车灯线光源的优化设计河海大学.doc

车灯线光源设计的数值逼近丁根宏 韩喜君河海大学理学院，南京 210098摘要 本文通过在抛物面内内接小平面镜的方法，来模拟抛物面反射光线的汇聚作用。统计能反射光线到指定点的小平面镜的个数，算出该点的光强。在满足指定的B、C两点光强大小的条件下，求出使线光源总功率最小的灯丝长度为3.832毫米。关键词 抛物面 光强 汇聚作用 数值逼近一、问题背景介绍安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范下确定线光源的长度。该设计规范简述如下：在焦点F正前方25米处的点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点作一条与地面相平行的直线，在该直线A点的一侧取B、C两点，使米。要求C点的光强度不小于某一额定值，B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。为了求解这一问题，首先建立坐标系，通常由解析方法分析得到线光源上发光点与反射面及测试屏之间的一系列反射方程。对于灯丝上的某一点S，直接求出抛物面上可将点S发出的光线反射到B点或C点的反射点，此处的反射点并非为抽象意义上的点，而为一微元D1。S点发出的光线经反射后，在测试屏上得一微元D2，D2、D1之间有一个面积比，即为雅可比行列式的绝对值，而D1处光强可求，所以D2处的光强可求，最后对灯丝积分，得B点（C点）处的光强。但是，用该解析方法解题有困难，对于抛物面上的某些点，其雅可比行列式的分母为0，无法实现数值积分。下面通过在抛物面内内接小平面的方法，来模拟抛物面反射光线的汇聚作用。二、内接小平面镜逼近1、建立坐标系如图建立坐标系，以车灯的底部为原点，以FA为z轴，与其垂直的过原点的水平线为y轴，根据右手法则可确定x轴，各轴均以毫米为单位。于是在该坐标系下，车灯的抛物面方程可表示为.AxyzBR(xr,yr,zr)M(xm,ym,zm) 0FCS(0,ys,15)图1 光线反射示意图图1中，S为线光源上某一点，R为在抛物面上的反射点，M为S关于R处切平面的镜像点。2、用内接小平面镜逼近抛物面将x轴按长度等分，将y轴按长度等分，这样就在xoy平面形成若干网格。每个网格是一个矩形，矩形网格中的上侧和右侧的边是实边，另外两条边是虚边，以保持矩形网格划分的完备性。设一矩形的四个顶点分别为P1、P2、P3、P4。这四个平面上的点沿z轴投影到抛物面上，得到四个抛物面上的点Q1，Q2，Q3，Q4。z1、z2、z3、z4均满足方程，容易证明Q1、Q2、Q3、Q4在同一平面上，于是Q1Q2Q3Q4构成一个四边形，记为，此即可看作是在抛物面内部内接的一个小平面镜。在灯丝上取定某一点S后，以点Q1、Q2、Q3、Q4为反射点，反射后在处的测试屏上得四个点T1、T2、T3、T4，这四个点也构成一个四边形T1T2T3T4，不妨设为。若四边形包含B点(点)，则在平面镜上存在唯一的一个反射点Q，把从点S发出的光线反射到B点(点)。固定灯丝上的S点，由于抛物面在xoy平面上的投影是一个有限区域，故可以用若干个矩形网格覆盖这一有限区域。再对矩形网格进行遍历，若反射光线经过B点(点)，则对反射该光线的平面镜计数一次，于是得到可将此S点发出的光线反射到B点(点) 的平面镜个数。现将灯丝等分成若干小段，对各小段做一次上面的遍历，就能得到从Si发出的光线反射到B点(点)的平面镜总数Ni，这里Si为长度微元，用计算机模拟计算时，Si代替灯丝上的一小段，但可以将小段长度尽可能取得很小以减小误差。因为旋转抛物面的大小相对于其到测试屏的距离很小，所以所有经抛物面反射到B点的光线的路长可近似取为，而反射到C点的光线的路长可近似取为.设灯丝上一点Si处的光强为I1，则经一块平面镜反射到测试屏上B点(点)处的光强为，这里L为光线经过的路长，即为灯丝上一点Si发出的光线经所有平面镜反射后在B点(点)处的光强。于是，照此方法，灯丝上各小段发出的光线经所有的平面镜反射后在B点（C点）所形成的光强可求。由物理学知，任一光源发出的光强与该光源所消耗的功率成正比，比例系数为常数k. 设灯丝单位长度(每一小段)的功率为w，灯丝长为m个小段，B、C两点的总光强分别为IB、IC，而C点的光强度不小于某一额定值I0. 