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第7章系统动力学 SystemDynamics 系统动力学原理建模基本步骤VensimPLE软件 参考文献 王其藩 系统动力学 北京 清华大学出版社 1984 1988 1994 都兴富 系统动力学原理及其应用 成都 西南财经大学出版社 1989 徐建华 现代地理学中的数学方法 北京 中国高等教育出版社 2002 CraigW Kirkwood SystemDynamicsMethods AQuickIntroduction Vensim Ventana SimulationEnvironment User sGuideVersion5 系统动力学模型 SystemDynamics 被誉为实际系统的实验室 是美国麻省理工学院 MIT 福瑞斯特Forrester JayW Forrester 教授于1956年首创的一种运用结构 功能 历史相结合的方法 借助于计算机仿真而定量地研究非线性 Non linearity 多重反馈 Informationfeedback 复杂时变 Dynamiccomplexity 系统的系统分析技术 可用于研究处理社会 经济 生态和生物等复杂系统问题 它可在宏观层次和微观层次上对复杂 多层次 多部门 非线性的大规模系统进行综合研究 WhatisSystemDynamics Systemdynamicsisamethodologyforstudyingandmanagingcomplexfeedbacksystems suchasonefindsinbusinessandothersocialsystems Infactithasbeenusedtoaddresspracticallyeverysortoffeedbacksystem Whilethewordsystemhasbeenappliedtoallsortsofsituations feedbackisthedifferentiatingdescriptor 描述符 here FeedbackreferstothesituationofXaffectingYandYinturnaffectingXperhapsthroughachainofcausesandeffects OnecannotstudythelinkbetweenXandYand independently thelinkbetweenYandXandpredicthowthesystemwillbehave Onlythestudyofthewholesystemasafeedbacksystemwillleadtocorrectresults http www systemdynamics org 反馈 feedback 是控制系统的一种方法 它是把系统输出去的一部分信息 给定信息 作用于被控对象后产生的结果 真实信息 再返回给输入 并对系统的再输出产生影响的过程 系统所具有的这种功能和过程称之为系统反馈 系统动力学认为几乎所有人工的系统都是反馈系统 动态 Dynamic 即系统动力学所包含的量是随时间变化的 能以时间为坐标的图形表示 譬如 人口的增长 就业人数的增减 城镇与农村的生活质量和物价的涨落等都是动态问题 学习定义动态问题的技巧是学习系统动力学的第一步 一 流体力学与系统动力学 古典流体力学是系统动力学的重要理论基础之一 流体力学是研究流体处于平衡和运动时的力学规律 以及这些规律在工程上的实际应用 系统动力学根据流体力学原理 把社会中流动的物质和信息比拟成流体力学中的流体 例如 水流 流体在自然界或者人造容器中流动 产生流 流速 积累 水平 压力 延迟等现象 同样 系统动力学中也用流 流速 积累 压力 延迟等概念来描绘社会经济系统中物质和信息的流动 这就形成系统流体动力学 1 系统的流 系统动力学主要利用四种流来构成模型物流订货流资金流信息流 2 水平 积累 状态 level 水平 积累 是系统的流的积累 例如 库存量 存款 人口 资源等都可作为水平变量 一个水平方程相当于 个容器 它积累变化的流速率 其流速有输入流速和输出流速 容器内的水平正是其输入流速与输出流速的差量的积累 怎样计算水平变量 用DT近似表示dt 上式写成 一阶差分方程 符号DT表示时间的差分 即两次计算之间时间间隔的长度 用K表示现在时刻 即现时的DT中正在计算的时点 J表示前一个DT中已计算过的时间点 