江苏省海州高级中学届高三数学（理）自编专题训练：专题四 应用题.doc

江苏省海州高级中学2015届高三数学组自编专题训练专题四 应用题（1） 编制人：谢 身 班级 姓名 一、填空题：1（2015上海静安区一模）上海出租车价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里后按每公里2.4元计算，可再行7公里，超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）若小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费 元；（2）请写出车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式 答案：.2. 经市场调查，某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f（t）2t200（1 t 50，tN），前30天价格为g（t）t30（1 t 30，tN ），后20天价格为g（t）45（31 t 50，tN）（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系式： ；（2）日销售额S的最大值为 答案：（1）S（2）6400.【解析】(1)根据题意得S即S(2)当1t30，tN时，S(t20)26400，当t20时，S的最大值为6400；当31t50，tN时，S90t9000为减函数，当t31时，S的最大值是6210，62106400，当t20时，日销售额S有最大值6400.3.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数pf（x）的表达式_；（2）当销售商一次订购_件服装时，该厂获得的利润最大，其最大利润是 答案：(1) p (2) 当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元【解析】解：(1)当0x100时，p60；当100x600时，p60(x100)0.02620.02x.所以p(2)设利润为y元，则当0x100时，y60x40x20x；当100x600时，y(620.02x)x40x22x0.02x2.所以y当0x100时，y20x是单调增函数，当x100时，y最大，此时y201002 000；当100x600时，y22x0.02x20.02(x550)26 050，所以当x550时，y最大，此时y6 050.显然6 0502 000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元4.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y x 2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元（1）该单位每月处理量为 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润 ；如果不获利，则国家至少需要补贴 元才能使该单位不亏损答案：(1) 400吨 最低成本为200 (2) 该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损【解析】(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为x2002200200，当且仅当x，即x400时等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元(2)不获利设该单位每月获利为S，则S100xy100xx2300x80 000 (x300)235 0000.故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损二、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤5.某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC，BD是过抛物线焦点F且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF，通径长为4 记EFA = ，为锐角（1）用表示AF的长；（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S关于的函数关系S（）；（3）为使“蝴蝶形图案”的面积最小，应如何设计的大小？ACBDFE第5题图6.如图是一块镀锌铁皮的边角料，其中，都是线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在直线是该抛物线的对称轴.经测量，2米，米，点到，的距离，的长均为1米现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段或线段上，点在线段上，点在线段上）.设的长为米，矩形的面积为平方米.（1）将表示为的函数；（2）当为多少米时，取得最大值，最大值是多少？ABCDEFGRH解：（1）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.2分ABCDEFGRHxy设曲线段所在抛物线的方程为，将点代入，得，即曲线段的方程为. 4分又由点得线段的方程为. 6分而，所以 8分（2）当时，因为，所以，由，得， 当时，所以递增；当时，所以递减，所以当时，；当时，因为，所以当时，； 综上，因为，所以当米时，平方米. （说明：本题也可以按其它方式建系，如以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，仿此给分）7.如图，在C城周边已有两条公路l 1 ，l 2 在点O处交汇已知OC（）k m，AOB75，AOC45，现规划在公路l 1 ，l 2 上分别选择A，B两处为交汇点（异于点O）直接修建一条公路通过C城设OAx km ，OBy km .（1）求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；（2）试确定点A，B的位置，使OAB的面积最小答案：（1）y（x2）（2）4（1） km2.【解析】（1）因为AOC的面积与BOC的面积之和等于AOB的面积，所以x（）sin 45y（）sin 30xysin 75 ，即x（）y（）xy，所以y（x2）（2）AOB的面积Sxysin 75xy （x24）84（1）当且仅当x4时取等号，此时y4.故OA4 km，OB4km时，OAB面积的最小值为4（1） km2专题四 应用题（2） 编制人：申 磊 班级 姓名 解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤1.【2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）|a|2a，x0，24，其中a是与气象有关的参数，且a0，1，若用每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）（1）令t ，x0，24，求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？【知识点】函数最值的应用；实际问题中导数的意义。B3 B12【答案】【解析】（1）；（2） 解析：（1）当时，；当时，（当时取等号）综上所得t的取值范围是 5分（2）当时，记则 8分在上单调递减，在上单调递增，且故. 11分当且仅当时，. 故当时不超标，当时超标 13分【思路点拨】（1）先取倒数，然后对得到的函数式的分子分母同除以x，再利用导数求出的取值范围，最后根据反比例函数的单调性求出t的范围即可；（2）先得到函数解析式，然后分类讨论，分别求出函数g（x）的最大值M（a），然后解不等式即可求出所求2. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上一点，OA2，B为半圆上一点，以为一边向OAB的外侧作等边ABC .（1）问点在什么位置时，四边形的面积最大?（2）当平分时.（）求证：；（）求的长度.OABC解析:（1）设在中,由余弦定理得:四边形的面积当即时,四边形的面积取最大值.(2)()在中, 在中,比较以上两式可知:若又这与已知矛盾.从而 即()由()得. 又为的平分线，在中，在中，3.某个公园有个池塘，其形状为直角ABC，AB2百米，BC1百米（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、 CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF/AB， 在DEF喂食，求DEF 面积SDEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF为正三角形，设求DEF边长的最小值4.如图，ABC为一直角三角形草坪，其中，2米，米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C（1）求方案一中三角形DEF面积的最小值；（2）求方案二中三角形DEF面积的最大值方案二解：（1）在方案一：在三角形AFC中，设，则， 2分因为DEAC，所以， 且，即， 4分解得， 6分所以，所以当，即时，有最小值 8分（2）在方案二：在三角形DBA中，设，则，解得， 10分三角形CBE中，有，解得， 12分则等边三角形的边长为，14分所以边长的最大值为，所以面积的最大值为16分专题四 应用题（3） 编制人：王远刚 班级 姓名 1.【2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试】北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价【知识点】函数模型及其应用B10【答案解析】(1) 40(2) 30(1)设每件定价为t元，依题意得t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意知当x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解由于x2 10，当且仅当，即x30时等号成立，所以a10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元. 【思路点拨】根据等量关系求出关系式，再根据重要不等式求出最值。2.如图，某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处，才能使|AB|最短？并求其最短距离AOLB（第2题图）解法1 设在中由余弦定理得又到AB的距离为10，则，代入上式得故由于，则，设，则，则，可见当时，的最小值为，即的最小值为解法2 由于当且仅当时，“=”成立.又，当且仅当即时，“=”成立，故即,所以，当且仅当即时,最短为.解法3 由于，又所以，由得，解得代入得取得最小值当且仅当3. 某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，BCD60.（1）若，将支架的总长度表示为的函数，并写出函数的定义域（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）；（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短_D_C_B_A解析：（1）由则，设，则支架的总长度为，在中，由余弦定理化简得 即 4分记 由，则（2）由题中条件得，即 设 ，则原式= 10分由基本不等式有且仅当 ，即时成立，又由 满足 ， 当时，金属支架总长度最短 16分4. 某中学校园内原有一块四分之一圆面形状的草坪（图1），其中m，今年暑假整治校园环境时，为美观起见，学校设计将原有草坪扩大，具体实施方案是：从圆弧上一点作圆弧的切线，分别与AM，AN的延长线交于B，D，并