则原问题可转化为下列数学模型。 （1）其中，这里NB、NC分别为将m个小段所发出的光线反射到B、C点的平面镜数。由于比例系数k为常数，额定值I0也为常数，不妨设常数k、I0均为1。因此，可把光强与功率等价，约束条件可简化为IC1、IB2。下面讨论求解NB、NC的具体方法。设线光源上的一点S的坐标为，内接平面镜Q1Q2Q3Q4四个顶点的坐标（按逆时针方向）为、，由平面矩形网格的划分方法知：， ，可相应地用, 来表示。设平面镜的法向量为=，上的反射点Q的坐标为，在空间中点关于平面镜的对称点M的坐标为， ，镜像点与原像点连线的中点一定在平面镜上，两个点的连线的方向向量与平面镜的法向量平行，由此我们可得如下方程组： -（8）由此，可以解得， ，如下：令 ，进一步简化可得： -（9）而平面镜的法向量可通过四边形的任两条相互邻接的边的叉积得到，例如把作为该平面镜的法向量。因为在平面上的划分为矩形网格，所以其中的任一矩形的四个顶点的坐标（按逆时针方向，其坐标分别为、）有如下关系：， 。这样，与其对应的小平面镜的四个顶点的坐标（按逆时针方向，为、）有下面的关系：，坐标关系与上相同，可相应地用，表示出来。向量的坐标为，向量的坐标为，于是由叉积公式及上述坐标间的关系得的坐标为，可化简为。于是，取定矩形网格中的一格（即一个矩形），得四个顶点，便知旋转抛物内接小平面镜的四个顶点的坐标，法向量就可以求得。若再选取好线光源上点的坐标中的，又选定平面镜上的反射点的坐标，则点关于平面镜的对称点的坐标可求。设为反射光线上任一点的坐标，由于、在同一条直线上，所以向量、平行，用具体符号可表示为：因此， -（10）在测试屏上均为25015，故若已知，则灯丝上任一点经任一平面镜上任一反射点反射到测试屏上的坐标均可求得，于是小平面镜在测试屏上的投影点的坐标可得出。接下来，可以按某种方法来判别投影在测试屏上的四边形是否包含B点或C点 。一般地，判别该四边形是否包含点。 设按（10）式求出的该四边形四个顶点坐标为、，当下列四个不等式成立时，可判定四边形包含点：3、运行结果 通过编制2个程序来计算平面镜的总数和总功率。程序1运行的结果是对于灯丝上的不同点（小段），能把其发出的光线反射到B点或C点的平面镜总数，然后程序2按以下思路来计算灯丝的最优长度：设灯丝小段长度取定，灯丝分成m小段（其中m为变量），在理论分析中线光源上点的取值范围已知，且小段长度取定，所以m的最大变化范围可定，可取比此值更大的值，设为。从焦点一直取到，由约束条件，求出每小段功率的最小取值，再乘以段数，得对应的总功率。然后将这些总功率和对应的段数写入文件，通过比较，找出最小总功率，于是找到了与此对应的段数，该段数乘以小段的长度得灯丝的最优长度。结果：运行程序1、2的结果是一半灯丝（从焦点开始位于负轴的半根）的长度为1.916mm，即灯丝的总长度为3.832mm。三、合理性分析已知抛物面方程为，取，则得（为一抛物线），焦距=15。在测试屏上选取不同的点，并选取相应平行光线为反射光线（为反射点），计算由焦点所发出光线在测试屏点上所形成光强的理论值与模拟值，进行比较，来分析以上所提方法与所编程序的合理性。测试屏上光强理论值的计算原理：在旋转抛物面焦点发出的光线未触及抛物面的时候，该点可看作点光源，因此在距离点的路程为的空间某点处光强为（注意，此时光线并未到达抛物面）。光线经抛物面反射后变成平行光线，于是此后这条反射光线上各点处的光强是一样的，而且抛物面上仅存在唯一的一点能把焦点发出的光线反射到测试屏的指定点，故在测试屏上的光强与该反射点处光强相同。设点到此反射点的距离为，因而由以上讨论可知，测试屏上的光强为。测试屏上光强模拟值的计算原理：设光线到达测试屏所经过的路程为，灯丝上焦点处的光强设为1，则在一块平面镜的反射下测试屏上与其对应的点处的光强为， 即为灯丝上点发出的光线经所有平面镜反射后在处的光强，这里由所编程序1求得。下面用表格形式给出比较结果：选例描述测试屏上光强理论值测试屏上光强模拟值检验用例1取平行光线与轴的距离为30mm（即），故取，由程序1计算可得，能把点发出的光线反射到点的平面镜总数=光线所经过路程故点光强模拟值检验用例2取平行光线与轴的距离为20mm取，由程序1计算可得得平面镜的总数光线所经过的路程故点光强的模拟值检验用例3取平行光线与轴重合，故取，由程序1计算可得光线所