L表示下一个DT中下次计算的时间点 JK表示从J到K的时间间隔 KL表示从K到L的时间间隔 DT DT J JK KL L K 于是继续写成 式中L为水平变量 L K为对现时刻K计算出的水平变量的新值 L J为前时刻J的水平变量的值 DT是在时刻J和时刻K之间求解时间间隔的长度 R1 JK在JK时间间隔 区间 中流入水平变量L的流速 R2 JK是在JK时间间隔 区间 中流出水平变量L的流速 式中 水平变量L的量纲是单位 L K L J的量纲是单位 DT的量纲是时间度量单位 R1 JK R2 JK的量纲是单位 时间度量单位 因此 一个水平变量的新值等于它前一时刻的值加上或者减去JK时间间隔所产生的变化值 这就是系统动力学的水平方程 Level方程 在一个水平方程中 可以有一个或者几个流入速率 也可以同时有一个或者几个流出速率 水平方程实际是积分运算 用微积分符号可将上式写成 3 速率 Rate 变量 速率 流速 Rate 仍是系统中的流的流动速度 即系统中水平变量变化的强度 水平变量是系统活动结果的状态变量 而速率则是对水平变量变化过程及其控制的描述 速率的基本形式有两种 流入速率和流出速率 从速率的控制作用上说 速率变量 又可叫 控制变量 决策函数 政策变量 从流体力学的角度看 它是控制水流的 阀门 Valve 因此 在流图上 速率 用阀门符号表示 速率是流入或者流出水平变量 容器 的流的瞬时速度 用微分形式可以表示为 速率方程的一般形式是 这个方程的右边表示与水平变量和常量有关的任何一种函数或者一种关系 它描述了控制速率变量的决策 政策 如何区别水平变量和速率变量 同一个变量在系统动力学模型中往往可设为水平变量 也可设为速率变量 区别它们的原则是什么 显然 它们的量纲不同 水平变量的量纲是某物流或信息流的某种度量 单位 速率的量纲是 水平变量的单位 时间单位 但是 这不是识别它们的原则 识别它们要靠它们的本质上的区别 速率是控制变量 当抑制作用不存在时 速率就不存在 为零 了 水平变量 积累变量 是流的积累 是过去速率控制作用结果的积累 是连续存在的 即使没有现时速率的控制作用 速率为零 也能观测到它们 例如 一个人虽然停止了生长 但他的高度 重量等水平变量并不会消失 个工厂的各项活动虽然停止了 但工厂里工人 设备 资金等水平变量仍然存在 仍可观测到 一个常用的速率方程是一阶指数延迟中的流出速率 它等于水平变量除以平均延迟 式中 OUT为流出速率 出流率 LEV为存贮于延迟中的水平 积累 DEL为延迟常数 它代表经过延迟所需要的平均时间 4 延迟 Delay 在复杂的社会经济系统中存在广泛的延迟 Delay 现象 即系统中的物流或信息流从它们的输入到它们的输出响应 总不可避免地有一段时间的延迟 这段时间就是延迟时间或延迟 例如 从订货到收货 固定资产的投资到发挥经济效益 从下种到庄稼收获 从投入教育经费到人才的产出 从污染物散入环境到危害人类健康 等等部存在看一段或长或短的延迟时间 这些是物流的延迟 同样信息流也存在延迟 如 商品供求关系的变化要经过一段时间才会引起商品价格的变动 产品质量影响工厂的声誉也需要一段时间 延迟实际上是将系统中流入速率变为流出速率的 种转换过程 一个动态的流体系统通常是同一瞬间流入速度不等于流出速率 这就是说从这一输入到输出的过程中会有一种延迟传送的流量 当流入速率大于流出速率时 延迟传送的流量就增多 当流出速率大于流入速率时 延迟传送的流量就减少 因此 延迟是一种特殊的水平变量 特殊的积累 延迟是一个 积累容器 但它又不同于一般的水平变量 因为延迟的流出速率只受延迟时间的影响 与外界因素无关 而一般水平变量的流出速率除受本身的特性决定以外 还受外界因素的影响 延迟可用水平方程和速率方程加以描述 利用流体力学原理对系统动力学常用的几种延迟加以研究 从延迟流的内容分 有物流延迟 信息流延迟 从延迟形态分 主要有途中延迟 一阶指数延迟 二阶指数延迟 三阶指数延迟 1 途中延迟输入流速经过某段时间之后以相等的大小输出 这种延迟就是图中延迟 途中延迟的水平变量 积累 平均延迟 输入流速 或 输入流速 2 一阶指数延迟 这里的 阶 是指流的通道中延迟水平 容器 的个数 一阶 就是一个延迟水平 指数延迟 是说这种延迟具有指数 exponential 性质 一阶指数延迟的流出速率等于水平变量除以平均延迟 式中 OUT为流出速率 出流率 LEV为存贮于延迟中的水平 积累 DEL为延迟常数 它代表经过延迟所需要的平均时间 