8-1不等式性质-版块2.题库学生版.doc

好学者智，善思者康 400-810-2680板块二：均值不等式（一） 知识内容1均值定理：如果（表示正实数），那么，当且仅当时，有等号成立此结论又称均值不等式或基本不等式2对于任意两个实数，叫做的算术平均值，叫做的几何平均值均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值3两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值1在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦对于任意正实数，作线段，使；以为直径作半圆，并过点作于，且交半圆于点；连结，则，当时，在中，有当且仅当时，两点重合，有3已知：（其中表示正实数），有以下不等式：其中称为平方平均数，称为算术平均数，称为几何平均数，称为调和平均数证明：，当且仅当“”时等号成立，当且仅当“”时等号成立，当且仅当“”时等号成立，当且仅当“”时等号成立了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍（三）典例分析： 1.基础不等式【例1】 1“且”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2（2008浙江文5），且，则（ ）A B C D【变式】 （2006江苏）设是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）ABC D【例2】 （2007年上海）设、为非零实数，若，则下列各式成立的是（ ）ABCD【变式】 若，则下列不等式中，正确的不等式有（ ）A1个B2个C3个D4个【变式】 设、均为正实数，那么（ ）ABCD、间大小关系不确定，而与、的大小有关【变式】 （2008全国理10）（拓展题）若直线通过点，则（ ）ABCD【例3】 设实数、满足，且，则下列四数中最大的是（ ）ABCD【例4】 正实数、满足，则（ ）ABCD与大小不定【例5】 已知，则与的大小关系是_【例6】 已知实数、满足条件，设，则（ ）ABCD以上都可能【例7】 若，以下不等式恒成立的是( )ABCD2.不等式最值问题【例8】 若，则的最小值是_【例9】 设、，则，则的最小值是_【例10】 若、，且，则的最大值是_【例11】 (2006年高考陕西卷)已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为( )ABCD【例12】 当时，函数有最 值，其值是 【例13】 正数、满足，则的最小值是_【例14】 （2007上海）若、且，则的最大值是_【变式】 设，则的最大值为_【变式】 已知，则的最小值为 【例15】 （2006江苏初赛）设，那么的最小值为（ ）A2B3C4D5【变式】 设，则的最大值是 最小值是 .【变式】 (2004年重庆14)已知，则的最小值是 .【例16】 已知其中，且，求的最大值【变式】 求的最小值【例17】 （2008新课标江苏11）设，为正实数，满足，则的最小值是 【例18】 已知、，且，当=_，=_时，有最大值为_若、，且，则的最大值是_，此时3.均值与函数最值【例19】 求函数的最小值【例20】 求函数的最小值.【例21】 求函数的最小值【例22】 已知，求的最小值.【变式】 求函数的最小值【点评】 当、为常数，且为定值，时，不能直接求最小值，此时求最值的一般方法是通过函数的单调性求最值或者通过恒等变形，求出之差的最值，从而求得原函数的最值，如本题的法一和法二法三是判别式法，因为有范围，所以光用判别式判断方程有根并不能保证在所限制的范围内能取到对应的值，所以这里需要讨论，可以看出，这种讨论很繁琐晦涩，一般不用【变式】 （2005四川初赛）函数的最小值为（ ）A1B2CD【例23】 求函数的最小值，并求出取得最小值时的值求的最大值【变式】 求函数（且）的最小值求函数的取值范围【点评】 第题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷入困境：由得：，且要满足有大于的解，下面的讨论与求解过程十分复杂，故这里用判别式法不合适【例24】 求函数的最大值求的最小值求函数的最值【例25】 已知，求函数的最小值求函数的取值范围求函数的最大值【变式】 已知是正常数，求证：，指出等号成立的条件；利用的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值【变式】 分别求和的最小值【例26】 求函数的最小值解不等式：【例27】 函数的最大值为（ ）ABC D【例28】 设函数，则（ ）A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数【变式】 设，其中，满足，则的最小值为_【例29】 （2009天津卷理）设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）A B C D【例30】 （2008江西卷9）若，且，则下列代数式中值最大的是( )A B C D【点评】 排序不等式知识： 定义：设，为两组实数，为的任一排列，称为两个实数组的顺序积之和（简称顺序和），称为两个实数组的反序积之和（简称反序和）。