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小学数学中的数学史教育摘 要当前，关于HPM的学术研究蓬勃发展、方兴未艾。数学史教育与数学发生学等与HPM有关的课题研究已经逐步渗透到数学教育教学中，并越来越得到广大教育工作者的重视。本文从小学数学教育入手，探讨其中的HPM课题：1.数学史走进数学教材 2.数学史走进数学课堂关键词 HPM 数学史 数学教育一 引言HPM是International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics的英文缩写。在国际上，1972年就成立了HPM组织，标志着数学史与数学教育的关系作为一个新的学术领域出现。4年后，HPM研究组织成为ICMI（国际数学教育委员会）的下属组织。而此后的几年，世界各地兴起了关于“数学教育中的历史”的研讨会。在中国台湾，2000年8月9日8月14日，召开了标题为“数学史与数学教育：新千年的挑战”的HPM卫星会议，这一举动极大地促使了中学教师去关注数学史在课堂中的作用。2002年第24届国际数学家大会在中国北京召开，这是我国数学届的一件大事，预示着我国的数学教育将与国际化趋势相一致。在我国的HPM研究在中学、大学阶段有重大起色的同时，它也走进了小学教育。第一届全国数学史与数学教育会议上，中国科学院李文林先生提出：“数学史除了为历史、为数学而历史之外，还应该为教育而历史，这也就是要发挥数学史的教育功能”。小学数学中，数学史的教育功能在数学教材、数学课堂教学中都有所体现。二 数学史走进数学教材新一轮的中小学数学课程中，数学史被看作理解数学的一种途径，被提倡作为一种文化传播给学生。我国数学教材的改革过程中，也竭力把数学史渗入教学内容。那么，它是如何渗透的呢？（一） 0的起源1.人教版小学数学一年级上册教材的第一章,首次向学生引入“0”这一概念，它的展示方法让“0”的意义丰满，教材中出现了三幅图画。第一幅：三只猴子面前分别摆了三个盘子，第一个盘子中放有2只桃子，第二个盘子中放有1只桃子，第三个盘子是空的。图示如下： 2 1 0我们翻开数学史，其中“0”的起源则直接与佛教大乘空宗的出现有关，它与自然数1，2，3等不同，代表的是“无”。教材中空盘子的喻义与此一致。 第二幅图： 三只小鸟都飞走了，这一画面反映了所谓的“一切皆空”。这一命题由印度龙树及弟子提婆所创立。2. “0”并不仅仅是“没有”，不完全等同与“无”。数学课程标准（实验稿）第63页提出：通过历史材料使学生体会“0”的双重含义作为位值记数法中的空位记号与一个独立的数。在十进制中，逢十就进一位，而在进位后补上“0”，如10，100，1000等。没有“0”就没有进位制，在小学数学教材一年级下册的“数数 数的组成”一节中，以10根小棒为一捆，10捆为100根，就体现了0的这一意义。心经中强调 “色不异空，空不异色。色即是空，空即是色”，这种“空即是有”、“空即不空”的论述，从哲学上引导着“0”在十进制中充分发挥作用，使“0”比其它一切数具有更丰富的内容。“0”的这一系列呈现过程，在保持真实性的前提下由“0”起源的数学史史学形态向教育形态转化，使其融入教材并能够为学生所接受，虽不提数学史，但用数学史。（二） 四则运算的历史渊源加、减、乘、除四则运算在生活中应用最为广泛，它是学好之后一切数学的基础。在向刚踏入数学殿堂的学生传达这四则运算的思想方法时，该以怎样的手段让学生深刻地领会呢？教材的编排中就考虑到了数学史的因素。1. 在人教版小学数学三年级上册的31页，有一小段文字介绍“+”和“-”的最先使用情况，这两个符号是五百年前的一位德国人最先使用的，当时它们并不表示“加上”和“减去”，直到三百多年前才正式用来表示“加上”和“减去”。准确地说，是在十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“+”用作加号，“-”用作减号。小学数学一年级上册的教材在让学生认识“+”和“-”掌握加减法运算方法之前，先是通过一系列的图画从直观上表示出加法和减法的含义。如图： 4 4 4 3 1 1 3 2 2 4 4 5 1 23然后在“加法”、“减法”章节中，用算式结合图画引出了“+”和“-”，即教材中列式：1+2=3，3-1=2。这和我们流传的另一个数学故事表意相似，是说古时候的卖酒商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原线条勾销，这就成了个“+”号。2.“”和“”的历史起源分别在三年级上册和下册有所介绍。乘号现在通用的有两种，一个是“”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的，一个是“ ” ，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“”号像拉丁字母X ，加以反对，而赞成用“ ”号。到了十八世纪，美国数学家欧得莱确定，把“”作为乘号。他认为“”是“ + ” 斜起来写，是一种表示增加的符号。除号是瑞士数学家拉哈在他所写代数学里，根据群众创造，正式确定为 “ ”的，这一举动发生在三百多年前，用一条横线把两个圆点分开，恰好表示了平均分的意思。（三）、 ”和小于号 “ ”。（ 四）各种简单几何面积计算的历史背景1. 面积单位亩。在向学生介绍了平方米、平方分米、平方厘米等单位面积之后，教材复原了两千多年前的计算土地面积的方法，用走步发量出长方形土地的长和宽的步数，根据九章算术“方田术日，广从步数相乘的积步”。