高考数学总复习 第九章 概率与统计 第5讲 离散型随机变量及其分布列课件 理.ppt

第5讲 离散型随机变量及其分布列 1 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 了解分布列对于刻画随机现象的重要性 2 理解超几何分布及其导出过程 并能进行简单的应用 3 了解条件概率和两个事件相互独立的概念 能理解n次独立重复实验的模型及二项分布 并能解决一些简单的实际问题 1 随机变量 1 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 常用字 母x y 表示 2 所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变 量 3 随机变量可以取某一区间内的一切值 这样的变量就叫 做连续型随机变量 2 条件概率及其性质 1 条件概率的定义 a发生的条件下 事件b发生的概率 2 条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式 还可以借助古典概 3 条件概率的性质 0 1 条件概率具有一般概率的性质 即 p b a 若b和c是两个互斥事件 则p b c a p b a p c a 3 事件的相互独立性 p a p b 1 设a b为两个事件 若p ab 则称事件a与事件b相互独立 4 离散型随机变量的分布列 称为离散型随机变量x的概率分布列 简称为x的分布列 有时为了表达简单 也用等式p x xi pi i 1 2 n表示x的分布列 一般地 若离散型随机变量x可能取的不同值为x1 x2 xi xn x取每一个值xi i 1 2 n 的概率p x xi pi 则表 5 离散型随机变量分布列的性质 1 pi 0 i 1 2 n 2 p1 p2 pn 1 6 常见的离散型随机变量的分布列 1 两点分布 如果随机变量x的分布列为 其中0 p 1 称x服从两点分布 而称p p x 1 为成功 概率 2 超几何分布 一般地 在含有m件次品的n件产品中 任取n件 其中恰 k 0 1 2 m 其中m min m n 且n n m n n m n n 称随机变量x服从超几何分布 其分布列如下表 3 二项分布 一般地 在n次独立重复试验中 设事件a发生的次数为x 在每次试验中事件a发生的概率为p 那么在n次独立重复 k 0 1 2 n 此时称随机变量x服从二项分布 记作x b n p 并称p为成功概率 其分布列如下表 1 下列四个表格中 可以作为离散型随机变量分布列的一 个是 c d c 4 某一射手射击所得的环数 的分布列如下 0 7 此射手 射击一次命中环数不小于8环 的概率为 考点1 离散型随机变量的分布列 例1 2014年广东珠海二模 已知甲 乙两名乒乓球运动员进行比赛 根据二人以往比赛资料统计 在一局比赛中 甲甲 乙二人准备进行三局比赛 1 求在三局比赛中甲胜前两局 乙胜第三局的概率 2 用 表示三局比赛中甲获胜的局数 求 的分布列 规律方法 离散型随机变量的分布列的求法 写出x的所有可能取值 注意准确理解x的含义 以免失 误 利用概率知识 古典概型或相互独立事件的概率 求出x 取各值的概率 列表并检验 写出分布列 互动探究 1 2013年山东 甲 乙两支排球队进行比赛 约定先胜3局者获得比赛的胜利 比赛随即结束 除第五局甲队获胜的概 结果相互独立 1 分别求甲队以3 0 3 1 3 2获胜的概率 2 若比赛结果为3 0或3 1 则胜利方得3分 对方得0分 若比赛结果为3 2 则胜利方得2分 对方得1分 求乙队得分x的分布列 解 1 记 甲队以3 0 3 1 3 2获胜 分别为事件a1 a2 a3 由题意 各局比赛结果相互独立 2 设 乙队以3 2获胜 为事件a4 由题意 各局比赛结果相互独立 所以 由题意 随机变量x的所有可能的取值为0 1 2 3 根据事件的互斥性 得 故x的分布列为 考点2 超几何分布的应用 例2 2012年春节前 有超过20万名广西 四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年 为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶 手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故 肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站 让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所 交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就询问驾驶人员的省籍一次 询问结果如图9 5 1 图9 5 1 1 问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的 是什么抽样方法 2 用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽 样 若广西籍的有5名 则四川籍的应抽取几名 3 