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对高中数学新教材第二章函数的认识一、 函数函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础，而且也是进一步学习高等数学的基础，同时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。因此，对本章内容力求学习得更好一些。函数这一章的内容可分为三个单元。第一单元：函数，主要介绍函数、函数的单调性、反函数及互为反函数的函数图象间的关系。这部分是学习本章内容的基础。第二单元：指数与指数函数第三单元：对数与对数函数本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。2.1 函数关于函数的定义 设在某个变化过程中有两个变量 x和y，如果对于x在某一范围内的每个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.函数的三大要素是：定义.域、值域、对应法则。判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。2.2 函数的表示方法： 解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解析式； 列表法； 图象法。分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。甚至函数图象处处不连续，也可看作分段函数。例 D(x)= 如何确定常见函数的定义域？( 1 )当f(x)是整式时，定义域是实数集R；( 2 )当f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的x取值的集合(R的子集)；( 3 ) 当f(x)是二次根式(偶次根式)时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合(R的子集)；( 4 ) 当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x取值的集合(R的子集)；( 5 ) 当f(x)表示实际问题中的函数关系时，应考虑在这实际问题中x取值的意义。例1. 已知f(x+1)=求f(0)，f(x).解： 当x=1时， x+1=0， f(0)= f(1+1)= (1)2 +6(1)+2 =3.法一：变量代换 令 x+1=t，则 x=t1， f(t)=( t1)2+6(t1)+2 =t2+4 t3f(x) = x2+4 x3. f(0) =3. 法二：配凑法f(x+1) =( x2+2x+1)+(4 x+4)+25 =(x+1)2+4(x+1)3 f(x) = x2+4 x3.例2 己知函数f(x)的定义域为0，1，求函数f(2x)和f(x+1)的定义域.解：02x10x， f(2x)的定义域为0，.0x+111x0， f(x+1)的定义域.为1，0.例3 求函数的值域.解：换元 设t=，则 t2 =12x. 2x=t2 +1. (t0). (t0)故值域为，.求值域的方法：观察、配方、换元、法等。 2.3 函数的单调性什么叫做函数的单调性？设给定区间B上的函数f(x)，对任x1，x2B (x1x2)，如果都有f(x1) f(x2)，那么称函数f(x)在间B上是增函数，如果都有f(x1) f(x2)，那么称函数f(x)在间B上是减函数.可以表述为：(x1x2)f(x1) f(x2)0为增函数，(x1x2)f(x1) f(x2)0为减函数，如果函数f(x)在某区间B上是增函数或减函数，那么称f(x)在区间B上具有(严格的)单调性，并把区间B叫做f(x)的单调区间.函数的单调性是函数的整体性之一 函数的单调性(不说函数的增减性) 在某某区间上是增(减)函数(不说“在某某区间内是增(减)函数”).实际上，函数的单调性不涉及区间端点问题，“上”包含了“内”，“内”却不包含“上”用“上”能较好地反映函数的整体性质. 在定义域内是增(减)函数(不说“在定义域上是增(减)函数)这仅仅是为了符合语言使用习惯. 在定义域内或某某区间上是增(减)函数(不说“在定义域内或某某区间上单调递增(减)”)，实际上“单调递增(减)”可以是不严格的增(减)，而且也不仅仅对于区间来定义，它是更广泛的概念，中学不予介绍.类似地教科书中只引入“单调区间”，而不使用“单调递增(减)区间”这些词语.在教学中更不能省略成“单增”、“单减”. 增函数、减函数(不使用单调函数)，实际上“单调函数”通常是指整个定义域内只具有一种单调性的函数，不能在有的区间上增，有的区间上减.研究函数的单调性，必须在定义域内的给定区间上，例如 f(x)=的定义域是(，0)(0，+)，它在 (，0)上是减函数，在(0，+)上也是减函数，但不能说在定义域内是减函数.怎样利用己知函数的单调性来判定较复杂函数的单调性？