5.3 Lindeloff空间.doc

德州学院数学系 点集拓扑教案5.3Lindeloff空间本节重点:Lindeloff空间的定义；Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性一 Lindeloff空间的概念定义5.3.1设A 是一个集族，B是一个集合如果=B，则称集族A 是集合B的一个覆盖，并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B的一个可数覆盖和有限覆盖设集族A是集合B的一个覆盖如果集族A的一个子族A 1也是集合B的覆盖，则称集族A 1是覆盖A （关于集合B）的一个子覆盖设X是一个拓扑空间如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖在数学分析中读者所熟知的HeineBorel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中这使我们有必要放松一点限制定义5.3.2设X是一个拓扑空间如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间由定义可知，任何平庸空间是Lindeloff空间；含可数多个点的离散空间是Lindeloff空间；包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖例5.3.1， 包含着不可数多个点的可数补空间X是一个Lindeloff空间，且X的每个子空间也是Lindeloff空间(例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理)证明 设A 是X的任意一个开覆盖任意在A中取定一个非空集合A对于每一个xA，在A 中选取一个A x 使得xA x，由于A是可数集，所以A 的子族 A xA | xA x，xAA也是可数的，易见它也覆盖X所以包含着不可数多个点的可数补空间X是Lindeloff空间.设YX，下面证Y也是Lindefoff空间设A 1 是Y的任意一个开覆盖，则存在X的开集族A使A 1 = A |Y任取一个AA ，则AY是X的一个开集（因为AY的补可数），于是A AY是X的一个开覆盖由于X是Lindefoff空间，所以在A AY中有一个可数子集族B是X的覆盖，不妨设BA1 ,A2 ,An ,AY，其中Ai ,AA ，i=1,2,（注AY若不在其内，则加进去也无妨），则B |Y A1Y ,A2Y ,AnY ,AY A |Y =A 1 ，即B |Y是A 1的可数子覆盖故Y是Lindefoff空间二 Lindefoff性与第二可数性的关系定理5.3.lLindeloff定理任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间（即A2 空间一定是Lindeloff空间）证明设拓扑空间X是A2 空间， B是它的一个可数基设A是X的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)对于每一个AA ，由于A是一个开集，所以存在BAB ，使得A=，令B 1 = ,由于B 1是B 的一个子族，所以是一个可数族并且 故B 1也是X的一个覆盖如果BB 1，则存在AA使得B，（因为A=）因此B A 于是对于每一个BB 1；我们可以选定某一个ABA 使得 B AB ，记A 1 = AB | B B 1，它是A的一个子族，并且,所以A 1是A的一个子覆盖此外由于B 1是可数的，所以A 1也是可数的于是开覆盖A有一个可数子覆盖A 1 这证明X是一个Lindefoff空间推论5.3.2满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间(即A2空间的子空间仍然是A2空间) 特别，n维欧氏空间Rn的每一个子空间都是Lindeloff空间.证明 由定理5.1.5及上面定理即可得第一句结论；第二句结论成立是因为Rn是A2空间.说明 定理5.3.1的逆命题不成立.因为包含着不可数多个点的可数补空间X，由例5.3.1知它是Lindeloff的，由例5.1.1知X不是A1空间，从而由定理5.1.3知X也不是A2空间.即：Lindeloff空间 A2空间 . 推论5.3.2的逆命题都不成立因为由例5.3.1知上述空间X的每个子空间都是Lindeloff空间，但X不是A2空间. X是Lindeloff空间 A1空间；（即中所说）X是A1空间 X是Lindeloff空间.（因为任何一个离散空间是是A1空间，但含不可数多个点的离散空间不是Lindeloff空间） 对度量空间X，X是A2空间 X是Lindeloff空间.必要性由定理5.3.1 得，充分性是下面的定理：定理5.3.3每一个Lindeloff的度量空间都是A2空间.证明设（X，d）是一个Lindeloff的度量空间对于每一个kZ+ ，集族=B（x，1/k）|x X 是X的一个开覆盖由于X是一个Lindeloff空间，所以有一个可数子覆盖，设为,从而开集族是一个可数族以下证明B是X的一个基 xX和x的任何一个邻域U， 使得B(x,) U.由于是X的一个覆盖，所以使得x，令k 2/,则对任何y有，所以 B(x,).于是xU据定理2.6.2可见B 是X的一个基X有一个可数的基，故为A2空间 证毕思考：可分性与Lindeloff性有何关系？三Lindeloff 空间的性质Lindeloff 空间不具有遗传性例5.3.2Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff空间的例子设X是一个不可数集，zX令X1 =X-z，T =P (X1)UP (X) | zU,U是可数集 .容易验证T是X的一个拓扑（请读者自己验证）拓扑空间（X，T )是一个Lindeloff空间因为如果A是X的一个开覆盖，则存在AA使得zA于是A是一个可数集对于每一个xA，选取A x A使得xA x 易见A A x | xA是A的一个可数子覆盖另外，由于T |X1= P (X1)因此X1作为X的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间所以X1不是一个Lindeloff空间 2. Lindeloff空间对于闭子空间是可遗传的 定理5.3.4Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间证明设Y是Lindeloff空间X的一个闭子空间，A是子空间Y的一个开覆盖则对于每一个AA ，存在X中的一个开集UA使得UAY=A于是UA|AA Y是X的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为 UA1 , UA2 ,Y（即使不包含Y，多加一个也无妨）.这时易见， A1 , A2 ,，其中Ai= UAiY, iZ+ ,便是A 的一个（关于子空间Y的）可数子覆盖 证毕.3. Lindeloff性质是连续映射下的不变性质，从而是拓扑性质，也是可商的性质.（见习题1）命题 X和Y是两个拓扑空间，f：XY是连续映射.如果X是一个Lindeloff空间，则f(X)也是一个Lindeloff空间.证明 因为f：XY是连续映射，由3.1习题6知，f：Xf(X)也连续.设B是f(X)的一个开覆盖，由连续知BB 时，f-1(B)T X ,又由定理1.6.4的知，可知 A =f-1(B) | BB 是X的开覆盖因X是一个Lindeloff空间，故A有可数子覆盖A1=f-1(Bi) | BiB , iZ+ ，与此相应的，B有可数子族B 1 = BiB | iZ+ ，因为，可见B 1是B 的（关于f(X)的）可数子覆盖.故f(X)是一个Lindeloff空间.*4. Lindeloff空间不具有有限可积性 结论见习4* .以下是子空间都是Lindeloff空间的拓扑空间当然这时该空间本身也是Lindeloff空间 的一个性质定理5.3.5设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间如果AX是一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即Ad(A)特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点证明设AX是一个不可数集如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个aA，存在a在X中的一个邻域Ua ，使得Ua A=a,这说明单点集a是子空间A中的一个开集从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾四 各类拓扑空间关系表作业:P149 1 本章总结掌