高考数学总复习 第五章 数列、推理与证明 第8讲 数学归纳法课件 理.ppt

第8讲 数学归纳法 1 掌握 归纳 猜想 证明 这一基本思路 2 了解数学归纳法的基本原理 3 能利用数学归纳法证明与自然数有关的命题 1 运用数学归纳法证明命题要分两步 第一步是归纳奠基 或递推基础 第二步是归纳递推 或归纳假设 两步缺一不可 2 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题 其中包括恒等式 不等式 数列通项公式 整除性问题 几何问题等 条时 第一步检验第一个值n0等于 a 1 b 2 c 3 d 4 且n 1 时 在第二步证明从n k到n k 1成立时 左边增加 的项数是 a 2kb 2k 1c 2k 1d 2k 1 c a 3 凸n边形有f n 条对角线 则凸n 1边形有对角线数f n 1 为 c 5 a f n n 1c f n n 1 b f n nd f n n 2 4 若不等式2n n2 1对于n n0的正整数n都成立 则n0的最小值为 考点1 对数学归纳法的两个步骤的认识 上述证法 a 过程全都正确b n 1验得不正确c 归纳假设不正确d 从n k到n k 1的推理不正确解析 上述证明过程中 在由n k变化到n k 1时 不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设 故选d 答案 d 答案 b 规律方法 用数学归纳法证明时 要注意观察下列几个方面 n的范围以及递推的起点 观察首末两项的次数 或其他 确定n k时命题的形式f k 从f k 1 和f k 的差异 寻找由k到k 1递推中 左边要加 或乘 的式子 互动探究 1 用数学归纳法证明1 a a2 an 1 an 1 a 1 1 a n n 时 在验证n 1时 左边计算所得的式子是 b a 1c 1 a a2 b 1 ad 1 a a2 a4 解析 n 1时 左边的最高次数为1 即最后一项为a 左边是1 a 的 2 用数学归纳法证明不等式 11n 1n 2 113n n24 过程中 由k推导到k 1时 不等式左边增加的式子是 答案 n n 1 an2 bn c 对一切正整数n都成立 证明你 考点2 用数学归纳法证明恒等式命题 例2 是否存在常数a b c 使等式1 22 2 32 2 n n 1 12 的结论 思维点拨 从特殊入手 探求a b c的值 考虑到有3个未知数 先取n 1 2 3 列方程组求得 然后用数学归纳法对一切n n 等式都成立 3n2 11n a b c 24 解 把n 1 2 3代入得方程组4a 2b c 44 9a 3b c 70 a 3 解得b 11 c 10 猜想 等式1 22 2 32 n n 1 2 n n 1 12 10 对一切n n 都成立 3k2 11k 10 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 由上面可知等式成立 2 假设n k时等式成立 即1 22 2 32 k k 1 2 k k 1 12 k k 1 k k 1 则1 22 2 32 k k 1 2 k 1 k 2 2 12 3k2 11k 10 k 1 k 2 2 12 3k 5 k 2 k 1 k 2 2 k 1 k 2 12 k 3k 5 12 k 2 k 1 k 2 12 3 k 1 2 11 k 1 10 当n k 1时 等式也成立 综合 1 2 对n n 等式都成立 规律方法 这是一个探索性命题 归纳 猜想 证明 是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式 对于探索命题特别有效 要求善于发现规律 敢于提出更一般的结论 最后进行严密的论证 从特殊入手 探求a b c的值 考虑到有3个未知数 先取n 1 2 3 列方程组求得 然后用数学归纳法对一切n n 等式都成立 左边 右边 所以等式成立 互动探究 3 用数学归纳法证明 当n n 时 11 3 13 5 1n 2n 1 2n 1 2n 1 证明 1 当n 1时 左边 111 33 右边 12 1 1 13 k 1k 1 2 假设当n k k n 时等式成立 即有 11 3 13 5 1 2k 1 2k 1 k2k 1 则当n k 1时 11 3 13 5 1 2k 1 2k 1 1 2k 1 2k 3 k12k 1 2k 1 2k 3 k 2k 3 1 2k 1 2k 3 2k2 3k 1 2k 1 2k 3 2k 32 k 1 1 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对一切n n 等式都成立 考点3用数学归纳法证明整除性命题 例3 试证 当n为正整数时 f n 32n 2 8n 9能被64 整除 证明 方法一 1 当n 1时 f 1 34 8 9 64 命题显然成立 2 假设当n k k 1 k n 时 f k 32k 2 8k 9能被64整除 由于32 k 1 2 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 9 8k 9 9 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 64 k 1 即f k 1 9f k 64 k 1 n k 1时命题也成立 根据 1 2 可知 对任意的n n 命题都成立 方法二 1 当n 1时 f 1 34 8 9 64 命题显然成立 2 假设当n k k 1 k n 时 f k 32k 2 8k 9能被64整除 由归纳假设 设32k 2 8k 9 64m m为大于1的自然数 将32k 2 64m 8k 9代入到f k 1 中 得f k 1 9 64m 8k 9 8 k 1 9 64 9m k 1 当n k 1时命题成立 根据 1 2 可知 n n 命题都成立 互动探究 4 求证 二项式x2n y2n n n 能被x y整除 证明 1 当n 1时 x2 y2 x y x y 能被x y整除 命题成立 2 假设当n k k 1 k n 时 x2k y2k能被x y整除 那么当n k 1时 x2k 2 y2k 2 x2 x2k y2 y2k x2x2k x2y2k x2y2k y2y2k x2 x2k y2k y2k x2 y2 显然x2k 2 y2k 2能被x y整除 即当n k 1时命题成立 由 1 2 知 对任意的正整数n命题均成立 难点突破 数学归纳法的应用 例题 2014年广东 设数列 an 的前n和为sn 满足sn 2nan 1 3n2 4n n n 且s3 15 1 求a1 a2 a3的值 2 求数列 an 的通项公式 则sk 3 5 7 2k 1 3 2k 1 2 k k k 2 解 s2 4a3 20 s3 s2 a3 5a3 20 又s3 15 a3 7 s2 4a3 20 8 又s2 s1 a2 2a2 7 a2 3a2 7 a2 5 a1 s1 2a2 7 3 综上所述 a1 3 a2 5 a3 7 2 由 1 猜想an 2n 1 当n 1时 结论显然成立 假设当n k k 1 时 ak 2k 1 又sk 2kak 1 3