推广到期初年金的情形只是所有表达式分母中的i都要换成d 最后考虑变化的永久年金只要对公式2 3 1取n则有现值表示 i P 2 i Q 2 3 10 因为n所以这里的Q必须为正数 2 比例变化年金 直观地看这种年金的金额是比例变化的一般的比例期末年金为首付 1 元随后每次增加k 倍总共n次其现值为 ki i k vkvkv n nn 1 1 1 1 1 12 L 2 3 11 第二章 17 17 当然这个公式要求ik一旦i k就意味着利率与年金增长比例相同相当于每次付款的现 值相同均为vn次付款的现值之和为n v因此只有当k 利息换算期或表示为 付款期 k利息换算期n k表示总的付款次数这 里要求n是k的倍数 即n是付款总时间用利息换算期度量的结果i表示每个利息换算期的实利 率如果考虑首付 1 元随后每次递增 1 元的方式现值为A A nkk v k n vv L 2 2 进而有 k i 1 A knk v k n v L21 两式相减 A k i 1 1 nknkk v k n vvv L 2 1 第二章 18 18 最终有 A k n k n is v k n a a 2 3 12 如果k 1则退化为递增年金上面的现值公式也退化为公式2 3 3所以这个公式是一种广 义的递增年金现值公式 例 2 15 计算下面年金的现值第三年底 1 元第六年底 2 元 依此类推 解 用A表示这个现值则有 A v3 2v6 其中v i 1 1 i为年实利率化简后有 A 23 3 1 v v 2付款期 利息换算期每个利息换算期内付款m次n m表示总的付款次数这里要求 总的付款次数是m的倍数i表示每个利息换算期的实利率考虑以下两种年金付款方式 1 付款额的变化与利息换算期的变化同步 标准情形为在前m次付款中例如第一年内年金为 m 1 第二个m周期内第二年内 的年金金额为 m 2 随后依此类推最后一个利息换算期内的年金金额为 m n 沿用前面的记号 用 m n Ia表示这种年金的现值它等价于在第一年底一次支付 1 m s在第二年底一次支付 2 1 m s依此类推所以有 m n Ia 1 m s n Ia m n n i nva 2 3 13 对于一般的实数R m n IaR表示下面这种年金的现值第一个周期内的付款额为R m 1 第二个周期内的付款额为R m 2 第n个周期内的付款额为R m n 例如某三年期按月 付款的年金方式为第一年内每月底付款 1000 元第二年每月底付款 2000 元第三年每月 底付款3000元 即m 12n 3R 1000m 12 000 这意味着 该年金的现值为12000 12 3 Ia 2 付款额的变化与付款期的变化同步 具体考虑标准方式首付 2 1 m 每次增加 2 1 m 第一个利息换算期内的最后一次付款额为 m 1 第二个利息换算期内的最后一次付款额为 m 2 最后一个第n个利息换算期内的最后一 第二章 19 19 次付款额为 m n 这种年金的现值一般用 m n m aI表示 m n m aI 2 21 2 m nmvvv n mm L m nm n i nva 2 3 14 对于一般的实数RR m n m aI则代表下面这种年金的现值第一个周期内的首付款 为R 2 1 m 然后每次增加R 2 1 m 第一个周期结束时的最后一次付款额为R m 1 第n个 周期结束时的最后一次付款额为R m n 例如某三年期按月付款方式的年金为第一个月 底为 100 元第二个月底为 200 元 依此类推每月增加 100 元第三年底的最后一次付 款额为 3 600 元即m 12n 3R 100m2 100144 14 400意味着如果年实利 率为i年金现值为 14400 12 3 12 aI 例2 16 计算以下年金在第十年底的终值从现在开始每半年一次首付 2000 元然后每次减 少 2共计 10 次季结算名利率 10 解 终值计算公式为 2000 2293623840 025 1 98 0 025 1 98 0 025 1 98 0 025 1 L 2000 2 201040 025 1 98 0 1 025 1 98 0 025 1 40 052 3付款金额任意变化的年金现值 考虑一般的离散年金设时刻t的付款金额为 t rnt 2 1K 这种年金的现值为 n t t tv ra 1 同时它相当于一组固定年金的和 n t tn t tt avrra 1 1 1 1 假设0 0 r流程示意图为 0 1 2 t n 变化年金 1 r 2 r t r n r 固定年金 1 k 01 rr 01 rr 01 rr 01 rr 2 k 12 rr 12 rr 12 rr 第二章 20 20 nk 1 nn rr 2 3 3 连续变化年金 如果可以理想化年金方式用函数f t 表示时刻t的年金金额那么用实利率i表示的n年期 连续年金现值为 n tdt vtf 0 2 3 15 若f t t 现值用 n aI表示 n aI n n n t nva dttv 0 2 3 16 自然有 lim m n m m aI n aI 更一般地考虑用一般利息力函数 s 表示的连续变化年金的现值公式 0 0 t n s d s f t edt 2 3 17 例2 17 n年连续年金利息力函数为常数 年金函数为t 2 计算该年金的现值 解 经计算得到以下现值结果 22 2 323 nn e n 2 4 实例分析 2 4 1固定养老金计划分析 1一般情形 责任未退休时每月初存入一定金额具体方式为 25 岁 29 岁 月付 1 X30 岁 39 岁 月付 2 X40 岁 49 岁 月付 3 X50 岁 59 岁 月付 4 X 权益从退休时60 岁开始每月初领取P元的退休金一直进行二十年 问题在给定年利率i的条件下分析退休基金的存款金额 1 X 2 X 3 X 4 X和最终的月退 休金P关系 2考虑 25 岁参加养老计划基本的价值方程为 第二章 21 21 12 20 12 a P 30 12 5 1 1 12isX 20 12 10 2 1 12isX 10 12 10 3 1 12isX 12 