2008年福建地区数学学科十大类型应用题的建模及解法策略.doc

1 九大类型应用题的建模及解法策略九大类型应用题的建模及解法策略 1 流行的线性规划问题与用料最省 流行的线性规划问题与用料最省 在现代企业中 几乎每一个公民都明白这样一个道理 降低生产成本 遏制有限资源的流失与浪费 是衡量企业管理的一个重要内容 是提高企业效益的一个基本策略 在我们学校 随着学生的增多 我 校的教学资源已相对不足 为了改善办学条件 以适应现代教育的需要 我校决定在学校有限的土地上 及有限的资金中 济出财力来建一栋一流的教学大楼 如何以最小的投入来获取最大的收益呢 让我们 利用有关的数学知识 来共同来探讨如下几个问题 问题问题 1 在广铁一中的东南方有一块如图所的地 其中两面是不能动的围墙 其余各边界是不能动的一 些体育设施 现准备在此建一栋教学楼 使楼的底面为一矩形 且靠围墙的方向 须留有 5 米宽的空地 问如何设计 才能使教学楼的面积最大 解 由图建立如图所示的坐标系 可知 AB 所在的直线方程为 1 即 x y 20 x 20 y 20 设 G x y 由 y 20 x 可知 G x 20 x S 39 5 20 x 23 5 x 14 x 18 x x2 4x 18 14 x 2 2 256 由此可知 当 x 2 时 S 有最大值 256 平方米 故在线段 AB 上取点 G 2 18 过点分别作墙的平行线 在离墙 5 米处确定矩形的另两个顶点 H I 则第四个顶点 K 随之确定 如此矩形地面的面积最大 问题问题 2 学校的这一块地皮 通过专家估算 价值为 400 万 现用来建每层为 256 平方米的楼房 楼房 的总建筑面积 即各层的面积之和 的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关 楼房升高一层 整栋楼 房每平方米的建筑费用平均提高 5 已知建筑 5 层楼房时 每平方米的建筑费用为 500 元 为了使该楼 每平方米的平均综合费用最低 综合费用是建筑费用与购地费用之和 学校应把楼建成几层 解 设应把楼房建成 x 层 则楼房的总面积为 256x 平方米 每平方米的购地费为 4000000 256x 元 每平方米的建筑费用为 500 500 x 5 5 元 于是建房每平方米的综合费用为 y 500 500 x 5 5 375 25x 375 2 375 2 4000000 256x 4000000 256x 25 4000000 256 5 2000 16 375 750 1125 元 x y o 图 59 25 5 39 G B A 2 当 25x 即 x2 x 25 时 y 有最小值 1125 4000000 256x 4000000 256 25 2000 16 5 故为了使该楼每平方米的平均综合费用最低 学校应把楼房建成 25 层 问题问题 3 教学楼建好后 需要对房间的内墙再进行一次粉刷装修 结合勤工俭学 并培养学生的实践能 力 决定自制一种涂料 提供给装潢公式 下表为制造涂料所需的各种原材料和购进的量 制造每千克 高档涂料与或普通涂料所需要的原料以及利润 其它的原料本题不作考虑 胶 水双 飞 粉白 乳 胶利 润 高档涂料 千克100 克200 克300 克3 元 普通涂料 千克300 克200 克100 克2 元 存 量1500 千克1200 千克1500 千克 1 现有原料的情况下 要想获得最大利润 问普通涂料和高档涂料应各生产多少千克 2 在获得最大利润时 何种原料有剩余 能剩余多少 解 1 设高档涂料和普通涂料应各生产 x 千克和 y 千克 获得 的利润为 z 则 即 100 x 300y 1500000 200 x 200y 1200000 300 x 100y 1500000 x 0 y 0 x 3y 15000 x y 6000 3x y 15000 x 0 y 0 利润 z 3x 2y 可行性区域如图所示的阴影部分 其中 l1 x 3y 15000 l2 x y 6000 l3 3x y 15000 l1与 l2的交 点为 A 1500 4500 l1与 l3的交点为 B 3250 3250 l2与 l3的交点 为 C 4500 1500 因目标函数 z 3x 2y 在可行域上的最大值在区域边界的 A 1500 4500 处取得 此 时 z 的最大值为 3 4500 2 1500 16500 故知普通涂料和高档涂料应各生产 1500 千克和 4500 千克 2 这时所用面粉为 45 10000 15 30000 900000 克 故还余面粉 1500 900 600 千克 问题问题 4 在房屋装修的过程中 