12郭丽-玫瑰线花瓣及正方形与圆形的嵌套组合.doc

玫瑰线花瓣及正方形与圆形的嵌套组合郭丽包头师范学院数学科学学院摘要：本文通过三叶玫瑰线的极坐标方程绘图命令，探求玫瑰线的花瓣数随n变化而变化的规律，同时还讨论了正方形与圆形的嵌套图形的绘制。关键词：Mathematica 玫瑰线 图形嵌套花以它独具的自然美使人赏心悦目，在生活中往往被人们当作理想、希望、幸福的象征。生活中有了花就有了灵气，程序中若也能“开”出几朵简单的花来，那该有多好。本文介绍的程序不仅能绘出形状各异的花朵，而且还可以用静态、动态和旋转三种不同的方式来呈现。本文的花都是依托数学公式中描述的曲线来绘制的，在给大家带来美的感觉的同时，也可以让大家直观地感受到数学公式中各个参数对结果的影响。用程序来实现这样的数学曲线，代码简单，运行高效。一公式带来的灵感之玫瑰线绘制 数学中有三叶玫瑰线（方程为）、四叶玫瑰线（方程为）等曲线，这些曲线的极坐标方程很简单，基本形式均为：），即任意一点的极半径 是角度的函数。而极坐标系中的曲线难以用传统的方法绘出，如果借助于数学软件这项工作就变得易如反掌。极坐标方程的直角坐标方程为： 在程序中控制角度使其从变化到，描出极半径所对应的点，这样就可以绘出漂亮的玫瑰线；根据直角坐标方程，可以写出极坐标方程在中的绘图命令：当然，不同所描出的曲线的形状也就不同。下面就通过几个方面的研究来探求玫瑰线花瓣数随变化而变化的规律。 当为奇数时，通过绘图命令，观察规律：(第1页，共9页)三叶玫瑰线： 五叶玫瑰线：七叶玫瑰线： （三叶） （五叶） （七叶）依次推导下去，就可以推出玫瑰线方程的通项公式这样我们就可以根据该程序绘出所有的基数叶的玫瑰线。当为基数时，花为瓣。花瓣数与相同。的取值范围为，在此范围内，玫瑰曲线完整，无(第2页，共9页)重叠现象。若的取值范围超过，玫瑰曲线就会出现不同程度的重叠。 当为偶数时，不含叶玫瑰线，观察规律：四叶玫瑰线：八叶玫瑰线：十二叶玫瑰线： （四叶） （八叶） （十二叶）依次类推下去，就可以推导出当为偶数（不含叶玫瑰线）时玫瑰线方程的通项：(第3页，共9页)这样就可以根据该程序绘出不含叶玫瑰线的，其他所有的偶数叶的玫瑰线。当为偶数（不含叶玫瑰线）时，花瓣数是2瓣。的取值范围为。在此范围内，玫瑰曲线完整，无重叠现象。若的取值范围为，则不能够形成完整的玫瑰线。 叶玫瑰线之所以对这些玫瑰线进行单独讨论，是因为它们具有一定的特殊性。若想要绘出六叶玫瑰线，通过上面讨论的两种分类是绘不出来的。假设 ，根据情况，绘出十二叶玫瑰线；假设，根据情况，绘出三叶玫瑰线，无法实现。那么应该如何绘出这些比较特殊的玫瑰线呢？通过实验，找出了两种途径来解决这一问题。途径一：组合 所谓组合，就是将原图象进行一定角度的旋转，形成一个新的图象，然后通过语句将两个图象组合起来。下面举个例子来说明。六叶玫瑰线： (第4页，共9页) g1 g2 （组合）这种方法比较原始，通过已知曲线的绘图命令，将其旋转，再将两个图象组合在一起。途径二：改变直角坐标方程中的参数 如何实现？通过六叶玫瑰线来说明 （六叶）由途径一的思路，知道由三叶玫瑰线到六叶玫瑰线。要想画出六叶玫瑰线就要通过三叶玫瑰线，怎样才能实现？只要将中的的参数改成，这样在的赋值函数中参数就变成了。就出现了三叶，但这是不(第5页，共9页)够的，所以还要将和中的参数 扩大2倍，变成。的取值范围不变，这样就能够画出六叶玫瑰线。十叶、十四叶叶的玫瑰线也可以用这种方法绘出。也可以总结出这些特殊玫瑰线的通项： 也可以扩大画图参数来扩大其范围，在这里就不详细说明了。 当为小数时，则不是玫瑰线。 当为奇数时，其图象左、右交替。所谓左右交替就是在轴的左、右两边，总是有一半的玫瑰花瓣数比另一半的玫瑰花瓣数多1。在三叶玫瑰中，左边有两叶玫瑰花瓣，右边有一叶玫瑰花瓣；在五叶玫瑰中，左边有两叶玫瑰瓣，右边三叶玫瑰瓣。在七叶玫瑰中，左边四叶，右边三叶玫瑰瓣。而且无论是在哪一种情况下，随着参数的增加，会出现分布不均匀的缺口。 这种缺口现象可以通过改变图形的点的数量程度来改进。运用语句例如： (第6页，共9页)二动画实现 通过上面几个方面的研究，我们已经知道了玫瑰线的花瓣数随变化而变化的规律。下面就通过动画来让玫瑰花“开花”奇数：偶数：特例：三正方形与圆形的嵌套组合 正方形与圆形的组合在日常生活中、教学中都会碰到，而运用传统的方法也可绘出简单的嵌套组合。但对于圆形的多次嵌套，传统方法是无法绘制的。而通过这种嵌套会很容易绘出，嵌套组合的灵感来源于软件书中的二维图形。 首先，根据图形的特征，先将最外层的正方形画出来，并将其9等分：(第7页，共9页) 然后根据正方形的大小绘出与该正方形相内切的圆形：第三步：画出大圆中的若干小圆： 最后将上述三步的语句组合在一起即可。 (第8页，共9页)正方形与圆形的嵌套组合的思想是：先要找到图形的原点，然后以适当长度（此处选定为6）画出大正方形，小正方形及最大的圆形。然后在距离原点等距离（等距离为2）的四个小正方形中画圆形，圆的半径为2。在这四个小圆中，在以1为半径画圆，之后所画的圆形，半径均为上个圆形半径的1/2。圆心分别逐渐接近于2和-2。 通过对玫瑰线花瓣及正方形与圆形的组合的研究，让大家了解到在传统教学中无法绘制的图形可以通过来解决。参考文献：1刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义（上册） 北京：高等教育出版社,20022张栋恩,许晓革.高等数学实验 北京：高等教育出版社,2004.73王兵团,桂文豪. 数学实验基础 北京：北方交通大学出版社,2003.114张楚亭. 数学文化 北京：高等教育出版社,2004.459/gblketi/Upload Files/20061127177851.docThe rose line flower petal and the combination and nesting to square and circularGuo LiThe mathematics science department of Bao Tou Teachers College Abstract: This text pass three leaves the rose be linear of sit to mark a equation painting an order very much, investigate the flower petal of rose line a number with the regulation of n variety but variety, still discussed the combinat