浙江省衢州市高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

2015年浙江省衢州市高考 数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1设集合p=x|x1，q=x|x|0，则下列结论正确的是（） a p=q b pq=r c pq d qp2下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（） a y=logax b y=x3+x c y=3x d y=3已知直线l1：ax+（a+1）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=2”是“l1l2”（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件4若l，m，n是不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是（） a ，l，nln b b ln，mnlm c l，l d ，ll5已知实数x，y满足：，若z=x+2y的最小值为4，则实数a=（） a 1 b 2 c 4 d 86为了得到函数y=cos（2x）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（） a 向右平移 b 向右平移 c 向左平移 d 向左平移7设点p（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a0，b0）上的动点，且满足+2，则a+b的取值范围为（） a 2，+） b 1，2 c 1，+） d （0，28在等腰梯形abcd中，abcd，且|ab|=2，|ad|=1，|cd|=2x其中x（0，1），以a，b为焦点且过点d的双曲线的离心率为e1，以c，d为焦点且过点a的椭圆的离心率为e2，若对任意x（0，1）不等式te1+e2恒成立，则t的最大值为（） a b c 2 d 二、填空题9已知双曲线：=1，则它的焦距为；渐近线方程为；焦点到渐近线的距离为10已知等差数列an的前n项和为sn，a2+5=2a4，a10=3，则a1=，s8=11三棱锥pabc中，pa平面abc，acbc，d为侧棱pc上一点，它的正视图和侧视图 （如下图所示），则ad与平面pbc所成角的大小为；三棱锥dabc的体积为12在abc中，若|ab|=1，|ac|=，|+|=|，则其形状为，=（锐角三角形 钝角三角形 直角三角形，在横线上填上序号）13已知x，y满足方程x2y1=0，当x时，则m=的最小值为14过抛物线y2=2x的焦点作一条倾斜角为锐角，长度不超过4的弦，且弦所在的直线与圆x2+y2=有公共点，则角的最大值与最小值之和是15已知函数f（x）=x22x，若关于x的方程|f（x）|+|f（ax）|t=0有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则实数t的取值范围为三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知函数 f（x）=4x+1（）求函数f（x）的单调增区间；（）在abc中，内角a，b，c所对边分别为a，b，c，a=2，若对任意的xr不等式f（x）f（a）恒成立，求abc面积的最大值17如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，pa平面abcd，点m，n分别为bc，pa的中点，且ab=ac=1，ad=（）证明：mn平面pcd；（）设直线ac与平面pbc所成角为，当在内变化时，求二面角pbca的取值范围18已知椭圆c：=1（ab0）过点p（1，），离心率为（）求椭圆c的标准方程；（）设f1、f2分别为椭圆c的左、右焦点，过f2的直线l与椭圆c交于不同两点m，n，记f1mn的内切圆的面积为s，求当s取最大值时直线l的方程，并求出最大值19设各项均为正数的等比数列an的公比为q，an表示不超过实数an的最大整数（如1.2=1），设bn=an，数列bn的前n项和为tn，an的前n项和为sn（）若a1=4，q=，求sn及tn；（）若对于任意不超过2015的正整数n，都有tn=2n+1，证明：（）qq20设x1，x2为函数f（x）=ax2+（b1）x+1（a，br，a0）两个不同零点（）若x1=1，且对任意xr，都有f（2x）=f（2+x），求f（x）；（）若b=2a3，则关于x的方程f（x）=|2xa|+2是否存在负实根？若存在，求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由；（）若a2，x2x1=2，且当x（x1，x2）时，g（x）=f（x）+2（x2x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值2015年浙江省衢州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1设集合p=x|x1，q=x|x|0，则下列结论正确的是（） a p=q b pq=r c pq d qp考点： 集合的表示法专题： 集合分析： 化简q得q=x|x0，比较集合p、q即可解答： 解：q=x|x|0=x|x0，p=x|x1，pq，pq=q，pq，故选：c点评： 本题考查集合间的关系，属基础题2下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（） a y=logax b y=x3+x c y=3x d y=考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明专题： 函数的性质及应用分析： 运用奇偶性的定义和导数的运用，结合常见函数的奇偶性和单调性，即可得到既是奇函数又是增函数的函数解答： 解：对于a则为对数函数，定义域为（0，+），则函数没有奇偶性，故a不满足条件；对于b定义域为r，f（x）=x3x=f（x），即有f（x）为奇函数，又f（x）=3x2+10，则f（x）在r上递增，故b满足条件；对于c则为指数函数，f（x）f（x），则不为奇函数，故c不满足条件；对于d则为反比例函数，定义域为（，0）（0，+），f（x）=f（x），则f（x）为奇函数，且在（，0）和（0，+）均为增函数，故d不满足条件故选b点评： 