（试题 试卷 真题）专题八 第4讲

第4讲转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中1 转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解2 常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则3 转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象(2)化归到何处去，即化归目标(3)如何进行化归，即化归方法化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.类型一特殊与一般的转化例1(1)过抛物线yax2 (a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于()A2a B. C4a D.(2)已知函数f(x)(a0且a1)，则fff的值为_答案(1)C(2)解析(1)由x2y (a0)知抛物线开口向上，故过焦点F作一在特殊位置的直线即平行于x轴的直线交抛物线于P、Q，则|PF|FQ|，即4a.(2)由于直接求解较困难，可探求一般规律，f(x)f(1x)1，ffff149. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果 (1)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则_.(2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f_.答案(1)(2)0解析(1)根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算令a3，b4，c5，则ABC为直角三角形，且cos A，cos C0，代入所求式子，得.(2)因为xf(x1)(1x)f(x)，所以，使f(x)特殊化，可设f(x)xg(x)，其中g(x)是周期为1的奇函数，再将g(x)特殊化，可设g(x)sin 2x，则f(x)xsin 2x，经验证f(x)xsin 2x满足题意，则f0.类型二相等与不等的转化例2若关于x的方程9x(4a)3x40有解，则实数a的取值范围是_ 可采用换元法，令t3x，将问题转化为关于t的方程有正解进行解决答案(，8解析设t3x，则原命题等价于关于t的方程t2(4a)t40有正解，分离变量a得a4，t0，4，a8，即实数a的取值范围是(，8 等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组)来求解，则显得非常简捷有效 定义运算：(ab)xax2bx2，若关于x的不等式(ab)x0的解集为x|1x2，则关于x的不等式(ba)x0的解集为 ()A(1,2) B(，1)(2，)C. D.(1，)答案D解析1,2是方程ax2bx20的两实根，12，12，解得(31)x3x2x20，解得x1.类型三常量与变量的转化例3对于满足0p4的所有实数p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范围是_ 本题若按常规法视x为主元来解，需要分类讨论，这样会很繁琐，若以p为主元，即可将原问题化归为在区间0,4上，一次函数f(p)(x1)px24x30成立的x的取值范围这样，借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决答案(，1)(3，)解析设f(p)(x1)px24x3，则当x1时，f(p)0.所以x1.f(p)在0p4上恒正，等价于即解得x3或x1. 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的 设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1axx2)f(2a)对任意a1,1恒成立，求x的取值范围解f(x)在R上是增函数，由f(1axx2)f(2a)可得1axx22a，a1,1a(x1)x210，对a1,1恒成立令g(a)(x1)ax21.则当且仅当g(1)x2x20，g(1)x2x0，解之，得x0或x1.故实数x的取值范围为x1或x0.类型四正与反的相互转化例4若对于任意t1,2，函数g(x)x3x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_答案m5解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t,3)上恒成立，m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x在x(t,3)上恒成立，则m49，即m.函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为m0，求实数p的取值范围解如果在1,1内没有值满足f(c)0，则p3或p，取补集为3pf(0)对所有的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由解因为f(x)在R上为奇函数，又在0，)上是增函数，故f(x)在R上为增函数，且f(0)0.由题设条件可得，f(cos 23)f(4m2mcos )0.又由f(x)