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轴向拉压变形轴向拉压变形 典型习题解析典型习题解析 1 图示结构 杆 AB 和 BC 拉压刚度 EA 相同 在节点 B 处承受集中力 F 试求节点 B 的水 平及铅垂位移 C 2 题 1 图 解题分析 解题分析 本题为静定问题 由静力平衡方程确定各杆轴力后 计算各杆轴向变形 最后用 切线代圆弧 方法 确定节点 B 的新位置 计算节点 B 的水平及铅垂位移 解 解 1 计算各杆的轴力 设 AB 杆和 BC 杆轴力分别为 且均为拉力 则 B 点的 静力平衡方程为 N1 F N2 F 045cos 0 N1N2 FFFx 045sin 0 N2 FFFy 解得 FFFF2 N2N1 2 计算 AB BC 杆变形 F B A 1 45o B F FN145o FN2 a a a B l1 B1 l2 B2 45o B B3 b c 21 AB 杆变形 EA Fa EA lF l 1N1 1 伸长 BC 杆变形 EA Fa EA aF EA lF l 2 2 2 2N2 2 伸长 3 求节点 B 的位移 将 AB 延长 1 l 到点 见图 c CB 延长 1 B 2 l 到点 分别以 A C 为圆心 A C为半径画圆弧 两圆弧相交于一点 该点就是变形后 B 点的新位置 但在小变形条件下 可以用切线代替圆弧 所以确定 B 点新位置的简便做法是 从 点分别作 A C的垂线 两条垂线的交点就是变形后 B 点的新位置 即点 为方便 计算 另作辅助线 从图 c 的几何关系容易计算出 2 B 1 B 2 B 1 B 2 B 1 B 2 B 3 B BB B 点水平位移 11 EA Fa lBB Bx B 点铅垂位移 221 2 245tan 45sin 1 2 EA Fa EA Fa EA Fa l l BB By 2 图示结构 AD 段为钢杆 横截面面积 弹性模量 24 1 mm102 AGPa210 1 E DB 段为 铜杆 横截面面积 弹性模量 24 2 mm101 AGPa100 2 E F 1000 kN 试求上 下端 反力及各段横截面上的应力 解题分析 解题分析 本题有两个未知反力 有效平衡方程只有一个 为一度静不定问题 首先应列出 静力平衡方程和变形协调方程 以确定各段轴力的大小 然后再计算各 解 解 1 静力平衡 段中应力 方程 AC 段受拉 CD DB 段受压 可设上端截面 约束反力 在F力作用下 为拉力 1 F 下端截面约束反力为压力 2 F 它们的方向如图示 于是杆 AB 的静力平衡方程 0 21 FFF a 2 变形协调方程 静补充方程才能确定各力 补不定问题需要 充方程一般从变形协调条件中寻找 本题中 由于 A B 两端的 约束 AB 段的总变形为零 此即变形协调条件 设 AC CD DB 段变形分别为 AC l CD l 和 DB l 则有 CD l0 DBAC ll b 3 利用物理关系 用力表示变形协调方程 F1 A a 钢 C B D 铜 F2 F a 2a 题 2 图 22 容易确定 AC CD DB 段的轴力分别为 1 F 由胡克定律知 2 F 2 F 11 1 AE aF lAC 11 2 AE aF lCD 22 22a AE F lDB 代入 b 式 得到 0 2 22 2 11 2 11 1 AE aF AE aF AE aF c 0 m10100Pa10100 2 m10200Pa10210 249 2 249 21 FF F d 4 联立求解 联立式 反力 21 4 9FF a 式 d 解得 上端反力 kN904 1 F 拉 下端kN96 2 F 压 5 计应力 算各段杆中的 MPa2 45Pa102 45 m10200 N10490 1 F 6 24 3 1 A AC 拉 MPa8 4Pa108 4 m10200 N1096 6 24 3 1 2 A F CD 压 MPa6 9Pa106 9 m10100 N1096 6 24 3 2 2 A F DB 压 讨论讨论 如果开始时假设 AC CD DB 段轴力均为拉力 则式 a 变为 式0 21 FFF b 变为0 求解后kN904 DBCDAC lll 1 F kN96 2 F 与前面 所以 在列变形协调方程时 要注意变形与引起变形的力的方向一致 否则容易出错 3 图示支架承受载荷 F 10 kN 1 2 3 各杆由同一种材料制成 其横截面面积分别 结果一致 为 解题分析 解题分析 本题未知力为 3 根杆的轴力 而有效一度静不定问题 需 杆受压 它们的轴力分别为 和 研究 A 点平衡 得 2 1 mm100 A 2 2 mm150 A和 2 3 mm200 A 试求各杆的轴力 平衡方程只有两个 为 要补充一个变形协调方程 才能确定各杆轴力 解 解 1 列静力平衡方程 N1 F N2 F N3 F 设 1 2 杆受拉 3 23 0 x F 30cos30cos N3N2N1 FFF 1 或 N3N2N1 323FFF a F 30O 2 A 0 y F FFF 30sin30sin N3N1 30O 或 FFF2 N3N1 b 3 2 列变形协调方程 l 为找到各杆变形之间的几何关系 关键是画 出变形图 画法如下 首先根据直观判断画出 变形后 A 点的位置 画 1 2 杆的延长线 因 为 1 2 