称为这两个实数则的乱序积之和（简称乱序和）。定理：（排序原理，有称为排序不等式）设，为两组实数，为的任一排列，则有等号成立（反序和等于顺序和）或排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和 【变式】 （2007重庆理7）若是与的等比中项，则的最大值为( )A. B. C. D.【例31】 若，且，分别求和的最小值解不等式：【例32】 已知给定正数，和未知数，且，满足，的最小值为，求，的值解不等式：【变式】 设，求证：4.不等式证明问题【例33】 已知：，求证：【例34】 若，且，求证：【例35】 已知，求证：若，且，求证：已知：，求证：【例36】 已知是互不相等的正数，求证：【例37】 已知：（其中表示正实数），求证：【点评】 本题可以作为均值不等式的推广，熟记以上结论有利于快速处理某些不等式的证明与最值问题本题的证明过程说明，比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法此串不等式也可以用几何办法来加以说明：已知一个梯形的上底边为，下底边为，则这七个平均值与此梯形中平行于底面，且与两腰相交的线段有对应关系如右图：算术平均值为梯形的中位线；几何平均值将该梯形分成两个相似的梯形；调和平均值通过对角线的交点；希罗平均值在从算术平均到几何平均的距离的处；反调和平均值与调和平均值所构成的梯形的中位线为算术平均值；平方平均值二等分梯形的面积；形心平均值通过梯形面积的形心（几何形状的中心称为形心，在力学中使用较多，梯形的形心距上底面的距离为，其中为梯形的高，具体求法比较复杂）三项不等式【变式】 设，求证：，当且仅当时等号成立，进一步证明：，当且仅当时各等号成立【点评】 可介绍元平均数不等式：设，是个正实数，记，分别称，为这个正数的调和平均值，几何平均值，算术平均值和平方平均值对于以上四个平均值，有以下定理：定理：，等号成立当且仅当由于证明过程中涉及数学归纳法以及柯西不等式，而柯西不等式的证明会作为例题6，因此教师可根据学生知识掌握情况，选择讲解，简单证明如下：以下证：即（柯西不等式）当且仅当时，等号成立以下证：先证引理：若，则，当且仅当时“”成立证明：当时显然假设当时若时，都有，当且仅当时“”成立则当时，因于是在，不可能全大于1，也不可能全小于于是总有一个大于或等于，另一个小于或等于不妨设，因为由归纳法假设故当且仅当时“”成立，故引理成立再证定理设，则，由引理得，即故当且仅当时等号成立以下证：由，有即，综上有，当且仅当 时等号成立【例38】 设，求证：已知，求证：已知，且，求证：【点评】 本题例的证明用的是综合法，例的证明是分析法，可以结合这两道例题介绍这两种最基本的证明方法的基本程序综合法是从已知出发去推导结果，分析法是从结果出发，去分析命题成立的条件一般情况下两种方法都是可以通用的，对于比较复杂的问题，我们也可以把两种方法结合起来使用【变式】 若，且，求证：【例39】 （2005江苏模）已知，且求证：【变式】 （2006重庆初赛）证明下列不等式：若，（为正实数），则若，（为正实数），且，则【例40】 已知，求证：【点评】 法二是将分析法逆着写出的过程，分析法的证明过程本题不再重复【例41】 （41届IMO）设、是正实数，且满足，证明：5.几何不等式证明方法【例42】 设，均为正数，求证：.【例43】 已知，均为正数，求证：.【例44】 已知锐角的三边长分别为，且边上的高为，求证：【例45】 已知是一个三角形的三边之长，求证：【点评】 本题证明中的及中的方法一，其分析法的论证过程的每一步皆是前一步的充要条件，但分析法在理论上只要求提供前一步的充分条件即可.而的方法二中的就仅是前一步的充分而非必要条件.本题小题，若注意到三正数的关系：，则可采用三角代换来证，即令，从而有左边右边【变式】 若半径为的圆内接的面积是，三边长分别为，求证：；【变式】 ，是三角形的三边，.求证：； 已知，求证.【点评】 本题证明中的及中的方法一，其分析法的论证过程的每一步皆是前一步的充要条件，但分析法在理论上只要求提供前一步的充分条件即可.而的方法二中的就仅是前一步的充分而非必要条件.本题小题，若注意到三正数的关系：，则可采用三角代换来证，即令，从而有左边右边6.不等式拓展延伸【例46】 已知不等式对于一切大于的自然数都成立