估计需要用到学校的客货两用车 经实际探索 知该车的燃料费与其 速度的立方成正比 且知其速度为每小时 64 公里时 燃料费为每小时 40 元 其余费用 不随速度变化 如过桥费 使用年限等 为每小时 250 元 则当汽车的速度为每小时多少公里时 行驶每公里的费用之 和最小 最小值为多少元 解 设汽车的速度为每小时 x 公里时 燃料费用为 m 由题意可得 m kx3 速度为每小时 30 公里时 燃料费为每小时 20 元 x y o 图 l1 x 3y 1500 A l2 x y 6000 l3 3x y 1500 3 64 k 403 从而 k 即 m x3 又设行驶每公里的费用总为 y 元 则 1 1000 1 1000 y 0 001x2 3 3 7 5 元 0 001x3 250 x 125 x 125 x 3 0 001x2 125 x 125 x 25 10 当且仅当 0 001x2 即时成立 x 50 时 等号成立 125 x 即当车速为每小时 50 公里时 行驶每公里的费用总和为最小 最小值是 7 5 元 问题问题 5 学校决定对教学楼部分房间配制现代化的电了教学设备 并对其两种电子装置配一个外壳 现有 A 种电子装置 45 台 B 种电子装置 55 台 需用用到两种规格的薄金属板 甲种薄金属板每张面积 2m2 可做 A B 的外壳分别为 3 个和 5 个 乙种薄金属板每张面积 3m2 可做 A B 的外壳分别为 6 个 求两种薄金属板各用多少张 才能使用料总的面积最小 解 设用甲种薄金属板 x 张 乙种薄金属板 y 张 则可做 A 种产品外壳 3x 6y 个 B 种产品外壳 5x 6y 个 由题意可得 3x 6y 45 5x 6y 55 x 0 y 0 所有的薄金属板的总面积是 z 2x 3y 可行性区域如图所示的阴影部分 其中 l1 3x 6y 45 l2 5x 6y 55 l1与 l2的交点为 A 5 5 因目标函数 z 2x 3y 在可行域上的最小值在区域边界的 A 5 5 处取得 此时 z 的最小值为 2 5 3 5 25 即甲 乙两种板各 5 张 能保证制造 A B 的两种 外壳的用量 同时又能使用料总面积最小 问题问题 6 教学楼包装好后 学校预算用 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子 希望使桌椅的 总数尽可能的多 但椅子数不能少于桌子数 且不能多于桌子数的 1 5 倍 问桌椅各买多少才行 解 设桌 椅分别买 x y 张 把所给条件表示为不等式组 即约束条 件为 50 x 20y 2000 y x y 1 5x x 0 y 0 设 z x y 点 x y 的可行性区域如图所示的阴影部分 其中 l1 5x 2y 200 l2 y x l3 y 1 5x l1与 l2的交点为 A l1与 l3的交点为 B 25 所以满足条件的可行性区域 200 7 200 7 75 2 x y o 图 A l2 5x 6y 55 l1 3x 6y 45 x y o 图 l1 y 1 5 x z x y l3 5x 2y 55 l2 y x 4 是以 A B 25 O 0 0 为顶点而构成的三角形区域 由图形的直观性可知 目标函数 200 7 200 7 75 2 z x y 在可行域内的最优解是 25 但注意到 x y N 故取 y 37 故买桌子 25 椅子 37 张是满 75 2 足条件的最好选择 5 立足于函数的有关题型 立足于函数的有关题型 解决好数学问题 无论采用何种手段 关建是建立起恰当的函数关系式 常涉及有物价 路程 产 值 环保 土地等实际问题 也有涉及角度 长度 面积 造价 利润等最优化问题 解决这类问题一 般要利用数量关系 列出有关解析式 然后运用函数 方程 不等式有关知识和方法加以解决 尤其对 函数最值 均值定理用的较多 例 1 用实际例子说明所表示的意义 20 10 240 10 5 20 5 0 210 xx x xx y 给变量赋予不同的内涵 就可得出函数不同的解释 我们从物理和经济两个角度出发给出实例 1 X 表示时间 单位 s y 表示速度 单位 m s 开始计时后质点以 10 s 的初速度作匀加速 运动 加速度为 2m s2 5 秒钟后质点以 20 s 的速度作匀速运动 10 秒钟后质点以 2m s2的加速度作匀 减速运动 直到质点运动到 20 秒末停下 2 季节性服饰在当季即将到来之时 价格呈上升趋势 设某服饰开始时定价为 10 元 并且每周 7 天 涨价 2 元 5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售 10 周后当季即将过去 