2013高考冲刺3：转化与化归思想.doc

高考冲刺：转化与化归思想热点分析高考动向转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.知识升华转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.1转化与化归应遵循的原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的， 或获得某种解题的启示和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形 式，或者转化命题，使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使 问题获解.2转化与化归的基本类型（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则.（2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量 看作常量.（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直观地 反映函数或方程中的变量之间的关系.（4）数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代 数、三角问题等.（5）相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、判别式等.（6）实际问题与数学模型的转化.3常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式 问题转化为易于解决的基本问题.（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得 转化途径.（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化.（5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.（6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题.（7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论.（8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.（9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题通过一般化 的途径进行转化.（10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的.（11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方法.（12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.经典例题透析类型一：常量与变量的转化问题1已知二次方程ax2+2(2a1)x+4a7=0中的a为正整数，问a取何值时此方程至少有一个整数根.思路点拨：本题可以将原方程变为关于a的式子,根据a为正整数，得出x的取值，再代回去，求出a的值.解析：原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7，x=2不是原方程的解，又a为正整数，解得3x1，又x是整数且x2，x=3，1，0，1，把它们分别代入原方程得，故当a=1或a=5时，原方程至少有一个整数根.知识升华：解决本题易按求根公式，讨论方程至少有一个整数根的条件，而无法进行下去.将变量与参数变更关系，视a为主元，转换思考的角度，使解法变得简易.举一反三：【变式1】已知a0且a1，若关于x的方程loga(x-3)-loga(x+2)-loga(x-1)=1有实根，求实数a的取值范围.解析：要使原方程有意义，需，解得x3.原方程化为：.x-3=a(x-1)(x+2)在区间(3, +)上有解，.问题转化为求右端在(3, +)上的值域，即将a看作x的函数a(x).由，x3, x-30，.当且仅当，即时取等号.又x3时，a0, , 故a的取值范围是.【变式2】设，若t2，2时，y0恒成立，求x的取值范围.答案：类型二：等价转化2已知函数的值域为1，4，求实数a、b的值.思路点拨：设，将所给函数看作关于x的方程.则由题意可知当y1，4时，关于x的方程有实数解.解析：的定义域为R，故可等价转化为yx2ax+yb=0.令=a24y(yb)0，即4y24bya20，则由题意可知，不等式4y24bya20的解集为1，4.也就是1，4是关于y的方程4y24bya2=0的两根.，a=4，b=3.所以所求实数a=4，b=3.总结升华：本题是利用函数、不等式与方程的关系一步一步地等价转化使问题得以解决，常见的转化类型有高次向低次的转化，多元向一元的转化，分式向整式的转化，无理向有理的转化，空间向平面的转化等.举一反三：【变式1】已知奇函数在定义域（1，1）上是减函数，且，求实数的取值范围.答案：【变式2】若的图象在（0，1）内与x轴恰好有一个交点，则a的取值范围为_.解析：的图象是直线，在（0，1）内与x轴恰有一个交点，则，则a3（当a=0时不合题意）.【变式3】已知函数，满足，求的最大值、最小值及取得最大值和最小值时对应a，c的值.答案：，此时；，此时类型三：正面与反面的转化问题3已知非空集合A=x|x2Amx+2m+6=0，xR，若AR，求实数m的取值范围（R表示负实数集，R+表示正实数集）.思路点拨：本题可以根据AR的反面AR=时的取值范围进行求解.解析：设全集U=m|=16m28m240=m|m1或.方程x24mx+2m+6=0的两根均非负的充要条件是，可得.AR=时，实数m的取值范围为；AR时，实数m的取值范围为m|m1.知识升华：正面难以解决的问题，可采用补集的思想，转化为反面问题来解决.一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反而考虑，比如题目中出现“至多”，“至少”等字眼时.举一反三：【变式1】试求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.解析：问题可以转化为：为使曲线y=x2有两个对称于直线y=m(x-3)的点，求m的取值范围.易得，因此原问题的解是.【变式2】已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1，若区间-1，1内至少存在一个实数c，使f(c)0, 则实数p的取值范围是（ ）.A、 B、 C、 D、解析：问题转化为先求在-1，1内没有一个实数C使f(c)0，即对任意x-1,1，f(x)0的P的取值范围.由二次函数f(x)在-1，1的图形易知：f(1)0且f(-1)0, 解得：或P3.满足已知条件的P的取值范围为.【变式3】已知三条抛物线：，中至少有一条与x轴相交，求实a的取值范围.答案：或.类型四：换元转化问题4求函数的最大值.思路点拨：令t=sin x，将函数转化为关于t的二次函数，再求二次函数在区间1，1上的最大值.解析： .设sin x=t，则1t1，令.如图所示，当a0时，有.同理，当a0时，有.所以，当a0时函数的最大值为34a.当a0时函数的最大值为3+4a.总结升华：通过换元将三角问题转化为较熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题，特别注意：换元后所得t的函数的定义域为1，1；应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间1，1的位置，才能确定其最值.举一反三：【变式1】已知x2+y2=1，则z=x2y的取值范围是_.解析：令x=cos，y=sin，则，.【变式2】已知aR，求函数y=(asin x)(acos x)的最小值.解析：设t=sin x+cos x，则，故.而，于是，.原问题化归为求二次函数在上的最值问题.当时，若t=a，；当时，在上单调递减，；当时，在上单调递增，.【变式3】已知，tR.（1）当t=1时，解不等式；（2）如果x0，1时，恒成立，求参数t的取值范围.答案：（1） （2）t1类型五：命题的转化5关于x的方程x33x2a=0只有一个实数根，求a的取值范围.思路点拨：本题是一个高次方程的问题，无法用判别式去判定根的个数，故可以转化命题，转化为曲线y=x33x2与直线y=a有一个交点，求实数a的取值范围.解析：由x33x2a=0得a=x33x2，令，令，得x=0或x=2.当x（，0）时，；当x（0，2）时，；当x（2，+）时，.所以在（，0）和（2，+）上是增函数，在（0，2）上为减函数.又，.如图所示，画出的草图.结合图象，直线y=a与曲线y=x33x2有一个公共点时，则a4或a0.所以关于x的方程x33x2a=0只有一个实数根时，实数a的取值范围为a4或a0.总结升华：在解题的过程中，直接考虑思维受阻时，要学会变换解决问题的角度，转化命题的形式，使问题变得直观、简洁，进而使问题得以解决，有些问题可以考虑其反面，通过解决反面使问题得以解决，有些空间中的问题转化为平面问题则变得简洁.这就