杆受拉伸长 从点分别向 1 2 杆 延长线和3杆作垂线 分别交于点 1 A 2和3 A 则 A AA 11 AA l 22 lAA 33 l a F AA 另作辅助线如图示 则有 bcAaAcab 即 30tan 30sin 30sin 30tan 2312 llll 或 2312 3 2 2 3llll 整理得 312 3lll c 3 利用物理关系 用力表示变形协调方程 1 N1 1 3 2 EA lF l 2 N2 2 EA lF l 3 N3 3 3 2 EA lF l d 将 d 代入 c 得 3 N3 1 N1 2 N2 3 2 3 23 A F A F A F 将各杆横截面面积值代入整理 得 N3N1N2 22FFF e 4 联立求解 联立式 a b e 解得 kN45 8845 0 323 31 2 N1 FFF 拉 FN1 30O FN2 A 30O FN3 b l2A l3 l1 a b c 30O A2 A3 A1 A c 题 3 图 24 kN68 2268 0 323 3 N2 FFF 拉 kN53 11153 1 323 32 2 N3 FFF 压 讨论 讨论 解该题的关键是画变形图 找到各变形间的几何关系 本题中开始时假设 3 杆受压 画变形图时应注意 3 杆的变形必须是压缩变形 这样才能列出正确的变形协调方程 4 图示刚性梁 AB 受均布载荷作用 梁在 A 端铰支 在 B 点和 C 点由两根钢杆 BD 和 CE 支 承 已知钢杆的横截面面积 其许用应力 2 mm200 DB A 2 mm400 CE AMPa170 试校核钢杆的强度 解题分析 解题分析 该题未知力为 A 点的两个约束 反力 两杆的轴力 共四个 而有效平衡方 程只有三个 所以为一度静不定问题 需要 补充一个变形协调方程 才能确定各杆轴 力 解 解 1 列静力平衡方程 取 AB 梁为研究对象 设 CE 杆受压 DB 杆受拉 其轴力分别为 以 A 点为中心取矩 则 A 处的两个未知力 和不出现在平衡方程中 可以简化 计算 CE FN BD FN Ax F Ay F 0 A M 即 a 2 变形协调方程 BDCE FF N N 3kN135 根据变形图 b CEDB LL 3 3 用力表示变形协调方程 利用杆变形与轴力间的物理关系 式 b 可写为 E LF E LF CEBD 26 N 26 N m10400 3 m10200 8 1 1 8L D 1 m E C 30 kN m A L 2 m B D 30 kN m 题 4 图 B C A E B 2 m 1 m LCE LDB FBy F By 0m3m1 5m3kN m 30m1 NN BDCE FF 25 或 CEBD FF N N 6 5 c 4 联立式 a c 解得 kN2 32 N BD F kN4 38 N CE F 5 校核杆强度 MPa161Pa10161 m10200 N102 32 6 26 3 BN DB D DB A F MPa96Pa1096 m10400 N104 38 6 26 3 N db F A F 所以 按图 a 方式排列铆钉时 不满足钢板拉伸强度要求 若按图b排列 则1 1截面的拉应力为 2 2 F 1 1 F F F F F F F FN a F 1 1 F F 3F 4 F x F 2 FN b F 4 x 题 4 图 12 MPa160 m1010m1020012 N10160 33 3 1 1 11 db F A F 2 2截面上的拉应力为 MPa150 m1010m102020124 N101603 24 3 4 3 33 3 2 22 db F A F 所以 按图 b 方式排列铆钉时 满足钢板拉伸强度要求 比较两种排列方式 图 b 中的排列方式较合理 因为这种排列方式在轴力较大的截面 配置较少的铆钉孔 在轴力较小的截面配置较多的铆钉孔 从而降低最大拉伸应力值 讨论 讨论 铆钉排列方式虽然对铆钉本身强度无影响 但却对钢板的拉伸强度影响较大 所以 在工程中 从被连接件的拉伸强度考虑 铆钉一般按菱形排列 1 扭转扭转 典型习题解析典型习题解析 1 一内径d 100mm的空心圆轴如图示 已知圆轴受扭矩mkN5 T 许用切应力 80MPa 试确定空心圆轴的壁厚 解题分析 解题分析 因为不知道壁厚 所以不能确定是不是薄壁圆管 分别按薄壁圆管和空心圆轴设计 解 解 1 按薄壁圆管设计 薄壁圆管扭转时 假设切应力沿壁厚均匀分布 设壁厚为 平均半径为2 0 dR 则扭转切应力为 2 0 2 R T 强度条件为 于是得 2 2 T d 2 2 223 T dd Pa1080 mN1052 m10100m101002 6 3 2 3233 解得 mm70 3m1070 3 3 2 按空心圆轴设计 强度条件为 p max W T 将 2 16 44 p dDdD D W 代入得 2 0 16 16 44 44 dTDD dD DT 0Pa 108 m1 0 mN10516Pa1080 64346 DD 解得mm107 7m10107 7 3 D mm85 3 2 mm100mm7 107 2 dD 比较可知 两种设计的结果非常接近 讨论 讨论 当10 0 R 时 即认为是薄壁圆管 可以直接使用薄壁管扭转公式 2 图示受扭圆杆 沿平面ABCD截取下半部分为研究对象 如图b所示 试问截面ABCD上 