4.4三角函数的图象与质1 (2).doc

4.4 三角函数的图象与性质【考点集结号】1三角函数的图象；2三角函数的性质；3正弦型函数性质；4五点作图法【易错点精析】一、忽视“五点”的位置O2yx例1 已知函数y=Asin（xj）（A0，|j|）的部分图象如图所示，试确定该函数的解析式错解由图象可知A=2又=，所以T=，即=所以=2，故有 y=2sin（2xj）又因为函数图象经过点（，0），所以有sin（j）=0，则j=k（kZ）因为|j|，所以得j=或j=故所求的函数解析式为y=2sin（2x）或y=2sin（2x）剖析事实上，函数y=2sin（2x）的图象并不经过点（，2） ，故y=2sin（2x）不符合题意原因是错解只考虑了函数值的对应而忽视了函数图象的合理性我们知道形如y=Asin（xj）的函数图象均可以用“五点法”画出，而“五点法”中我们令xj分别取0，2，从图可看出对应的应该是，错解中令j=k（kZ）就扩大了j的取值范围正解1将点（，2）代入y=2sin（2xj）中，则有sin（j）=1，所以j=2k（kZ）又因为|j|，所以j=故y=2sin（2x）即为所求正解2（，0）为五点作图的第三点，则由sin（j）=0，得j=（2k1），j=2k（kZ） 又因为|j|，所以j=故y=2sin（2x）即为所求 二、忽视变换对象例2 把函数y=sin（3x）的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，求所得函数的解析式错解将原函数图象向右平移个单位，得y=sin（3x）=sin（3x），再将横坐标缩短为原来的，得到y=sin（3x）=sin（x）剖析以上解法没有准确抓住变换对象而致错不论左右平移还是横坐标的伸缩，变换的对象只是“x”，即以什么代换“x”此题中，向右平移个单位，依据“左右”的原则，应以（x）代换x，表达式中其他部分不变；而横坐标的伸长或缩短，对应于周期的变大或缩小，此例中横坐标缩短为原来的，意味着周期变为原来的，故应以2x代换，而表达式其他部分不变正解将原函数图象向右平移个单位，得y=sin3（x）=sin（3x），再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到y=sin3（2x）=sin（6x）三、忽视复合函数单调性例3 求函数y=2sin（2x）的单调递增区间错解由2k2x2k，解得：kxk（kZ）所以函数y=2sin（2x）的单调递增区间为：k，k（kZ）剖析由u=2x是减函数，y=2sinu是2k，2k（kZ）上的增函数可知k，k（kZ）是原函数的单调递减区间，而非单调递减区间正解1由u=2x是减函数，且使原函数在待求区间递增，需使函数y=2sinu递减，于是u2k，2k（kZ）于是令2k2x2k，解得kxk（kZ），故k，k（kZ）是原函数的单调递增区间正解2由y=2sin（2x）=2sin（2x），得y=2sin（2x）由2k2x2k，解得：kxk（kZ）故所求函数的单调递增区间为k，k（kZ）四、忽视定义域的变化例4 求函数y=的周期错解因为y=tan2x，所以T=剖析解法遵循常规思路，先化简后求周期，但结果是错的，不是y=的周期因为当x=0时，y=有意义，所以由周期函数定义应有f（0）=f（0）成立，然而f（0）根本无意义，故不是其周期究其原因，是从变到“tanx”不是等价变形前者定义域是xR|xk且x，kZ，而后者定义域是xR| x，kZ显然在变形过程中定义域扩大了，两式不等价，故周期不一定相同正解由于函数y=的定义域为xR|xk且x，kZ，故分别作出函数y=与y=tan2x的图象，如图1，图2所示可以看出，所求函数周期应为Oxy图211Oxy图111考点精练组一、选择题 1函数y=sin（3x）的最小正周期是（ ）A B C4 D 2函数y=sin（x）在（ ）A，上是增函数 B0，上是减函数C，0上是减函数 D，上是减函数 3将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4xj）的图象，则j的一个值等于（）A BC D 4在下列函数中，同时满足条件在（0，）上递增；以2为周期；是奇函数的是（ ）AytanxBycosxCytanxDytanx 5函数y=2cos（2x）图象（ ）A关于原点对称 B关于点（，0）对称C关于y轴对称 D关于直线x=对称 6用五点法作y=2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）A0，2B0，图O121xy2C0，2，3，4D0， 7如图所示，所对应的函数解析式是（ ）Ay=|sinx| By=sin|x|Cy=sin|x| Dy=|sinx| 8将函数f（x）=cos（2x）的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标压缩到原来的， 那么所得到的图象的解析表达式为（ ）Ay=cosx By=cos（4x）Cy=cos（4x ） Dy=cos（x） 9函数f（x）=2sin|x|的部分图象是（ ）Byx2OyxAO2Cyx2ODyx210函数f（x）=cos2xsinx在区间，上的最小值是（）ABC1D二、填空题：11函数y=cos（2x），当x= 时， y取到最小值12函数y=lg（2sinx1）的定义域是_ _13已知f（x）=axnsinx3 ，f（3）=6， 则f（3）= 14函数f（x）=tan（x）的单调递增区间是 15若f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=x2xtanx，则当x0时，f（x）= 组一、选择题： 1下列函数中，最小正周期为的是（）Ay=sin（2x）By=tan（2x）Cy=cos（2x）Dy=tan（4x） 2已知函数y=tanx在（，）内是减函数，则（ ）A01 B10 C1 D1 3下列命题中正确的是（）Ay=tanx为增函数By=sinx在第一象限内为增函数Cy=cosx在（0，）（2，3）上为减函数Dy=sinxcosx在（0，）上是增函数 4y=2sin（2x）单调增区间为（）Ak，kBk，kCk，kDk，k其中kZxxxxOOOOyyyyABCD 5函数y =xcosx的部分图象是（） 6f（x）=Asin（xj）（A0，0）在x=1处取最大值，则（）Af（x1）一定是奇函数Bf（x1）一定是偶函数Cf（x1）一定是奇函数Df（x1）一定是偶函数 7已知f（x）=sin（xj）cos（xj）为奇函数，则j的一个取值（）A0 BC D 8f（x）=sinxcosx的图象中相邻的两条对称轴间距离为（）A3 BCD 9函数y=tan（2x）的一个对称中心是（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0） 10使y=sinx（0）在区间0，1至少出现2次最大值，则的最小值为（）A BC D二、填空题：11把函数y = cos（x）的图象向左平移m个单位（m0）， 所得图象关于y轴对称， 则m的最小值是_12函数y = 2sin（4x）的图象与x轴的交点中， 离原点最近的一点的坐标是_ _13y=sin2xacos2x的图象关于x=对称，则a等于_14存在（0，）使sincos=；存在区间（a，b）使y=cosx为减函数而sinx0；y=tanx在其定义域内为增函数；y=cos2xsin（x）既有最大、最小值，又是偶函数；y=sin|2x|最小正周期为以上命题错误的为_15函数y=的定义域是 三、解答与证明：16求函数y=sinxcosx的周期和值域，并作出在x，2上的简图17已知正切函数y=Atan（xj）（A0，0，|j|）的图像与x轴相交的两相邻点的坐标为（，0）和（，0），且过（0，3）求它的表达式18函数y=3cos（）的周期为，求正整数k的值；求函数的最大值，以及此时的取值集合19已知函数y=2sin（2x），求其对称轴方程；求其单调增区间20已知函数f（x）=sin（xj）（j0，0j）是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在区间0，上是单调函数求j和的值21设函数f（x）=sin（2xj）（j0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=，求j；求函数y=f（x）的单调增区间；画出函数y=f（x）在区间0，上的图象 参考答案4.4 三角函数的图象与性质组15DBCBD610 BCCCD11k（kZ）；12(2