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用奇偶性和单调性的定义结合常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题和易错题3已知直线l1：ax+（a+1）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=2”是“l1l2”（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 计算题分析： 利用a=2判断两条直线是否垂直，然后利用两条在的垂直求出a是的值，利用充要条件判断即可解答： 解：因为直线l1：ax+（a+1）y+1=0，l2：x+ay+2=0，当“a=2”时，直线l1：2xy+1=0，l2：x2y+2=0，满足k1k2=1，“l1l2”如果l1l2，所以a1+（a+1）a=0，解答a=2或a=0，所以直线l1：ax+（a+1）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=2”是“l1l2”充分不必要条件故选a点评： 本题考查两条直线的位置关系，充要条件的判断方法的应用，考查计算能力4若l，m，n是不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是（） a ，l，nln b b ln，mnlm c l，l d ，ll考点： 空间中直线与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 运用面面平行、线面垂直的判定定理和性质定理对选项逐个分析判断解答： 解：对于a，l，nln或者异面；故a错误；对于b，ln，mnl与m相交、平行或者异面；故b 错误；对于c，由l得到过直线l的平面与平面交于直线a，则la，由l，所以a，；故c正确；对于d，ll或者l或者斜交；故d错误；故选：c点评： 本题考查了面面平行、线面垂直的判定定理和性质定理；熟练运用定理逐个分析判断5已知实数x，y满足：，若z=x+2y的最小值为4，则实数a=（） a 1 b 2 c 4 d 8考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z=x+2y的最小值为4，即可确定a的值解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=x+2y的最小值为4，x+2y=4，且平面区域在直线x+2y=4的上方，由图象可知当z=x+2y过x+3y+5=0与x+a=0的交点时，z取得最小值由，解得，即a（2，1），点a也在直线x+a=0上，则2+a=0，解得a=2，故选：b点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键6为了得到函数y=cos（2x）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（） a 向右平移 b 向右平移 c 向左平移 d 向左平移考点： 函数y=asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的图像与性质分析： 根据y=sin2x=cos（2x），再利用函数y=acos（x+）的图象变换规律，可得结论解答： 解：将函数y=sin2x=cos（2x）的图象向左平移个单位，可得函数y=cos2（x+）=cos（2x）的图象，故选：d点评： 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=acos（x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题7设点p（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a0，b0）上的动点，且满足+2，则a+b的取值范围为（） a 2，+） b 1，2 c 1，+） d （0，2考点： 两点间距离公式的应用专题： 直线与圆分析： 由a|x|+b|y|=1（a0，b0）分类讨论：当x，y0时，化为ax+by=1；当x0，y0时，化为axby=1；当x0，y0时，化为ax+by=1；当x0，y0时，化为axby=1画出图象：其轨迹为四边形abcd+2，变形为+，上式表示点m（0，1），n（0，1）与图象上的点p的距离之和2可得，解出即可得出解答： 解：由a|x|+b|y|=1（a0，b0）分类讨论：当x，y0时，化为ax+by=1；当x0，y0时，化为axby=1；当x0，y0时，化为ax+by=1；当x0，y0时，化为axby=1画出图象：其轨迹为四边形abcd+2，变形为+，上式表示点m（0，1），n（0，1）与图象上的点p的距离之和2，化为，a1a+b1+=2，其取值范围为2，+），故选：a点评： 本题考查了直线的方程、两点之间的距离公式应用、不等式的性质，考查了分类讨论思想方法、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8在等腰梯形abcd中，abcd，且|ab|=2，|ad|=1，|cd|=2x其中x（0，1），以a，b为焦点且过点d的双曲线的离心率为e1，以c，d为焦点且过点a的椭圆的离心率为e2，若对任意x（0，1）不等式te1+e2恒成立，则t的最大值为（） a b c 2 d 考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据余弦定理表示出bd，进而根据双曲线的定义可得到a1的值，再由ab=2c1，e=可表示出e1，同样的在椭圆中用c2和a2表示出e2，然后利用换元法即可求出e1+e2的取值范围，即得结论解答： 