若函数f(x)、 g(x)在区间上B具有单调性，那么在区间B上：(1) f(x)与 f(x)+c(c为常数) 具有相同的单调性；(2) f(x)与c f(x)当c0时，具有相同的单调性；当c0时，具有相反的单调性；(3) 当 f(x)恒不为零时，f(x)与具有相反的单调性；(4) 当f(x)恒为非负时，f(x)与具有相同的单调性；(5) 当f(x)、 g(x)都是增(减)函数时，则f(x)+ g(x)也是增(减)函数；(6) 当f(x)、 g(x)都是增(减)函数时，则f(x) g(x)当f(x)、 g(x)两者都恒大于0时，也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数.至于按定义来证明函数的单调性，通常须五步：取值求差变形定号判断(分解因式、配方等)2.4 反函数新教材关于反函数的定义是按照函数的定义来重新定义的。见教材P61页。由定义可知：反函数x=f1(y)的定义域、值域分别为函数y=f(x)的值域、定义域.这样定义的反函数有一定的局限性，事实上函数y=f(x)和x=f1(y)表示的是同一种关系，两者的图象是一致的，这样，在同一个坐标系中，如果不记住是从x到y还是从y到x，就分不清函数的图象和它的反函数的图象了.为此，我们按照用x表示自变量，用y表示函数的习惯，把函数式x=f1(y)中的字母x，y对调一下，从而把函数y=f(x)的反函数x=f1(y)改写成y=f1(x).这样函数的解析式和图象都变了，叫做矫形反函数.在教科书中，函数的反函数都是指它的矫形反函数.一般地讲，如果一个函数有反函数，那么原函数y=f(x)与它的反函数是互为反函数.求反函数时，应先确定原函数的值域，这样，反函数的定义域便确定了.求反函数的步骡是“一解、二换”.一解：即首先由给出的原函数解析式y=f(x)，反解出用y表示x的式子x=f1(y)；二换：即是将x=f1(y)中的x，y互换，得到y=f1(x).应该注意：(1) 在y=f(x)与x=f1(y)中，字母x，y但所表示的量相同，但地位不同，在y=f(x)中，x是自变量，y是x的函数；在x=f1(y)中，y是自变量，x是y的函数.(2) 在y=f(x)与y=f1(x)中，字母x都是自变量，y是x的函数.即x，y地位相同，但这时x与y表示的量的意义却互换了.(3) 在同一直角坐标系中，y=f(x)与x=f1(y)是同一图象，而y=f(x)与y=f1(x)的图象关于直线y=x对称.注意利用函数图象来研究函数的性质函数图象可直观地，生动地反映函数的某些性质，因此研究函数性质应密切结合函数图象的特征，对应研究函数的性质.所以要注意观察函数图象的变化趋势，总结函数的相关性质，同时在研究函数性质时，头脑中要有相应函数图象来印证.因此，记住某些函数图象的草图，养成分析问题的习惯，形成数形结合研究问题的意识.例1. 若函数y=f(x)的反函数是y=g(x)， f(a)=b，ab0，则g(b)=( ).(A) a (B) a1 (C) b (D) b1解：由f(a)=b，得g(b)=gf(a)， f(x)与g(x)互为反函数， gf(a)= a. g(b)=a. 故选(A).例2 己知 f()=，求f1 () .解：由f()=，得f(x)=.即 y= 解得 x= ， 故 f1 (x)=. 即 f1 () =.例3 求函数 的反函数.解：由) 解得 x2=y+1， x0， x= 又由 y=2x1(x0解得 x=. 的反函数为f1 (x)= 例4己知(1，2)既在的图象上，又在其反函数的图象上，求a，b的值.解： 点(1，2)既在的图象上， 即 a+b=4， 又 点(1，2) 在的反函数的图象上， 点(2，1) 在的图象上. ，即 2a+b=1. 由、联立，解得 故 a，b的值分别为3、7.二、指数与指数函数2.5 指 数随着指数范围扩充，幂的运算性质可以合并和简化正整数指数幂的运算性质：(1) aman=am+ n (m、n N * )；(2) (a m)n=a mn (m、n N * )；(3) (ab)n=anbn (n N * )；(4) aman=am- n (a0 m、n N *， m0)；(5) ()n = (b0 ，且n N *)；当指数的范围扩大到整数集Z之后，幂的运算性质可以合并：(1) aman=am+ n (m、n Z)；(2) (a m)n=a mn (m、n Z)；(3) (ab)n=anbn (n Z).注意：零指数、负整指数幂底数不能等于0.当指数的范围扩大到有理数集Q以至实数集R，仉然符合上述三条运算性质：(1) aras=ar+ s (a0，r、s Q)；(2) (a r)s=a rs (a0，r、s Q)；(3) (ab)r=arbr (a0，b0，r Q).怎样证明？设r=，s=，(其中m、n互质，p、q互质，且n1，q1)(1) aras=a= =amqanq=amq+nq. aras= 又 a rs = a+=a 由、得 aras=ar+ s .