即长乘以宽求出面积，除以240，就得亩数。亩这个单位现在已经废除，但在农业生活中还有应用，一亩约等于667平方米。2. 三角形的面积。人教版小学数学教科书，五年级上册的“三角形的面积”一节的教材编排，向学生启发三角形的面积计算方法时，通过学生自己的动手实践，分别用两个相同的直角三角形，普通三角形拼出已经知道计算公式的长方形和平行四边形，从而得出三角形的面积等于等底等高的平行四边形面积的一半。这和古代数学家刘徽利用的出入相补原理一致，即把一个图形进行分割，而面积保持不变。又如2000年前，我国数学名著九章算术中的“方田章”论述的那样，“圭田术日，半广以乘正从”。这就是说：三角形的面积=底高2。3.圆的面积。小学数学第十一册圆的面积的教材的编排中，在推导圆面积计算方法的过程中，把圆平均分成8份、16份、32再把它剪下来，拼一拼，能拼出平行四边形、三角形、梯形、长方形这些以知计算公式的图形。这种做法传承了刘徽割圆术的思想。刘徽从圆内接正6边形开始割圆，后将边数增加，求其内接正多变形的边长、周长、面积。当正多边形的边数越来越多时，趋于无穷大时，圆内接正多边形的面积就是圆面积。（五）数学家高尚的人文精神 数学家是数学史的一朵朵奇葩，他们的优秀智慧，深邃思想，精湛的方法，奇妙的猜想，以及严谨态度和锲而舍的探索精神不仅能激发学生的学习兴趣，更能帮助学生深刻地理解数学。诸如高斯10岁计算1到100之和的故事，不仅可以调动学生对数学学习的良好情感和愿望，还可以告诉学生数学具有简单、和谐、有序等特点。要注意寻找内在规律，发挥借鉴和引领作用，从而有效地促进学生对数学知识的深刻理解，学会数学地思考。 在现行的小学数学教科书中，有关数学家的阅读材料，数学趣闻等，相对安排得较少，有必要加强。三 .数学史走进数学课堂数学史的作用曾一度被误解，在课堂教学中教师往往是通过介绍古代数学成就进行爱国主义教育，通过提供一些“花絮”提高学生的学习兴趣，活跃课堂气氛。随着HPM研究的深入，数学史渐渐守得云开见月明。M克莱因提出：必须将每一种数学思想或方法的直观意义从直观上清楚地讲给学生。而这每一种数学思想或方法的直观意义就必须从数学史中获取。所以，数学史介入数学课堂将为数学教学注入新的活力，带来勃勃生机。（一）把数学史完美有效地融入数学教学设计中早在18世纪，法国实证主义哲学家、社会学创始人孔德就提出，对孩子的教育应按历史上人类受教育的方式和顺序进行。换言之，个体的知识发生过程应符合历史上人类的知识发生过程。19世纪英国著名数学家德摩根不仅强调数学史对数学研究的重要性，也强调数学教学中应遵循的历史次序。因此，我们在教学中就要努力把数学史完美有效地融入其中。如在教代数时，不要一下子把新符号都解释给学生，而应该让学生像最初发明这些符号的人那样从完全的书写方法到简单书写方法的顺序学习符号。如学生应先使用aa,aaa,而不是a2,a3,直到他们不再混淆2a与a2,3a与a3，这和我们今天所说的发生学教学思想是一致的。这样操作能让学生通过从新的视角看问题，对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力。再比如在教学人教版小学数学三年级上册的“分数的初步认识”一章第一节“几分之几”的时候，教师可以让学生自主选择方法表示下图中的阴影部分。 学生的一系列方法大多都是自己的设想。会有, 或其它方法。而这个时候老师就可以遵循学生的这种认知方式告诉他们，像他们所猜测的那样，最初的 就表示成 。 但是，这种表示方法在分母（分子）较大的时候，比如在 ，的表示上就很不便，所以需要有所改进。后来印度人就表示成 ，再往后，阿拉伯人发明了分数线，也就有了我们现在的表示方法 。而最早的分数，则见于阿默斯草卷，据其记载，埃及人在四千年以前已经掌握了单分数分子为1的分数的一般记法。但是，分数只是单分数吗？难道 , , 就不是分数吗？古埃及人曾为此伤透脑筋，但结果却不令人满意。埃及人最终既没有认识到分数可以看作两整数相除的商，更没有给出分数的一般表示。教师可按上述数学史发展的史学形态将分数的初步认识从“几分之一”引到“几分之几”。大约在公元前五世纪左右，中国开始出现把两个整数相除的商看作分数的认识，这正是我们现在所认识到的的分数涵义的重要部分。同时，还可以向学生介绍中国现在尚能见到的最早的一部数学著作算数书，此书已经对分数作了深入的研究。把数学史完美有效地融入数学教学设计中，可丰富拓宽数学文化背景，为学生提供充足的感性教学材料，提高学生理性分析及缜密的逻辑推理的能力。我们在具体的教学中应利用数学史促进数学知识内部的连接、联系、发展并延伸有关的数学概念。 （二）把数学史有机融入课堂教学过程 把数学史融入数学课堂教学的最主要目的是让学生更深刻地了解数学、理解数学，更好地促进学生学好数学。在这个过程中，要注意数学史融入的适时适度，并不是所有的内容都需要以史学形态呈现的，也不能为了数学史而数学史。如果将数学史“强行”纳入数学课程，那么学生就会兴趣索然，或因其与考试无关而抵制学习。所以，在教学中，必须根据教学内容和学生的认知需求，进行数学形态转化和教学设计，把数学史有机地融入教学，使其对学生学习数学产生潜移默化的激励和促进作用。 四 。建议与小结 数学史走进数学课堂，必然需要在课堂中起主导作用的教师积极主动地引进数学史。然而，在当前数学教师很大程度上缺乏基本的数学史素养，这就要求教师在新时期重新学习数学史，进一步把握数学史的理论知识，从而能够运用数学史的根本意义去调动学生的主体意识，启发学生的深层次思维，使之形成良好的思维品质，而不仅仅是局限于运用数学史来引发兴趣和激励榜样。 教师自身的数学史素养提高了