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一道圆锥曲线的离心率范围的多解与变式题求解圆锥曲线离心率的取值范围,常涉及到列不等式、三角形中角度的变化, 圆锥曲线的定义、性质等知识点、综合性强,计算量大。有些学生做起来感到很吃力,甚至半途而废，但只要掌握其本质问题就变得容易了。下面我就2008年福建高考理科11题的求圆锥曲线离心率的取值范围给出几种常规解法, 希望读者们在阅读完这些题目后能有所收获！（08年福建高考理科11题）双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.C.(3,+)D.解法一：利用三角形正余弦定理如图，设，当在右顶点处时，选B解法二：利用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意可以取到等号成立,因为可以三点一线.设，则 又（当且仅当三点共线等号成立）,选B解法三：利用焦半径公式确定a与c的关系设点，则由焦半径公式可得，故又,选B解法四：利用数行结合,即在双曲线右支上恒存在点使得由上图可知，又,选B看完了这道高考题的解法后,我们再来看看一些09年高三教学中的一些同类变式题!同类变式1:已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为e，且，则e的最大值为（ ）A B C2 D1解析 可采用解法四：如图(1)所示，由解法四可知，两边同除以化简可得：选D同类变式2:如果椭圆上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD解析可采用解法二：如图(2)所示,设，由题意及椭圆第二定义可知由解法二可知（当且仅当三点共线等号成立），把代入化简可得又,选B同类变式3:已知、分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A（1，+） B C D解析 可采用解法三：如图(3)所示,设，则，当且仅当时，即时等号成立，即在双曲线右支上至少有一点，使得，设，则由焦半径公式可得又 ,选C同类变式4:已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率e的取值范围是 （ ）A（1，+）B（1，2）C（D（）解析 可采用解法一：如图(4)所示,设，由双曲线的对称性及通径可知,在直角三角形中,即，两边同除以化简可得又,选B同类变式5: （08年江西理7） 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ） A B C D解析 可采用解法四:如图（5）所示,画图可知点的轨迹是以为直径的圆，则它在椭圆内部,故,，选C图（1） 图（2）图（3）图（4） 图（5）以上几道同类变式题也可采用本文例题的其它解法, 这里仅供读者参考。求解圆锥曲线离心率的取值范围，是复习解析
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