2003年上海数学理科试卷解答.doc

2003年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）解答一. 填空题1.函数的最小正周期。2.若是方程的解，其中，则。3.在等差数列中，则。4.在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标是。5.在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的大小等于。（结果用反三角函数值表示）6.设集合，则集合。7.在中，则。（结果用反三角函数值表示）8.若首项为，公比为的等比数列的前项和总小于这个数列的各项和，则首项 ，公比为的一组取值可以是。9.某国际科研项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机选取两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为。（结果用分数表示）10.方程的根。（结果精确到）11.已知点，其中为正整数。设表示外接圆的面积，则。12.给出问题：是双曲线的焦点，点在双曲线上。若点到焦点的距离等于，求点到焦点的距离。某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得 或17。该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内；若不正确，将正确结果填在下面空格内。二. 选择题13.下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是 （ ）（）； （）； （）； （）。14.在下列条件中，可判断平面与平行的是 （ ）（）都垂直于平面；（）内存在不共线的三点到的距离相等；（）是内两条直线，且，；（）是两条异面直线，且，。15.设均为非零实数，不等式和的解集分别为集合和，那么“”是“” （ ）（）充分非必要条件； （）必要非充分条件；（）充要条件； （）既非充分又非必要条件。16.是定义在区间上奇函数，其图象如图所示。令，则 下列关于函数的叙述正确的是 （ ）（）若，则函数的图象关于原点对称；（）若，则方程有大于2的实根；（）若，则方程有两个实根；（）若，则方程有三个实根。三.解答题17.（12分）已知复数，求的最大值和最小值。解： ， 当时，；当时，。18.（12分）已知平行六面体中，平面， 若，直线与平面所成的角等于，求平行六面体的体积。解： ， 。 ， 。 直线与平面所成的角等于， 。 平行六面体的底面积是， 平行六面体的体积是。19.（14分）已知数列（为正整数）是首项为，公比为的等比数列。（1） 求和：；（2） 由（1）的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明。解：（1） ； 。 （2）当时，。证明：时，命题成立。 假设时，命题成立，即。 时， 时，命题成立。 由及，对任意自然数，有。 20.（14分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高 米，隧道全长千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。（1） 若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？（2） 若最大拱高不小于6米，则应该如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为。柱体体积为：底面积乘以高。本题结果均精确到米）解：（1）以图中车道的宽所在的直线为轴、车道的宽的中点为原点建立直角坐标系；当时，可以设椭圆方程为，由题意，椭圆经过点，代入即得(米)。 （2）当时，可以设椭圆方程为。以点代入得。 ， ，当且仅当时有最小值， 此时，(米), (米)。21.（16分）在以为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点。已知，且点的纵坐标大于零。（1） 求向量的坐标；（2） 求圆关于直线对称的圆的方程；（3） 是否存在实数，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求的取值范围。解：（1） ， 。 设。 ， 。 。 （2） ， 。 设圆心关于直线的对称点为。 ， ，解得。 所求的圆方程是。 （3）设是抛物线上关于直线对称的两个点，的中点为 。 将代入，得 。 ， 。 点在直线上， 。 ，解得。 的取值范围是。22.（18分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立。（1） 函数是否属于集合？说明理由；（2） 设函数的图象与的图象有公共点，证明： ； （3）若函数，求实数的取值范围。解：（1）对于函数和非零常数，令，得。 但在实数集并不恒成立，因此。 （2）设为非零常数，对于任意实数，。 函数的图象与的图象有公共点， 存在正数，使得。 ， 。 （3） 函数， 。 时，满足条件， 。 当时，若，则