的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡 解题分析 解题分析 由切应力互等定理可知截面ABCD上的切向内力分布及其大小 该截面上切向内 力形成一个垂直向上的力偶矩 在图b中 左右两个横截面上的水平切向内力分量形成垂直 于截面ABCD的竖直向下的力偶矩 正好与截面ABCD上切向内力的合力偶矩平衡 解 解 1 计算长为 l 的纵截面ABCD上切向内力的合力偶矩 如图c所示 在纵截面上取一微面积 dd lA 其上切向内力的合力即微剪力 ddd p S l I T lF 微剪力对 z 轴的微力矩为 dddd 2 p S l I T lFM z 积分得到纵截面上切向内力对 z 轴的合力偶矩为 题2图 M a A B d R D c d b C d A D A BC M z B xD C 3 p 3 0 2 p 3 2 d2d I TlR l I T MM R zz 方向竖直向上 2 计算两端横截面切向内力的水平分量形成的力偶矩 如图d所示 微面积 ddd A上切向内力的水平分量为 ddsinsinddd 2 p I T F 右端横截面上剪力的水平分量为 3 p 0 2 p 2 0 S 3 2 ddsin2R I T I T F R 左右两个横截面上水平剪力形成绕 z 轴的力偶矩为 3 p S 3 2 lR I T lF 竖直向下 所以 截面ABCD上的切向内力所形成的力偶矩将由左右两个横截面上水平剪力形成 的力偶矩平衡 3 空心钢轴的外径 D 100 mm 内径 d 50 mm 已知间距 l 2 7 m 之间两截面的相对 扭转角 1 8 材料的切变模量G 80 GPa 试计算 1 轴内最大切应力 2 当轴以 n 80r min 的速度旋转时 轴传递的功率 kW 解题分析 解题分析 由已知条件 求出扭矩T 由 T 计算 xam 和功率P 解 解 1 根据相对扭转角列出扭矩的表达式 180 p GI Tl 即 l GI T 180 p 2 计算最大切应力 MPa6 46Pa106 46 180m7 22 m1 0Pa 10808 1 1802 180 2 2 6 9 p p p max l DG lI D GI I D T 3 计算轴传递的功率 4 由 r min kW 4124429 80 9549 32 m1050100 m7 2180 Pa10808 1P T 得kW7 71 P 4 若用一内外径比值为0 6的空心轴来代替直径为 d 400 mm 的实心轴 在两轴的许用切 应力相等的条件下 试确定空心轴的外径 并比较实心轴和空心轴的重量 解题分析 解题分析 用空心轴代替实心轴 须保证二者强度相同 根据强度条件可求出D值 再用面 积比得出重量比 解 解 1 根据两轴切应力相等的条件 确定空心轴外径 P max 实P max 空 W T W T 1 16 16 4 33 Dd mm420 6 01 1 mm400 1 1 1 4 3 4 3 4 3 3 d d D 2 比较实心轴和空心轴的重量 两轴重量比应等于其横截面面积 空 A和 实 A之比 71 100 mm400 6 01mm420 4 1 4 22 222 2 2 2 实 空 d D A A 即在强度相同条件下 空心轴可以节约近30 的材料 讨论讨论 在实际工程中常用空心圆轴代替实心圆轴 在保障安全运行的前提下 可以节约材料 5 已知钻探机杆的外径D 60 mm 内径d 50 mm 功率P 7 46 kW 转速n 180 r min 钻杆入土深度l 40 m G 80 GPa 40 MPa 设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布 的 试求 1 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M 2 作钻杆的扭矩图 并进行强度校核 3 求A B两截面相对扭转角 解题分析 解题分析 根据题意 为圆轴扭转问题 土壤对钻杆的阻力形成扭力矩作用在钻杆上 并沿 钻杆长度方向均匀分布 5 解 解 1 求阻力矩集度M 设钻机输出的功率完全用于克服土壤阻力 则有 mN390 min r180 kW46 7 9549 9549 minr kW n P T 单位长度阻力矩m mN75 9 m40 mN390 l T M 2 作扭矩图 进行强度校核 钻杆的扭矩图如图 c 所示 最大扭矩出现在A截面 所以A截面为危险截面 其上 最大切应力为 MPa7 17 m10 5060 32 m1030mN390 41244 3 p max max I RT 满足强度要求 3 计算A B两截面相对扭转角 AB 2 d d p 0 p 0 p l GI T x GI l x T GI xM ll AB 8 48rad0 148 2m10 5060 Pa1080 m04mN39032 412449 6 两个等长度的钢管松套在一起 外管的尺寸为D1 100 mm d1 90 mm 内管的尺寸D2 90 mm d2 80 mm 当内管受扭矩T 2 kN m作用时 将两管的两端焊接起来 然后去掉内管 上的扭矩 问此时组合管内将产生怎样的应力 试画出组合管横截面上的切应力分布图 6 解题分析 解题分析 内 外管两端焊接后 内 外管在端截面处一起变形 去掉内管扭矩后 内管产 生恢复性扭转变形 并带动外管也产生扭转 