(2) (a r)s= =rs .(3) (ab)r=(ab) arbr.例1 计算：.解： 原式= =101+5 例2 化简：.解：例3 化简：解： 原式= =例4 计算 解：原式= =.例5 计算 解：原式=例6 己知 解：由 得 x2+x-2=47. 原式=2.6 指数函数在指数函数的解析式y=ax中，为什么规定a0且a1？(1)如果a=0，那么当x0时，ax0. 当x0时，ax无意义.(2)如果a0，那么对于x的某些数值，可使. ax无意义.例如当a=4，.且x=时，无意义.(3)如果a=1，那么对于任何xR，ax1.对它没有研究的必要.在规定了a0且a1以后，那么对于任何xR，ax都有意义且ax0，因此，指数函数的定义域是R，值域是(0，+).要注意指数函数的解析式y=ax中ax的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是.例如 y=ax+k (a0且a1，kZ).有些函数看起来不像指数函数，实际上却是.例如 y=a-x (a0且a1).它可化为 y=(a-10且a-11)当xR，函数y=2x， y=2x+1，y=2x+1，y=2x，y=2-x图象之间有什么关系？(1) 将函数y=2x的图象沿y轴向上平移1个单位长度，就得到 y=2x+1的图象；(2) 将函数y=2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，就得到 y=2x+1的图象；(3) 将函数y=2x的图象关于x轴作“对称变换”(即画出它关于x轴对称的图形)就得到 y=2x的图象；(4) 将函数y=2x的图象关于y轴作“对称变换”(即画出它关于y轴对称的图形)就得到 y=2-x的图象；等价化归在求解函数定义域、值域和判断函数的单调性中的作用：等价化归很讲究技巧，要通过经常认真的训练才能获得.例1 己知x，y R，且2x+3y2-x+3-y，求证：x+y0.这个不等式两边都含有x，y两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把它化归成等价形式2x3-x 2-y3y，使它两边都只含一个变量，于是可构造一个辅助函数： f(x)= 2x3-x 由于指数函数2x是增函数，3-x=(是减函数，3-x是增函数，因此，f(x)= 2x3-x是增函数因 2x3-x 2-y3y=2-y3-(-y)，可知 f(x) f(y) ，即 xy. x+y0 .把条件不等式化归成与它等价的不等式，也是“化归”思想的运用.而构造辅助函数在完成证明的过程起了重要的作用.例2 求函数的定义域和值域.解 故 函数的定义域为1，3. 当x1，3，u. 0，2.又 y=3x为增函数，故函数值域为1，9.例3 求函数的值域及单调区间.解：设 而 为减函数， 函数的值域为0，9.U的单调增区间为1，单调减区间为(，1).故的单调增区间为(，1)，单调减区间是 1，.例4己知f(x)= 求f(x)的定义城、值域，并判定f(x)的单调性.解：(1) 函数定义域为(，).(2)又 y= ，函数的值域为(1，1).(3)设x1x2， x1、x2(，).则 f(x1) f(x2) = ， .， f(x1) f(x2).故函数f(x)=为增函数.例5 若求x的取值范围.解：当，即 当 即即当a0时，x2或x1. 当1a0时，1x2.注意：对指数的底含字母参量的问题，一定要对底的取值分情况讨论.我们应按教学大纲的要求，把数学思想渗透到整个教学过程中.所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动 而 产生的结果，数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质的认识，基本数学思想则是体现或应该体现于基础教学中的具有奠基性、总结性和最广泛应用性的数学思想，它含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的.“数学思想”比一般说的“数学概念”是具有更高的抽象概括水平，“数学概念”比“数学思想”更具体、更丰富，而“数学思想”比“数学概念”更本质、更深刻.数学思想是与其相应的数学方法的精神实质与理论基础.“数学方法”则是实施有关数学思想的技术手段与操作程式，中学数学中用到的各种数学方法都体现著一定的数学思想.数学思想属于科学思想，但科学思想未必就是数学思想，有的“哲学思想”(例如“一分为二”的思想和转化思想)和逻辑思想(例如归纳思想)，由于其在数学中的运用而被“数学化”了，也可称之为数学思想.基本数学思想包括：符号与变元表示的思想、集合思想、对应思想、公理化与结构的思想、数形结合思想、化归思想、函数与方程的思想、整体思想、极限思想、抽样统计思想等.当我们按照空间形式和数量关系将研究的对象进行分类时，把分类思想也看作基本数学思想.