解：在等腰梯形abcd中，bd2=ad2+ab22adabcosdab=1+4212（1x）=1+4x，由双曲线的定义可得a1=，c1=1，e1=，由椭圆的定义可得a2=，c2=x，e2=，则e1+e2=+=+，令t=（0，1），则e1+e2=（t+）在（0，1）上单调递减，所以e1+e2（1+）=，故选：b点评： 本题主要考查椭圆的定义和简单性质、双曲线的定义和简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题二、填空题9已知双曲线：=1，则它的焦距为10；渐近线方程为y=x；焦点到渐近线的距离为4考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 双曲线：=1中a=3，b=4，c=5，即可求出双曲线的焦距；渐近线方程；焦点到渐近线的距离解答： 解：双曲线：=1中a=3，b=4，c=5，所以双曲线的焦距为2c=10；渐近线方程为y=x；焦点到渐近线的距离为=4故答案为：10；y=x；4点评： 本题考查双曲线的方程与性质，确定双曲线中a，b，c是关键10已知等差数列an的前n项和为sn，a2+5=2a4，a10=3，则a1=15，s8=64考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n项和专题： 等差数列与等比数列分析： 设出等差数列an首项与公差，根据题意列出方程组，求出解即可得a1与s8解答： 解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，a2+5=2a4，a10=3，即，解得a1=15，d=2；s8=815+87（2）=64故答案为：15，64点评： 本题考查了等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用问题，是基础题目11三棱锥pabc中，pa平面abc，acbc，d为侧棱pc上一点，它的正视图和侧视图 （如下图所示），则ad与平面pbc所成角的大小为；三棱锥dabc的体积为考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法专题： 空间位置关系与距离分析： 由线面垂直的性质结合pa平面abc可得pabc，再由已知acbc，结合线面垂直的判定得到bc平面pac，由此得到bcad，再由三视图中给出的量求得adpc，即得到ad平面pbc，从而求得ad与平面pbc所成角的大小为；把三棱锥dabc的体积转化为三棱锥badc的体积，结合三视图中的量求得答案解答： 解：pa平面abc，pabc，又acbc，bc平面pac，bcad由三视图可得，在pac中，pa=ac=4，d为pc中点，adpc，ad平面pbc，即ad与平面pbc所成角的大小为；由三视图可得bc=4，又adc=90，bc平面pac，三棱锥dabc的体积即为三棱锥badc的体积，所求三棱锥的体积v=444=故答案为：；点评： 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题12在abc中，若|ab|=1，|ac|=，|+|=|，则其形状为，=（锐角三角形 钝角三角形 直角三角形，在横线上填上序号）考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 根据已知条件，取边bc的中点d，连接ad，所以由得，|ad|=|cd|=|bd|，所以设|ad|=a，然后由余弦定理分别求出cosadb和cosadc，而根据cosadb=cosadc即可求出a=1，从而|bc|=2，从而可得到abc为直角三角形，cosb=，所以进行数量积的计算即可求出解答： 解：如图，取bc中点d，则|ad|=|bd|=|cd|；设|ad|=a，|ab|=1，|ac|=；分别在abd和acd中，由余弦定理得：，；又cosadb=cosadc；2a21=2a2+3；解得a=1；|bc|=2；|ab|2+|ac|2=|bc|2；abc为直角三角形；故答案为：，点评： 考查向量加法的平行四边形法则，余弦定理，互补的两角的余弦值的关系，直角三角形的边的关系，以及数量积的计算公式13已知x，y满足方程x2y1=0，当x时，则m=的最小值为8考点： 函数的最值及其几何意义专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用；直线与圆分析： 化简m=+6，作函数y=x21，并作出点（1，2）；的几何意义是函数y=x21的点与点（1，2）的连线所成直线的斜率；从而可得0，从而由基本不等式求最小值即可解答： 解：m=3+3+=+6，由x2y1=0得y=x21，作函数y=x21，并作出点（1，2）；的几何意义是函数y=x21的点与点（1，2）的连线所成直线的斜率；结合图象可得，=0；故+62+6=8；（当且仅当=时，等号成立）；故答案为：8点评： 本题考查了函数的化简及学生作图的能力，同时考查了基本不等式的应用，属于难题14过抛物线y2=2x的焦点作一条倾斜角为锐角，长度不超过4的弦，且弦所在的直线与圆x2+y2=有公共点，则角的最大值与最小值之和是考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： 设所作直线ab的方程为：y=k，（k0），a（x1，y1），b（x2，y2）根据弦ab所在的直线与圆x2+y2=有公共点，可得k23与抛物线方程联立化为=0，利用根与系数的关系可得|ab|=x1+x2+14，化为1k2综上可得：，即，（0，），解出即可解答： 解：设所作直线ab的方程为：y=k，（k0），a（x1，y1），b（x2，y2）弦ab所在的直线与圆x2+y2=有公共点，化为k23联立，化为=0，x1+x2=，|ab|=x1+x2+1=+14，化为1k2综上可得：1k23，k0，（0，），角的最大值与最小值之和是故答案为：点评： 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线的距离公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题15已知函数f（x）=x22x，若关于x的方程|f（x）|+|f（ax）|t=0有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则实数t的取值范围为考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用分析： 