在上述抽出的驾驶人员中任取2名 求抽取的2名驾驶 人员中四川籍人数 的分布列 解 1 交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法 2 从图中可知 被询问了省籍的驾驶人员是广西籍的有5 20 25 20 30 100 名 四川籍的有15 10 5 5 5 40 名 设四川籍的驾驶人员应抽取x名 依题意 得 3 的所有可能取值为0 1 2 的分布列为 规律方法 在超几何分布中 只要知道n m和n 就可以根据公式 求出x取不同值m时的概率p x m 从而列出x的分布列 互动探究 2 一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球 1 采取放回抽样方式 从中摸出2个球 求2个球恰好颜 色不同的概率 2 采取不放回抽样方式 从中摸出2个球 求摸得白球的 个数的分布列 解 1 采取放回抽样方式 从中摸出2个球 2球恰好颜色不同 也就是说从5个球中摸出一球 若第一次摸到白球 则第二次摸到黑球 若第一次摸到黑球 则第二次摸到白球 考点3 二项分布的应用 例3 2014年上海金山一模 2012年3月2日 国家环保部发布了新修订的 环境空气质量标准 其中规定 居民区中的pm2 5年平均浓度不得超过35微克 立方米 pm2 5的24小时平均浓度不得超过75微克 立方米 某城市环保部门随机抽取了一居民区2013年40天的pm2 5的24小时平均浓度的监测数据 数据统计如下 1 请你根据上表的数据统计估计该样本的众数和中位数 不必写出计算过程 2 求该样本的平均数 并根据样本估计总体的思想 从pm2 5的年平均浓度考虑 判断该居民区的环境是否需要改进 并说明理由 3 将频率视为概率 对于2013年的某2天 记这2天中该居民区pm2 5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为 求 的分布列及数学期望e 解 1 众数约为22 5 中位数约为37 5 2 去年该居民区pm2 5年平均浓度为7 5 0 1 22 5 0 3 37 5 0 2 52 5 0 2 67 5 0 1 82 5 0 1 40 5 微克 立方米 因为40 5 35 所以2013年该居民区pm2 5年平均浓度不符合环境空气质量标准 故该居民区的环境需要改进 3 记事件a表示 一天pm2 5的24小时平均浓度符合环 规律方法 1 判断一个随机变量是否服从二项分布 关键有两点 一是对立性 即一次试验中 事件发生与否必居其一 二是重复性 即试验是否独立重复进行了n次 2 二项分布满足的条件 每次试验中 事件发生的概率是相同的 各次试验中的事件是相互独立的 每次试验只有两种结果 事件要么发生 要么不发生 随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数 互动探究 3 一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球 从袋子里随机取球 取到每个球的可能性是相同的 设取到1个红球得2分 取到1个黑球得1分 1 若从袋子里一次随机取出3个球 求得4分的概率 2 若从袋子里每次取出1个球 看清颜色后放回 连续取 3次 求得分 的概率分布列 思想与方法 分类讨论思想与离散型随机变量的结合 例题 2014年福建 为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 1 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元 其 余3个均为10元 求 i 顾客所获的奖励额为60元的概率 ii 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 2 商场对奖励总额的预算是60000元 并规定袋中的4个球只能由标有面值为10元和50元的两种球组成 或标有面值为20元和40元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡 请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计 并说明理由 ii 依题意 得x的所有可能取值20 60 即x的分布列为 所以顾客所获的奖励额的期望为e x 20 0 5 60 0 5 40 2 根据商场的预算 每个顾客的平均奖励额为60元 所以 先寻找期望为60元的可能方案 对于面值由10元和50元组成的情况 如果选择 10 10 10 50 的方案 因为60元是面值之和的最大值 所以期望不可能为60元 如果选择 50 50 50 10 的方案 因为60元是面值之和的最小值 所以期望也不可能为60元 因此可能的方案是 10 10 50 50 记为方案1 对于面值由20元和40元组成的情况 同理可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能的方案是 20 20 40 40 记为方案2 以下是对两个方案的分析 对于方案1 即方案 10 10 50 50 设顾客所获的奖励额为x1 则x1的分布列为 对于方案2 即方案 20