平均每周削价 2 元 直到 20 周末该服饰不再销售 函数概念的形成 一般是从具体的实例开始的 但在学习函数时 往往较少考虑实际意义 本题旨 在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释 体会到数学概念的一般性和背景的多样性 这是 对问题理解上的开放 例 2 在测量某物理量的过程中 因仪器和观测的误差 使得几次测量分别得到 a1 a2 an共 n 个数据 我们规定的测量的物理量的 最佳近似值 a 是这样的一个量 与其他近似值比较 a 与各数据的 差的平方和最小 依此规定 从 a1 a2 an推出的 a 分析 依题意 这里求使 f a a a1 2 a a2 2 a an 2取最小值时 a 的取值 由于 f a na2 2 a1 a2 an a n N 2 2 2 1 aa 2 n a 故当 a 时 f a 最小 n aaa n 21 5 评述 评述 本题首先要正确理解题意 并能把文字语言转化成符号语言 还要熟悉有关的数学模型 6 与不等式相关的应用问题 与不等式相关的应用问题 例 1 某工厂生产某种产品共 m 件 分若干批生产 每生产一批产品需用原料费 15000 万元 每批生 产需直接消耗管理费与该批生产产品的件数的立方成正比 当生产的一批产品为 5 件时 需消耗管理费 为 1000 万元 求每批生产需直接消耗的管理费与该批生产产品的件数的函数解析式 每批生产多少件时 一年生产的总费用最低 精确到一件 3 7 5 2 解 设每批生产的件数为 x 管理费 y 元 则 y kx3 当 x 5 时 y 1000 万元 故得 1000 k 53 得到 k 8 管理费与每批生产的件数的函数关系为 y 8x3 每批生产 x 件时 其管理费为 8x3 则生产 m 件产品 有 批 设总费用为 S 那么 m x S 15000 8x3 8mx2 3 m x m x 7500m x 7500m x 3 7500m x 7500m x 8mx2 当 8mx2时 由可知 当 x 10 时 ymin 6m万元 7500m x 3 7 5 2 3 75002 例 2 某单位决定投资 3200 元建一仓库 长方体状 高度恒定 它的后墙利用旧墙不花钱 正面用 铁栅 每米长造价为 40 元 两侧墙砌砖 每米造价为 45 元 顶部每平方米造价为 20 元 计算 1 仓库面积 S 的最大允许值是多少 2 为使 S 达到最大 而实际投资又不超过预算 那么正面铁栅应设计为多长 解 1 设铁栅长为 x 米 一堵砖墙长为 y 米 则 S xy 依题意 40 x 2 45y 20 xy 3200 3200 40 x 90y 20 xy 2 20 xy 120 20S 40 x 90yS S 6 160 即 10 16 0 解得 10 0 S 100 SSSS S 的最大允许值是 100 平方米 2 由 1 知 S 取最大值时的条件是 40 x 90y 又 xy 100 解得 x 15 即铁栅的长度设计为 15 米 7 与数列有关的应用问题 与数列有关的应用问题 常涉及到产量 产值 繁殖 利息 物价 增长率 植树造林 土地沙化等有关的实际问题 解决 这类问题常构造等差数列 等比数列 利用其公式解决或通过递推归纳得到结论 再利用数列知识求解 6 例 1 某种汽车购车时费用为 10 万元 每年保险 养路 汽油费用 9 千元 汽车的维修费各年为 第 一年二千元 第二年四千元 第三年六千元 依每年 2 千元的增量逐年递增 问这种汽车最多使用多少 年报废最合算 即使用多少年的平均费用最少 解 设汽车使用 x 年报费最合算 第 x 年的维修费为 0 2x x 年的维修总费用为 0 2 0 2x x 2 x 年所有开支总费用为 10 0 9x 0 2 0 2x x 2 故年平均费用 1 2 1 3 10 0 9x 0 2 0 2x x 2 x 10 x 0 1x2 x 10 x x 10 当且仅当 时 即 x 10 时 等号成立 即使用 10 年报费最合算 年平均费用为 3 万元 10 x x 10 例 3 一列火车自 A 城驶往 B 城 沿途有 n 个车站 包括起点站 A 和终点站 B 车上有一节邮政车 厢 每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个 同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一 个 试求 1 列车从第 k 站出发时 邮政车厢内共有邮袋数是多少个 2 第几站的邮袋数最多 最多是多少 解 设列车从各站出发时邮政车厢内的邮袋数构成一个数列 n a 