基本数学思想有两大基石符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大支柱对应思想和公理化与结构思想，基本数学思想及其衍生的其他数学思想，形成了一个结构性很强的网络.数学中渗透著基本数学思想，它们是基础知识的灵魂，如果能使它们落实到学生学习和应用数学的思维活动上，就能在发展他们的数学能力方面发挥出一种方法论的功能，这对于他们学习数学，发展能力、开发智力都是至关重要的.三、对数与对数函数2.7 对数 “对数”几年前由初中移到高中，大多数老师都很熟悉，为什么说求对数运算与求指数幂运算具有互逆关系？2的4次幂等于16，记作24=16.16是2的4次幂，2是底数，4是指数.相反的问题：2的多少次幂等于16？为了表示16是2的多少次幂，我们采用了式子log216=4，这里4叫做以2为底16的对数.2仍然是底数，16叫做真数.一般地，如果a(a0且a1)b的次幂等于N(即ab=N) 数b就叫以a为底N的对数，记作logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.在实数集R内，正数的任何次幂都是正数.在式子ab=N中，因为a是不等于1的正数，所以对于任意一个实数b，N总是正数，也就是说，0与负数都没有对数.本章对数式中的字母，如果不加特殊说明，底数都是不等于1的正数，真数都是正数.指数式ab=N中，底数、指数、幂与对数式logaN=b中的底数、对数、真数的关系，可以表示如下： 指数 对数 幂 真数ab=N logaN=b.底数如果把ab=N 中的写成logaN，就有a logaN=N，这是对数恒等式.例如 24=16，log216=4， 2 log216=16.对数的运算性质：如果，a0，a1，M0，N0，那么(1) loga(MN)=logaM+logaN(2) logalogaMlogaN(3) logaMn=nlogaM (nR)怎样用文字语言来描述？(1) 两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和；(2) 两个正数的商的对数，等于同一底数的这两个数的对数的级；(3) 一个正数的任意实数幂的对数，等于这个幂的底数的对数乘以幂指数.怎样使学生理解证明对数运算性质loga(MN)=logaM+logaN的思路？先要弄清条件与结论，即己知logaM、logaN，求loga(MN).还要明确a0，a1，且M0，N0.因为求对数是求幂指数的逆运算，为了利用幂的运算性质，所以设logaM=p，logaN=q然后转化成指数式M=ap，N=aq，于是MN= ap aq= ap+q.重新转化为对数式loga(MN)=p+q.把所设代换便可得证：loga(MN)= logaM+logaN.另法：MN= a logaM a logaN. =a logaM+logaN.，由定义 loga(MN)= logaM+logaN.关于对数换底公式，未出现于教材正文，但习题2.8中出现，可通过实例来研究：当一个对数式的底改变时，整个对数式会发生什么变化？例如 求log35，设log35=x，改写成指数式，得 3x=5.在等式两边同时取以a(a0且a1)为底的对数，得loga 3x=loga5， 即 xloga 3=loga5. x=在这个等式中，左边对数式的底数为3，如果将3变为a，那么这个对数式变为等式右边的式子.一般地，我们有下面的换底公式： 以下给出两种证明方法：证法一：设logbN=x，化为指数式，得bx=N.在这个指数式两边同时取以a为底的对数，得 即. . 即 logbN= .证法二：要证 只须证 由运算性质(3)，只须证. 但， 故logaN=logaN成立.对数换底公式的意义是把一个对数式的底数，换成另外的数(大于0且不等于1).这在对数式的恒等变形或计算求值中有重要作用.对数换底公式按大纲的要求，不需记忆，只供学生学习时参考.2.7 对数函数关于对数函数可与指数函数联系、比较，使学生更易掌握，对数函数的反函数是指数函数，所以，要利用指数函数的性质来研究对数函数，应该让学生注意到：(1) 两种函数都要求底数大于0且不等于1.(2) 定义域与值域对数函数的定义域为(0，+)，结合图象，对数函数在y轴左侧没有图象，即负数没有对数，零也没有对数，也就是真数必须大于0.这个知识可以用来求含有对数的函数的定义域(比前面求定义域的准则扩充了).(3) 通过将对数函数及指数函数的图象进行对比，可以发现：当a1或0a1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的.(即在区间(0，+)上，同时为增函数或同时为减函数)(4)对数函数的图象都经过点(1，0)，这与性质loga1=0a0=1.(5)对数函数与指数函数互为反函数，那么它们的图象关于直线y=x对称.(5) 通过对底数a的取值进们分类讨论，研究对数函数的性质，包括函数值大小的比较也是一个课题.例1 求值：；.解：. 原式=. 例2 求值： 解：原式= = = =例3 设解：由己知