10 4 12s X 于是 20 10 34 20 23 30 12 35 1 a sXXsXXsXXsX P 下面考虑一个具体例子的计算 例2 18 年利率i 10 因此有 10 20 a 8 5136 10 35 s 271 0244 10 30 s 164 4940 10 20 s 57 2750 10 10 s 15 9374具体的存款方式为在 25 岁到 29 岁时每月存款 200 元在 30 岁到 39 岁时每月存款 300 元在 40 岁到 49 岁时每月存款 500 元在 50 岁到 59 岁时每月存款 1000 元分别对不同年龄的计划参加者计算月退休金 解 1恰好在 25 岁开始加入养老金计划 1 20 1 101 201 301 35 522 100 a ssss P 10 580 48 60 岁以后的月退休金为P 10 580 48 元即每月领取约一万元的退休金直至 80 岁 2从 30 岁开始加入养老金计划 1 20 1 101 201 30 523 100 a sss P 8077 89 60 岁以后的月退休金为P 8077 89 元即每月领取约八千元的退休金 3从 40 岁开始加入养老金计划 1 20 1 101 20 500 a ss P 4299 73 即60 岁以后的月退休金为P 4299 73 元即每月领取约四千元的退休金 2 4 2购房分期付款 先引入如下的记号 P 一次性付款的金额 k 一次性付款比例 i 年利率 n 分期付款年数 R 每月月底付款金额 则有 12 12 1 n RaPk 第二章 22 22 因此 12 12 1 n a Pk R 例2 19 已知P 500 000 k 30 i 8 12 i 077208求R 解 1分五年付清 08 5 a3 9927得到R 7050 05每月付款约七千元 2分八年付清 08 8 a5 7466得到R 4898 33每月付款近五千元 3分十年付清 08 10 a 6 7101得到R 4194 98每月付款约四千元 3年金函数的性质 例2 20 解释 1 1 n k ni k n si k 的实际意义 解 该表达式的数学证明很容易请读者自己完成下面分析该表达式所代表的现金流过程也 就是说标准期末年金在复利计算方式下的利息实现过程 第一步 考虑年金本身生成的利息流 在时刻 1 1t tn K的 1 元年金产生的利息流为从时刻t到 n的i元现金流年金的利息流为 t时刻的利息流 i i i K K K K 1 时刻的利息流 i i i i i 本金 1 1 1 1 1 0 1 2 3 t t 1 n 1 n 将每个时刻的利息合并则合并为下面的现金流 i 2i n 2 i n 1 i 0 1 2 3 n 1 n 这些现金流的直接求和为 1 1 n k ki 第二步重复上面的步骤将前面的利息流作为新的本金流考虑其生成的新的利息流 t时刻的利息 t 2 i t 2 i t 2 i K K K K 2 时刻的利息 2 i 2 i 2 i 2 i 本金 i 2i n 2 i n 1 i 0 1 2 3 t t 1 1 n n 第二章 23 23 合并后相当于下面的现金流 2 i 2 1 n k k 2 i 1 1 n k k 2 i 0 1 2 3 1 n n 直接求和为 11 2 2 nn kkt ki 依此类推 1 1 n k ni k n si k 表示标准期末年金的复利计息方式的利息实现过程 例2 21 单利情形的年金计算分析形式上仍然可以考虑年金的价值计算即 年金在某个时刻 的价值现值或终值为年金现金流累计或贴现到该时刻的价值之和例如金额为 100 元的 20 年期初年金以单利率i累计到 20 年底的价值为 2500 元如果以相同的利率按复利累计价值为 单利 100 20 1220 200021 0004100 10 AVii i L 复利 20 10 100100 1 10 57 27506300 25AVs 显然两种方法的结果相差很大这表明单利方法的结果对计算方式非常灵敏请看下面的说明 已知利率水平i单利方式 方法一 0 1 t i t it 000 1log 1 exp 1 ntn s n in ads dtdt iti 00 1log 1 exp 1 1 nnn s n t inin sds dtdtin iti 所以有 1 nn sin a 与复利类似的结果 方法二 对任意的时间区间 1212 t ttt 以单利率累计 即 1 t的 1 元 2 t的 21 1 i tt 则 n a不 变而 0 1 1 2 n n in si n t dtn 显然没有 1 nn sin a 成立 2 4 3 年金利率的近似计算 已知年金的现终值反解年实利率是年金计算中常见的基本问题当然现在的许多金融 第二章 24 24 计算器都配备了这种功能尽管如此我们在这里介绍一种求数值解的算法供读者参考 例2 22 已知当前投入为 12 万元随后的 5 年中每年底收益 2 万 2 千元试计算年实利率 解 设i为年实利率则有如下等式000 100000 22 5 i a化简为09091 4 5 i a 下面反解i对一般的问题设a为现值n为期限则有i为下面方程的解 i i a n 1 1 首先利用简单的泰勒展开到平方项取初值 1 2 nn an i 然后以下面的方法叠代计算 k n k in kk i ina aa ii k 1 1 1 停止的准则可以是类似 kkk iii 001 0 1 形式的判别 用这个方法计算本例有0606 0 1 i最终有 例2 23 计算下面年金的年实利率i每个季度末投入 100 元在第五年底的终值为 2500 元 解 设 4 i为与i等价的季名利率j 4 4 i 则有 2500100 20 j s 或 25 20 j s求解j的方法很多一般为数值近似计算例如以0225 0 25 1 20 25 2 j为初 值以公式进行叠代得到j 022854 年利率i 0946 0 1 1 4 ji 2 4 4一般问题 例 2 24 某人继承了一笔遗产从现在开始每年得到 10 00