变形 同时外管限制内管完全恢复到其受扭 前位置 两管在中间位置取得平衡 此题属 于扭转静不定问题 解 解 设预加扭矩T 在内管引起的扭转角为 在焊接后和去掉内管扭矩后 设外管所受扭 矩为T1 相应扭转角为 1 内管所受扭矩为 T2 相应扭转角为 2 1 列静力平衡方程 21 TT a 2 列变形协调方程 21 b 代入物理关系得 p2 2 p1 1 p2 GI lT GI lT GI Tl c 3 计算各管扭矩 将 a c 联立求解 得 4 1 4 1 4 2 4 2 4 1 4 1 p1p2 p1 1 dDdD dDT II TI T 2 4124441244 412443 1 mN1166 m1090100m108090 m1090100mN102 TT 4 计算外管和内管的切应力 MPa3 17Pa103 17 m1090100 32m1050mN1166 26 41244 3 p1 1 1 max1 I D T MPa8 21Pa108 21 m10 8090 32m 1045mN 1166 26 412 44 3 p2 2 2 2max I D T 1max 2 7 组合管的切应力分布图如图b所示 7 一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T 400 N m作用 圆杆直径d 40 mm 矩形 截面为60 mm 20 mm 试比较这两种杆的最大切应力和截面面积 解题分析 解题分析 圆形截面杆受扭时最大切应力发生在截面边缘各点处 矩形截面杆受扭时最大切 应力发生在截面长边中点处 计算时需要先查表得到有关系数 解 解 1 分别计算两种截面杆最大切应力 圆杆MPa 9 31Pa109 31 m 1040 mN40016 16 6 333 p max d T W T 矩形杆 先计算比值3 2 6 b h 查表267 0 MPa4 62Pa104 62 m 1060 m1020267 0 mN400 6 3232 max hb T 2 分别计算两杆截面面积 圆杆 mm1260m101260 4 m1040 26 2 2 3 圆 A 矩形杆1200mmm101200m102060 2626 矩 A 讨论讨论 矩形截面面积与圆形面积相近 但是最大切应力却增大了近一倍 且 b h 之值越大 切 应力也越大 因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件 8 图示的闭口薄壁截面杆受到外力偶M的作用 若 MPa60 试按强度条件确定其许用 扭力矩 若在杆上沿母线开一缝 试问开缝后 许用扭力矩又为多少 解题分析 解题分析 闭口薄壁杆受扭时 最大 切应力发生在杆壁最薄处 开口薄壁 可看成以若干狭长矩形截面杆组合而 成 以求和的形式计算最大切应力 由切应力强度条件确定许用扭力矩 解 解 1 确定闭口薄壁截面杆的许用扭力矩 已知 h 300mm b 100mm 3mm 则最大切应力及其强度条件为 300 题8图 M M 3 100 8 2 min max T 式中 为截面中心线所围的面积 mN10108Pa1060m103m101003002 2 2 263 26 min hb TM 2 确定开缝后的许用扭力矩 3 1 3 max max ii h T 式中 4123412341233 m103 3 800 m103100m103300 2 3 1 3 1 ii h mN144Pa1060 m103 m103 3 800 3 1 6 3 4123 max 3 i i h TM 讨论讨论 上述计算结果表明 开口薄壁杆比闭口薄壁杆扭转时承载能力差很多 弯曲内力 弯曲内力 典型习题解析典型习题解析 1 作图示简支梁的剪力图和弯矩图 并求出 max S F和 max M 解题分析 解题分析 作剪力 弯矩图的基本方法是写出每一段梁上的剪力 弯矩方程 根据方程描点 作图 在能熟练地作剪力 弯矩图后 可采用如下简便作图法 在表中列出特殊截面 如有 位移约束的截面 集中力作用截面等的剪力 弯矩值 再根据载荷集度与剪力 弯矩之间的 微分关系判断各区段的内力图形状 连线相邻特殊截面对应的点 下面按两种方法分别作图 解 I 解 I 1 求支反力 qaFAy qaFCy2 2 将梁分成 AB BC 和 CD 三个区段 以 A 为原点 向右取 x 坐标 AB 段 如图 d qaFF Ay S ax 0 Fs 2qa qa qa 3qa2 2 qa2 x x M c b a q FDy D C F qaM A a B a FAy a A d x FAy e q B x FAy A M FS FS F qa q FSM A f BC FAy x q 题 1 图 1 qaxxFM Ay ax 0 BC 段 如图 e 2 S xaqaxqFF Ay axa2 2 2 22 axqaxaxqxFM Ay axa2 CD 段 如图 f S xaqFaxqFF Ay axa32 2 2 22 axqaxaxqxFM Ay axa32 3 按照步骤 2 所得各段梁的剪力 弯矩方程画出剪力图和弯矩图 如图 b 和图 c 4 计算剪力和弯矩的最大值 qaF2 max S 2 max 2 3 qaM 解 II 1 计算支反力 qaFAy qaFCy2 2 将梁分为 AB BC CD 三个区段 计算每个区段起点和终点的力值 