令h（x）=|f（x）|+|f（ax）|，从而可判断h（x）的图象关于x=对称，从而可得a=1；进而化简h（x）=|x22x|+|（1x）22（1x）|，再作图求解即可解答： 解：令h（x）=|f（x）|+|f（ax）|，则h（ax）=h（x）；故h（x）的图象关于x=对称，又方程|f（x）|+|f（ax）|t=0有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，故4=2；故a=1；故h（x）=|f（x）|+|f（ax）|=|x22x|+|（1x）22（1x）|=；作函数h（x）=的图象如下，关于x的方程|f（x）|+|f（ax）|t=0有4个不同的实数根可转化为函数h（x）=|x22x|+|（1x）22（1x）|与y=t有四个不同的交点，故结合图象可知，实数t的取值范围为：故答案为：点评： 本题考查了绝对值函数的应用及函数的性质应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知函数 f（x）=4x+1（）求函数f（x）的单调增区间；（）在abc中，内角a，b，c所对边分别为a，b，c，a=2，若对任意的xr不等式f（x）f（a）恒成立，求abc面积的最大值考点： 三角函数中的恒等变换应用；余弦定理专题： 三角函数的图像与性质；解三角形分析： （）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=4sin（2x+）1，由2k2x+2k 解得函数f（x）的单调增区间（）由题意得2a+=+2k，kz结合a的范围，解得a的值，由余弦定理可解得bc的最大值，由三角形面积公式即可求得abc面积的最大值解答： （本题满分15分）解：（）=sin2x+cos2x2sin2x=2sin2x+2cos2x1=4sin（2x+）1由2k2x+2k 解得kxk，kz所以函数f（x）的单调增区间为：k，k，kz（）由题意得当x=a时，f（x）取得最大值，则2a+=+2k，kz及a（0，）解得a=，sabc=，由余弦定理得4=b2+c22bccosa=b2+c2bc即bc所以当b=c时，abc面积的最大值=2+点评： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质，考查了基本不等式的应用，属于基本知识的考查17如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，pa平面abcd，点m，n分别为bc，pa的中点，且ab=ac=1，ad=（）证明：mn平面pcd；（）设直线ac与平面pbc所成角为，当在内变化时，求二面角pbca的取值范围考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）取pd中点q，连接nq、cq，通过中位线定理可得四边形cqnm为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得结论；（）连接pm，易得pma即为二面角pbca的平面角，过点a在平面pam内作ahpm于h，连接ch，比较ach就是直线ac与平面pbc所成的角与amh的关系计算即可得出答案解答： （）证明：取pd中点q，连接nq、cq，因为点m，n分别为bc，pa的中点，所以nqadcm，四边形cqnm为平行四边形，mncq，又mn平面pcd，cq平面pcd，所以mn平面pcd；（）解：连接pm，ab=ac=1，点m分别为bc的中点，ambc，又pa平面abcd，pmbc，pma即为二面角pbca的平面角，记为，又ampm=m，所以bc平面pam，则平面pbc平面pam，过点a在平面pam内作ahpm于h，则ah平面pbc连接ch，于是ach就是直线ac与平面pbc所成的角在rtahm中，；又在rtahc中，ah=sin，又，即二面角pbca取值范围为点评： 本题考查中位线定理，线面平行的判定定理，作出恰当的辅助线是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题18已知椭圆c：=1（ab0）过点p（1，），离心率为（）求椭圆c的标准方程；（）设f1、f2分别为椭圆c的左、右焦点，过f2的直线l与椭圆c交于不同两点m，n，记f1mn的内切圆的面积为s，求当s取最大值时直线l的方程，并求出最大值考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；（）设m（x1，y1），n（x2，y2），f1mn的内切圆半径为r，运用等积法和韦达定理，弦长公式，结合基本不等式即可求得最大值解答： 解：（）由题意得+=1，=，a2=b2+c2， 解得a=2，b=3，c=1，椭圆c的标准方程为+=1；（）设m（x1，y1），n（x2，y2），f1mn的内切圆半径为r，则=（|mn|+|mf1|+|nf1|）r=8r=4r，所以要使s取最大值，只需最大，则=|f1f2|y1y2|=|y1y2|，设直线l的方程为x=ty+1，将x=ty+1代入+=1；可得（3t2+4）y2+6ty9=0（*）0恒成立，方程（*）恒有解，y1+y2=，y1y2=，=（y1+y2）24y1y2=，记m=（m1），=在1，+）上递减，当m=1即t=0时，（）max=3，此时l：x=1，smax=点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题19设各项均为正数的等比数列an的公比为q，an表示不超过实数an的最大整数（如1.2=1），设bn=an，数列bn的前n项和为tn，an的前n项和为sn（）若a1=4，q=，求sn及tn；（）若对于任意不超过2015的正整数n，都有tn=2n+1，证明：（）qq考点： 等比数列的前n项和；等比数列的通项公式专题： 新定义；等差数列与等比数列分析： （）求出等比数列an的通项公式an与前n项和sn，再求数列bn的通项公式bn与前n