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14.3 乘法公式（二）初二数学主讲教师：康学芬第二讲：两数和的平方1计算：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b22公式：两数和的平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍3计算： a+(-b)2 =a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2即(a-b)2=a2-2ab+b2两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们乘积的2倍。4这两个公式统称为完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b25举例例1计算(x+2y)2解：(x+2y)2=x2+2x2y+(2y)2 =x2+4xy+4y2例2计算(-x+2y)2解法一：(-x+2y)2=(-x)2+2(-x)2y+(2y)2=x2-4xy+4y2解法二：(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-22yx+x2=4y2-4xy+x2解法三：(-x+2y)2=-(x-2y)2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2例3计算（1）(3x+2y)2 （2）(-3x+2y)2 （3）(-3x-2y)2解：（1）(3x+2y)2=(3x)2+23x2y+(2y)2=9x2+12xy+4y2 （2）(-3x+2y)2=(2y-3x)2=4y2-12xy+9x2 （3）(-3x-2y)2=-(3x+2y)2=(3x+2y)2=9x2+12xy+4y2例4判断（1）(b-4c)2=b2-16c2 （ ）（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2 （ ）（3） （ ）（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2 （ ）（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2 （ ）解：只有（3）是正确的例5运用公式简便计算（1）1032 （2）1982解：（1）1032=(100+3)2 =1002+21003+32 =10000+600+9 =10609 （2）1982=(200-2)2 =2002-22002+22 =40000-800+4 =39204例6计算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c)（2）(3x+y-2)(3x-y+2)解：（1）原式=(a-3c)+4b(a-3c)-4b=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2 （2）原式=3x+(y-2)3x-(y-2)=9x2-( y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4例7运用完全平方公式计算（1）(x+y+z)2 （2）(a-b-c)2解：（1）原式=(x+y)+z2=(x+y)2+2(x+y)z+z2=x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2 （2）原式=(a-b)-c2=(a-b)2-2(a-b)c+c2=a2-2ab+b2-2ac+2bc+c2例8解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。（4）已知，求的值。分析：在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中，如果把a+b，a2+b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：（1）a2+b2=13，ab=6 (a+b)2=a2+b2+2ab=13+26=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-26=1 （2）(a+b)2=7，(a-b)2=4 a2+2ab+b2=7 a2-2ab+b2=4 +得 2(a2+b2)=11，即 -得 4ab=3，即 （3）由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2 （4）由，得 即 即 例9四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？分析：由于1234+1=25=52 2345+1=121=112 3456+1=361=192 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。解：设n，n+1，n+2，n+3是四个连续自然数则n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2n是整数， n2，3n都是整数 n2+3n+1一定是整数(n2+3n+1)是一个平方数四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。6两数和的平方的推广 (a+b+c)2 =(a+b)+c2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。例10计算（1）(x2-x+1)2 （2）(3m+n-p)2解：（1）(x2-x+1)2=(x2)2+(-x)2+12+2 x2(-x)+2x21+2(-x)