力区 AB BC CD 起终点 A右B左B右C左C右D左 FS qa qa qa 0 qa 2 qa M 0 2 qa 2 qa 2 2 3 qa 2 2 3 qa 0 3 根据载荷情况及微分关系 判断各力区的内力图形状 并以相应的图线连接起来 得到剪力图和弯矩图 力区 A 截面 AB B 截面 BC C 截面 CD D 截面 载荷 FAy向上 q 0 无集中力q 负常数 F 向下 q 负常数 FDy向上 FS突跳FAy水平 连续 下斜线 突减 F 下斜线 突跳FDy M 0 上斜线 相切 上凸抛物线转折 上凸抛物线 0 4 计算剪力弯矩最大值 qaF2 max S 2 max 2 3 qaM 讨论讨论 利用剪力弯矩方程作图时 注意坐标轴x的正向一般由左至右 有时候根据需要 可 2 以取为由右至左 但此时必须注意q FS和M之间的微分关系在正负号上有变化 2 作图示梁的剪力图和弯矩图 qa2q 解题分析 解题分析 不分段列剪力 弯矩方程 只计算特殊截面处的剪力 弯矩值 根据规律连线 解 解 1 求支反力 qaFqaF CyAy 5 4 4 3 2 计算特殊截面剪力值 将梁分为三个区段计算每个截面的值 集中力作用截面的左 右两侧值不同 S F S F qaFF AA 4 3 0 SS 右左 qaFqaF BB 4 1 4 3 SS 右左 qaFqaF CC 右左 SS 4 1 0 S D F 3 计算特殊截面弯矩值 计算前述特殊截面处的M值 集中力偶作用截面的左 右两侧的M值不同 0 A M 22 4 1 4 3 qaMqaM BB 右左 qa2 2 1 4 qa2 1 FS 3 qa 4 4 qa 1 FCy C B aa x qa qa2 4 3 x FAy M a A D 题 2 图 3 2 2 1 qaMC 0 D M CD 段是二次抛物线 抛物线上有极值时应求出 4 计算最大剪力和弯矩值 qaF max S 2 max 4 3 qaM 讨论 讨论 采用上述作图法不能遗漏代表点 包括载荷变化点 约束点 计算极值弯矩时 可以 先找出该区段剪力为零的截面 该截面处的弯矩即为极值弯矩 也可以借助该区段的弯矩方 程计算极值 3 作图示梁的剪力图和弯矩图 并求出 max S F及 max 析 析 梁上有中间铰时 M B 处是中间铰 解题分解题分 先自铰处将梁拆分 中 矩一定为零 解 解 1 求支反力 3 qa2 间铰可以传递力 但不能传递弯矩 所以中间铰处弯 在中间铰 B 处将梁拆开两部分 铰处互相作用 力用 By F代替 如图 b 所示 2 4 7 4 7 1 qaFFqaF ByAy 4 qaMA Dy 2 将梁分为 AB BC CD 三个区段 计算 A B CD 截面处的内力值 3 集度与剪力 弯矩之间的微分关系 4 CD 段剪力有零点 根据左负右正 判断弯矩 图有极小值 根据载荷 判断各区段的内力图形状 并用图线连接 令0 4 1 S xF qxqa 得ax 4 1 代入弯 矩方程 22 32 1 4 2 1 4 1 qa a qaFxM D 5 计算最大剪力 弯矩值 qaF 4 max S 7 2 max 4 M 7 qa aa a a BC Me q2 A D FDy MA q FBy Me b FAy x FBy 7 4 FS x 4 qa 1 4 d 32 qa 5 2 qa2 1 qa2 7 4 M qa 4 2 1 c 4 qa x 3 qa 题 3 图 4 4 试作图示梁的剪力图和弯矩图 解题分析 解题分析 对于三角形 q0的关系 再列出剪力 弯矩方程 结构和 载荷均对称时 弯矩图对称 剪力图反对称 所以 只须取左半边作图 然后根据上述对称 解 解 1 求支反力 分布载荷 先列出q x 和 反对称关系 画出另一半剪力 弯矩图 lqFF CyAy 0 4 1 2 列 S FM方程 l x qxq 0 2 2 0 4 1 2 1 4 1 2 000l S1 l x l x qlqxxqqxF 2 l 0 3432 4 1 300 01 xx l q lx qxx xqlxqxM 2 l x 处M为极大值 2 0 30 1lql lM 0max 12 1 2324 lq l q 3 作 S FM图 AB 段 图为二次抛物线 S FM图为三次抛物线 BC 段 图与 AB 段反对称 S FM图与 AB 段对称 4 计算最大剪力弯矩值 q0l 4 l 2 FAy l 2 B x A FCy C q x q0 q0l2 12 题 4 q0l 4 图 5 4 0l q max S F 2 1 lqM 0 max 12 5 作图示刚架的内力图 C 铰处拆开 得 解题分析 解题分析 刚架有中间铰 自铰处拆开 先求支反力 然后根据对称规律作剪力 弯矩图 铰处无集中载荷时 铰两侧轴力 剪力图连续 弯矩为零 解 解 1 求支反力 由于对称 qaFF EyAy 在 ExAx F qa F 4 2 作F图 N AB 力区 直线 区 qaF N BCCD 力 4 N qa F 直线 力区 直线 3 DEqaF N 作 S F图 AB 力区 0 q 4 S qa 直线F C D B qa2 2 DCD C B B FCx FAx 2a FEy FAy qa A E FEx DC B a a FAx FAy qa2 2 A A 题 5 图 A E 4 qa F F qa 4 A qa 4 