1 由题意得 2 分 2 1 3 2 1 1 2 1 1 321 nnnannana 在第 k 站出发时 前面放上的邮袋共 个 2 1 knnn 而从第二站起 每站放下的邮袋共 1 2 3 k 1 个 故 1 21 2 1 kknnnak 2 1 1 2 1 1 2 1 2 nkkknkkkkkn 即列车从第 k 站出发时 邮政车厢内共有邮袋数个 2 1 2 nkkkn 2 当 n 为偶数时 时 最大值为 22 4 1 2 n n kak nk 2 1 2 4 1 n 当 n 为奇数时 时 最大值为 1 2 1 1 2 1 nknk或 1 4 1 2 n 所以 当 n 为偶数时 第站的邮袋数最多 最多是个 2 n 2 4 1 n 当 n 为奇数时 第站的邮袋数最多 最多是个分 2 1 2 1 nn 或第 1 4 1 2 n 7 在数学解题过程中 解决问题以后 再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨 分析与研究 是非常必要的一个重要环节 这是数学解题过程的最后阶段 也是对提高学生分析和解决问题能力最有 意义的阶段 7 与直线 圆锥曲线有关的题型 与直线 圆锥曲线有关的题型 常涉及定位 人造地球卫星 光的折射 反光灯 桥梁等实际问题 常通过建立直角坐标系 运用 解析几何来解决 1 有关建系模型 例 1 已知常数 a 0 在矩形 ABCD 中 AB 4 BC 4a O 为 AB 的中点 点 E F G 分别在 BC CD DA 上移动 且 P 为 GE 与 OF 的交点 如图 问是否存在两个定点 使 P 到这 BE BC CF CD DC DA 两点的距离的和为定值 若存在 求出这两点的坐标及此定值 若不存在 请说明理由 解 根据题设条件 首先求出点 P 坐标满足的方程 据此再判断是否存在两定点 使得 点 P 到定点距离的和为定值 按题意有 A 2 0 B 2 0 C 2 4a D 2 4a 设 k 0 k 1 BE BC CF CD DC DA 由此有 E 2 4ak F 2 4k 4a G 2 4a 4ak 直线 OF 的方程为 2ax 2k 1 y 0 直线 GE 的方程为 a 2k 1 x y 2a 0 从 消去参数 k 得点 P x y 坐标满足方程 2a2x2 y2 2ay 0 整理得 1 x2 1 2 y a 2 a2 当 a2 时 点 P 的轨迹为圆弧 所以不存在符合题意的两点 1 2 当 a2 时 点 P 轨迹为椭圆的一部分 点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 1 2 当 a2 时 点 P 到椭圆两个焦点 a a 的距离之和为定值 1 2 1 2 a2 1 2 a22 当 a2 时 点 P 到椭圆两个焦点 0 a a 0 a a 的距离之和为定值 2a 1 2 a2 1 2 a2 1 2 2 应用建系模型 例 2 有一种大型商店 A B 两地都有出售 且价格相同 某地居民从两地之一购得商品后运回的 费用是 每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍 已知 A B 两地相距 10 千米 顾客购物的标准是 8 总费用较低 求 A B 两地的售货区域的分界线的曲线形状 并指出曲线上 曲线内 曲线外的居民如何 选择购货地 解 建立使 A 5 0 B 5 0 的直角坐标系 若在 A 地购货费用较低 则 价格 A 地运费 价格 B 地运费 设单位距离的运费是 a 元 则 3a x 5 2 y2 a x 5 2 y2 a 0 8x2 8y2 100 x 200y 0 得 x 2 y2 2 25 4 15 4 以点 C 0 为圆心 为半径的圆 是这两地购物区域的 25 4 15 4 分界线 即圆 C 内的居民从 A 地购物便宜 圆 C 外的居民从 B 地购物便宜 圆 C 上的居民从 A B 两地购物总费用相等 例 3 在某海滨城市附近海面有一台风 据监测 当前台风中心位于城市 O 如图 的东偏南 arccos 方向 300km 的海面 P 处 并以 20km h 的速度向西偏北 45 方向移动 台风侵袭的范 2 10 围为圆形区域 当前半径为 60km 并以 10km h 的速度不断增大 问几小时后该 城市开始受到台风的侵袭 解 如图建立坐标系以 O 为原点 正东方向为 x 轴正向 在时刻 1 台风中心 P x0 y0 的坐标为 x0 300 2 10 20 2 2 t y0 300 7 2 10 20 2 2 t 此时台风侵袭的区域是 x x0 2 y y0 2 r t 2 其中 r t 