E M qa qa2 2 BC FCy q S N E qa qa qa 6 BD 力区 等于负常数 图为斜线 q S FqaF max S DE 力区 0 q 4 S qa F 直线 4 作M图 AB 力区 S F为负常数 M图为斜线 BC 力区 为斜线 正值 S FM图为二次抛物线 C 处M值等于零 CD 力区 为斜线 负值 S FM图为二次抛物线 2 2 DE 力区 为正常数 M图为斜线 S F max M qa 讨论讨论 作称性或反对称性可以大大降低 工作量 刚架内力图时充分利用刚架的几何对称性 载荷的对 7 弯曲应力 弯曲应力 典型习题解析典型习题解析 1 T形截面铸铁梁受力如图 许用拉应力 MPa40 t 许用压应力 MPa60 c 已知 kN kN m 12 1 F5 4 2 F 8 10765 z I 4 mm52 1 y mm88 2 y 不考虑弯曲切 应力 试校核梁的强度 y 解题分析 解题分析 铸铁为脆性材料 脆性材料的拉压强度有显著区别 一般其抗压强度明显高于抗 拉强度 为了充分利用这一特点 通常将其横截面选为 T 形 脆性材料梁一般要同时校核 其抗拉强度和抗压强度 解 解 1 计算支反力 设 A 处支反力为 B 处支反力为 均竖直向上 考虑梁 AD 的平衡 有 yA F yB F 0 B M 0m1N0112m1N015 4m2 33 yA F 得 kN 75 3 yA F 0 A M 0m1N0112 m3N015 4m2 33 yB F 得 kN 75 12 yB F 2 作弯矩图 确定危险截面 4 5kN m x b 3 75kN m M a z y2y1 F1F2 1m1m C B A D FByFAy 1m 题 1 图 1 弯矩图如图 b 所示 峰值为m3 75kN C M和m4 5kN B M B 截面的上边缘各点受拉 下边缘各点受压 C 截面的上边缘各点受压 下边缘各 点受拉 由于不能直观确定最大拉 压应力的位置 需要进一步计算 3 计算 B C 截面上的应力 B 截面上 最大拉应力 t 48 33 1 xam t MPa6 30 m10765 m1052mN105 4 z B I yM 最大压应力 c 48 33 2 xam c MPa8 51 m10765 m1088mN105 4 z C I yM 所以 梁的强度不够 2 图示结构承受均布载荷 AC 为 10 号工字钢梁 B 处用直径 d 20 mm 的钢杆 BD 悬吊 梁和杆的许用应力 MPa160 不考虑切应力 试计算结构的许可载荷 q D 题2图 2 b 1 q q 32 M 9 2m a A B q x C d 1m 2 解题分析 解题分析 DB 杆作为支撑 AC 梁的约束 在考虑梁的强度时 也要考虑 DB 杆的强度 许 可载荷取两种构件能承担的最小值 解 解 1 计算支反力 设 A 点处支反力为 B 处支反力为 均竖直向上 考虑 AC 梁的平衡 得 yA F yB F qF yA 4 m3 qF yB 4 m9 2 梁的强度条件 画梁的弯矩图如图b 显然 B 截面为危险截面 查表知10号工 字钢 于是 B 截面上弯曲正应力强度条件为 qM B 2 m5 0 36 m1049 z W xam 或 zz W q W M 2 max xam m5 0 解得 kN m15 68N m68015 m5 0 Pa10160m1049 m5 0 2 636 2 z W q 3 BD 杆的强度条件 BD 杆横截面上各点拉伸正应力相同 强度条件为 或 2 N 4 1 4 m9 d q A F BD 解得 kN m22 3N m22300Pa10160m1020 m9 1 m9 1 6262 dq 4 确定结构的许用载荷 取 AC 梁 BD 杆的许用 q 值中的小值 即为结构的许用载荷 所以 m kN68 15 q 讨论 讨论 本题中根据题意 没有考虑工字梁腹板上的弯曲切应力 在实际工程设计时 工字钢 3 等薄壁截面梁一般不宜忽略切应力 3 材料相同 宽度相等 厚度2 1 21 hh的两板叠放在一起组成一简支梁如图所示 梁上 承受均布载荷q 1 若两板简单叠放在一起 且忽略接触面上的摩擦力 试计算此时两板 内最大正应力 2 若两板胶合在一起不能相互滑动 则此时的最大正应力比前种情况减少 了多少 q 解题分析 解题分析 两板叠放在一起 在均布载荷 q 作用下 两梁一起变形 在任一截面上 两者弯 曲时接触面的曲率相等 小变形情况下 近似认为两者中性层的曲率相等 根据该条件 可 计算出各梁分别承担的弯矩 然后再分别计算两梁的最大应力 两板胶合在一起时 按一个 梁计算 解 解 1 计算两板简单叠放在一起时的最大应力 设变形后任一截面处两梁中性层曲率半径分别为 1 和 2 两梁承担的弯矩分别为 和 截面惯性矩分别为和 则由前面分析知 1 M 2 M 1 I 2 I 21 由于 1 1 1 1 IE M 2 2 2 1 IE M 所以 22 3 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 8 1 MM h h M I I M IE M IE M 梁中间截面弯矩为 2 21 8 1 lqMMM 于是 2 1 72 1 lqM 2 2 9 1 lqM b h2 h1 A l 题3图 4 两板最大弯曲正应力分别为 2 1 2 2 1 1 1 1 xam1 12 6 hb lq bh M W M 2 2 2 2 2 2 2 2 xam 2 3 26 hb lq bh M W M 2 1 8 1 2 1 2 2 xam2 xam1 h h 2 计算两板胶合在一起时的最大正应力 这时 按一个梁计算 于是梁中最大弯曲正应力为 2 2 2 2 21 2 xam xam 3 6 8 1 hb lq hhb lq W M 胶合前后最大正应力之比 2 1 xam 2 xam 亦即 两板胶合后最大正应力是未胶合时最大正应力的一半 4 简支梁如图所示 试求梁的最底层纤维的总伸长 q 解题分析 解题分析 梁弯曲时 截面上 下边缘上各点处为单向应力状态 利用弯曲正应力公式计算 应力 再由胡克定律求应变 在下表面取微段 可由该微段处应变计算其伸长 然后进行积 分可求出梁下边的总伸长 解 解 1 计算梁底层微段的伸长量 在距左端为x处 取梁底层上一微段来研究 由弯曲正应力公式 有 xd dxx Bh b A l 题4图 5 W xM x 由胡克定律 xEx 得 3 6 2 1 2 1 2 22 2 xxl hbE q hb E xqxlq EW xM x 而 x x x d d 所以xxxl hbE q xd 3 d 2 2 3 梁的最底层纤维的总伸长 沿梁全长积分得 2 3 0 32 2 0 2 32 3 d hbE lq x l x l hbE q xl l l 5 矩形截面简支梁由圆形木材刨成 已知Nk5 F m5 1 a MPa10 试确定此矩 形截面 b h 的最优比值 使其截面的抗弯截面系数具有最大值 并计算所需圆木的最小直径 d FF 解题分析 解题分析 利用圆木直径 d 与 h b 的数学关系 写出矩形截面抗弯截面系数 W 的表达式 用求极值的方法确定 h b 的最优比值 再利用弯曲强度条件确定 W 值 最后解出 d 值 解 解 1 确定W最大时的 b h 6 6 222 bdbhb W 令0 d d b W 得 b hd CD aa B A a 题5图 6 0 2 6 1 22 bh 或 2 b h 2 确定圆木直径d C D 截面处弯矩最大 为危险截面 根据强度条件 W M xam xam 知 max M W mN105 7m5 1N105 33 max aFM 所以有 3435 6 3 mm1075m1075 Pa1010 mN105 7 W 取 342 2 mm1075 2 6 1 6 bb hb W 于是得 mm131 b 22222222 mm10515mm13133 bbhd 得 mm227 d 6 截面为40 mm 5 mm的矩形截面直杆 受轴向拉力 F 12kN作用 现将杆件一侧开一 切口 如图a所示 已知材料的许用应力 MPa100 1 计算切口许可的最大深度 并 画出切口处截面的应力分布图 2 如在杆的另一侧切出同样的切口 正应力有何变化 解题分析 解题分析 此题为偏心拉伸问题 可利用弯曲与拉伸组合变形的强度条件求出切口的允许深 度 若另一侧开同样深度切口 偏心拉伸问题变为轴向拉伸问题 解 解 1 计算切口许可的最大深度 设切口深度为 如图 b 所示 切口截面形心在Cy 点 显然 杆在切口处截面承受 偏心拉伸 偏心距 e y 2 切口的内力如图c所示 轴力FF N 弯矩 M Fy 2 切口的许 y a F 题6图 h 40mm C FFF F b 5mm b c d 100MPa F C M 38MPa 7 可最大深度 y 由杆的强度条件确定 强度条件为 z W M A F N xam 式中切口截面的面积 抗弯截面系数 yhbA 6 2 yhb W z 代入强度条件得 2 xam 3 yhb Fy yhb F 0mm640mm128 22 yy 解方程后得到两个解 mm2 5 mm8 122 21 yy 显然mm8 122 1 y不合理 所以 切口最大深度不得超过5 2 mm 2 计算切口截面的最大正应力和最小正应力 画应力分布图 MPa100Pa10100 m105 2 40 5 m102 5N10123 m10 2 540 5 N1012 6 392 33 26 3 N xam z W M A F MPa38Pa1038 m105 2 40 5 m102 5N10123 m10 2 540 5 N1012 6 392 33 26 3 N nim z W M A F 切口截面上的应力分布如图d 所示 3 在杆另一侧切出同样的切口情况 由于没有偏心 切口截面只承受轴向拉力 F 正应力在截面上均匀分布 其大小为 MPa1 81Pa101 81 m10 2 5240 5 N1012 2 6 26 3 N yhb F A F 讨论讨论 从计算结果可以看出 杆的两侧有切口虽然截面面积减少 但正应力却比一侧切口时 的最大正应力为小 可见弯矩的出现明显增大构件中的应力 这也是工程上尽可能避免或减 小结构中弯矩的原因 7 图示直径为 d 的均质圆杆 AB 承受自重 B 端为铰链支撑 A 端靠在光滑的铅垂墙上 试 确定杆内出现最大压应力的截面到 A 端的距离 8 F 解题分析 解题分析 杆 AB 的自重可看作方向竖直向下的均布载荷 q 它在杆轴向和垂直轴线方向产 生两个分量 加上 A 点支反力 F 也在轴向有分量 所以杆发生弯曲和轴向压缩的组合变形 解 解 设杆的单位长度的重量为 q 墙对杆的水平支反力为 F 考虑 AB 杆的平衡 