10t 60 若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭 则有 0 x0 2 0 y0 2 r 10t 60 2 即 r 10t 60 2 300 f r 2 10 20 f r 2 2 t 2 300 f 7 r 2 10 20 f r 2 2 t 2 即 t2 36t 288 0 解得 12 t 24答 12 小时后该城市开始受到台风的侵袭 例 4 已知舰 A 在舰 B 的正东 距离 6 公里 舰 C 在舰 B 的北偏西 30 距离 4 公里 它们准备围找 海洋动物 某时刻舰 A 发现动物信号 4 秒后 舰 B C 同时发现这种信号 A 于是发射麻醉炮弹 设舰 x y o 图 AB 9 与动物都是静止的 动物信号的传播速度为 1 公里 1 秒 求舰 A 炮击的方位角 分析 求方位角应在水平面内求 所以应建立直角坐标系 解 为确定海洋动物的位置 首先的直线 BA 为 x 轴 线段 BA 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系 如 图 据题设 得 B 3 0 A 3 0 C 5 2 且动物 P x y 在 BC 的中垂线 l 上 3 BC 中点 M 的坐标为 4 kBC 33 l 的方程为 y x 4 即 y x 7 3 3 3 3 3 又 PB PA 4 公里 P 又在以 B A 为焦点的双曲线右支上 双曲线方程为 1 x 2 x2 4 y2 5 由 消去 y 得 11x2 56x 256 0 解的 x1 舍去 x2 8 32 11 P 点坐标为 8 5 于是 tg xAP kAP 3 5 3 8 33 xAP 60 故舰 A 炮击的方位角为北偏东 30 8 三角函数的一席之地 三角函数的一席之地 例 1 铁路线上的 AB 段长 100 公里 工厂 C 到铁路的距离 CA 为 20 公理 已知铁路每吨公里与公 路每吨公里的运费之比为 3 5 为了使原料从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省 D 点应改在何处 分析 分析 设参数并找出其与总运费 y 之间的函数关系再求最值取到时 D 点的位置 解法一 解法一 设 AD x 则 BD 100 x CD 设总运费为 y 400 x2 则 y 3k 100 x 5k 400 x2 k 300 3x 5 k 300 4 4x x 400 x2400 x2400 x2 k 300 x 4 400 400 x2 x400 x2 k 300 2 380k 4 400 400 x2 x r 400 x2 x 当且仅当 x 时取等号 4 400 400 x2 x400 x2 解此方程 求得 15 公里 即当点 D 距 A 为 15 公里处时运费最低 解法二 解法二 同解法二先得 y 3k 100 x 5k 400 x2 10 设 300 t 则 t 3x 5 0 y k400 x2 则 t 3x 2 25 400 x2 t2 6xt 9x2 25 400 25x2 16x2 6tx 400 25 t2 0 36t2 4 16 400 25 t2 0 即 t2 16 400 t 0 t 4 20 80 当且仅当 t 80 时 y 最小 此时 x 15 0 100 b 2a 6 80 2 16 即当点 D 距 A 为 15 公里时 运费最低 解法三 解法三 设总运费为 y 铁路每吨公里运费为 3k 公路每吨公里运费为 5k 其中 k 为正常数 设 ADC 则 AD 20ctg BD 100 20ctg CD 20 sin 则 y 5k 3k 100 20ctg 20k 300k k 0 k 为常数 20 sin 5 3cos sin 令 P 记 tg t t 0 5 3cos sin 2 故 cos sin 1 tg2 2 1 tg2 2 1 t2 1 t2 2tg 2 1 tg2 2 2t 1 t2 P 4t 4 t 0 5 1 t2 3 1 t2 2t 1 t 当且仅当 4t t 时 P 取最小值 4 即 tg tg 1 t 1 2 2 1 2 2tg 2 1 tg2 2 4 3 AD AC ctg 20 15 公里 3 4 当 D 点距 A 为 15 公里处时运费最低 注 我们看到 虽然应用三角函数建模给我们带来了一定的方便 但在求最值时 显得并不轻松 9 有关国计民生的若干数学问题 有关国计民生的若干数学问题 人口的数量与质量直接影响着社会 政治和经济的发展 从而人口问题是国际社会关注的重要问题 现用数学的观点研究人口与经济生活和社会发展中的有关问题 探