有 0 B M cos 2 sin l lqlF cot 2 lq F 考虑到 A 点的距离为 s 的横截面 该截面上的内力分量为 轴力 压 sin sin cos 2 sincos 2 N qs lq qsFF 弯矩 cos 2 cos 2 cos 2 sin 22 sqslqsq sFM s 横截面上绝对值最大的压应力为 cos 2 cos 2 32 sin sin cos 2 4 A 2 3 2 2 N sqslq d sq lq d W MF 令0 d d s 得到 0 coscos 2 32 sin 4 32 sq lq d q d 求得 tan 82 1d s 此即最大压应力截面到 A 端的距离 B A q B A s l 题7图 9 弯曲变形弯曲变形 典型习题解析典型习题解析 1 试用积分法写出图示梁的挠曲轴方程 说明用什么条件决定方程中积分常数 画出挠曲 轴大致形状 图中 C 为中间铰 为已知 IE w 解题分析 解题分析 梁上中间铰处 左 右挠度相等 转角 不相等 解 解 设支反力为 如图示 yBAyA FMF 1 建立各段挠曲轴近似微分方程并积分 将梁分为 AC CB BD 段 AC 段 ax 1 0 挠曲轴近似微分方程 11 xFMwIE yAA 转角方程 1 2 1 1 1 2 C xF xMwIE yA A a 挠度方程 111 3 1 2 1 1 62 DxC xF xM wIE yA A b CB 段 2 baxa 挠曲轴近似微分方程 2 2 xFMwIE yAA 转角方程 2 2 2 22 2 C xF xMwIE yA A c 挠度方程 222 3 2 2 2 2 62 DxC xF xM wIE yA A d BD 段 lxba 3 挠曲轴近似微分方程 333 baxFxFMwIE yByAA 转角方程 3 2 3 2 3 33 2 2 C baxFxF xMwIE yByA A e 挠度方程 333 3 3 3 3 2 3 3 6 62 DxC baxFxF xM wIE yByA A f 2 确定积分常数 共有6 个积分常数 需要 6 个位移边界条件和光滑连续条 件 332211 DCDCDC 题 1 图 FAy l AB C b F MA xD a FBy 1 边界条件 代入 b 得 0 1 x0 1 w0 1 D g 0 1 w代入 a 得 0 1 C h bax 2 0 2 w i 连续条件 axx 2121 ww j baxx 32 32 ww k 32 ww l 联立 i j k l 可求出 3322 DCDC 3 画挠曲轴大致形状 C 为中间铰 挠曲轴在 C 处必有拐点 A 处弯矩为正 AC 段为下凸上凹曲线 CD 段 在 D 处有向下的力 对梁段产生负弯矩 CD 段为上凸下凹的曲线 2 AB 梁的为已知 试用叠加法 求梁中间截面挠度 IE w 解题分析 解题分析 将三角形分布载荷视为均布载荷的一半 利 用叠加法即可求中点挠度 若求某截面转角 还要用积 分法 q0 B A 解 解 1 求支反力 3 6 00 lq F lq F yByA 2 计算 C 点挠度 将三角形分布载荷看成载荷集度为的均布载荷的一半 查表知均布载荷中间截面挠 度为 0 q IE lq 384 5 4 0 三角形载荷梁中间挠度为 IE lq IE lq wC 768 5 384 5 2 1 4 0 4 0 3 试用叠加法求图示梁 C 截面挠度 为已知 IE FAyFBy 题 2 图 l x C 2 q 解题分析 解题分析 首先将外伸端上的分布力简化到支座 B 得到一等效集中力lqF 4 1 和集中力 偶 16 2 lq MB 如图 b 所示 集中力 F 作用在支座上 不会引起 AB 梁段的变形 将均布力 看作为图 c 和图 d 所示两种情况的叠加 在图 c 中 再将载荷分解为集度为q 2 q 的均布载 荷和右端点受集中力偶两种情况 在图 d 中 由于载荷反对称 故中点 C 处挠度为零 B M 解 解 查表叠加可得 C 截面挠度为 IE lq IE l lq IE l q wC 38416 16 384 2 5 4 2 2 4 4 变截面悬臂梁如图所示 试用叠加法求自由端的挠度 C w 解题分析 解题分析 此题用逐段刚化法求解 被刚化的梁段只有位移无变形 解 解 1 首先将 AB 梁段刚化 BC 段看为变形弹性体 此时 B 处的转角和挠度为零如图 b 所 示 则 2 2 2 1 3IE lF wC 2 将 BC 段刚化 AB 段看作弹性体 把力简化到 B 截面 其等效力为集中力 F 和力偶 B A F EI2 EI1 A C B b a c 题 4 图 l2l1 C F C B F MB Fl2 B EI B C a q F ql 4 A q 2 EI MB l 2l 2 l 2 l 2 l 2 题 3 图 MB ql2 16 q 2 d A q 2 CB c D A q 2 CB A C b 3 2 lFM 如图 c 所示 在 F 力作用下 B 截面挠度 转角为 1 2 1 3 2 3IE lF IE lF w FBFB 在 M 作用下 B 截面挠度 转角为 1 12 1 2 12 2IE llF IE llF w MBMB 由于 BC 段为刚体 所以在 F M 作用下引起 C 处的挠度为 MBFBC www 2 以及 23 lw MBFBC 3 叠加求 C w