存贮于延迟中的水平Lev是作为入流和出流之差而积累起来的 式中 lev为存贮于延迟中的水平 单位量 DT是方程逐次计算的求解区间 IN和OUT分别为入流率和出流率 一个简单的疾病蔓延模型 三个水平变量 未患病者 患病者 康复者 为分析需要 增加新的水平变量 INC处于潜伏期者 其输入速率为感染率INF 输出速率为疾病显现率SYMP DELAY1的结构 输入为INF感染率 输出为SYMP症候显现率 以DELAY1代替一组方程 使用方便 但缺点是隐含了一个水平变量INC 不能绘图和打印出来 3 DELAY3三阶延迟 假定潜伏期为三天 把处潜伏期的人口INC划分为三部分 INC1 INC2 INC3分别表示处于潜伏期第一天 2天和3天的人口 从INF到SYMP的延迟称为三阶指数物质延迟自动在INF和SYMP之间产生三个隐含的水平变量注意 一个DELAY3方程等效于3个水平变量方程 3个N方程和3个速率方程 在某些情况下 既要用DELAY3的功能又要把隐含的水平变量显示出来 这是就需要DELAYP函数式中 INC 处潜伏期人口 为三阶延迟函数中三个内部水平变量总和 DELAYP不仅能输出INC 还能通过它计算其他变量 一个DELAYP方程代表10个方程 3个水平变量 3个初始方程 3个速率方程 1个水平变量总和的辅助方程 辅助方程 Auxiliary 是帮助建立速率方程 二 控制论与系统动力学 控制论 尤其是信息控制理论是系统动力学又一重要的理论基础 福菜斯特成功地把控制论的反馈理论 伺服机构等理论运用到社会经济系统中去 提出了信息反馈回路 环 的概念 建立了系统动力学 1 信息反馈系统 控制论系统可以划分为开环系统和闭环系统 闭环系统又叫信息反馈系统 如果系统的输出量对系统的输入量没有影响 即对系统的控制作用没有影响 则叫做开环系统 例如 洗涤机就是这种系统 在洗涤机中依次进行着浸湿 洗涤和漂清的过程 在洗涤机中不需要对输出信号 即衣服的清洁度进行测量 开环系统 不需对输出量进行测量 也不需将输出量反馈到统输入端与输入量进行比较 这种系统不是反馈控制系统 当出现扰动时 开环控制系统就不能完成既定任务 闭环系统是指系统的输出对系统的输入有影响的系统 也就是系统输出信息对控制作用有直接影响的系统 因此 闭环系统又叫信息反馈系统 输入信号和反馈信号之差 叫误差信号 误差信号送到控制器上 以减少系统的误差 使系统的输出量趋于所希望的目标值 社会经济系统基本上是信息反馈系统 例如 商业中 订货库存系统就是反馈系统 订货与库存水平产生生产决策 生产决策又引起供货 调整库存 最后再引起生产决策 具有市场信息反馈的生产系统是一个反馈系统 该系统根据市场信息控制产品生产 信息反馈系统又可以划分为两种系统 正反馈系统Positive Reinforcing FeedbackLoop 负反馈系统Negative Balancing FeedbackLoop 正反馈系统是指系统运行发生一个持续增长过程 因为在该系统中控制作用引起的结果会导致发生更强的控制作用 负反馈系统 是系统运行时寻求目标 若没有达到目标就会不断产生反应的系统 划分一个特定反馈系统是正反馈系统还是负反馈系统或者开环系统 也是相对的 这取决于观测者确定系统目标时的特殊着眼点 观点 2 因果关系 系统由相互依存 相关作用的要素组成 如果要素A的量的变化会引起要素B的量的变化 则称A与B之间存在着因果关系 反映系统各要素之间因果关系的图就称为因果关系图 系统动力学用矢线表示系统中两个要素 变量 之间的联系 称为因果链或因果环 CausalLink 如果有两个因素 变量 A和B 它们之间存在因果联系 如果A变化 A 则引起B变化 B或 B 这时 可把A看作B变化的原因 B是A的结果 正因果关系 设有两个因素 变量 A和B 如果A变化 A 则使B变化 B A和B变化是同号 也就是说 如果A增加引起B增加 或者A减少引起B减少 即A对B的关系是正因果关系 记作A B 如人口总数和出生率的关系是正因果关系 产品价格对生产量的关系也是正因果关系 负因果关系 设有两个因素 变量 A和B 如果A变化 A 则使B变化 B A和B变化是异号 也就是说 如果A增加引起B减少 或者A减少引起B增加 即A对B的关系是负因果关系 记作A B 如死亡率和人口总数的关系就是负因果关系 A对B的因果关系无论是正因果关系还是负因果关系 反过来并不一定成立 例如 死亡率对人口总数是负因果关系 但人口总数对死亡率却是正因果关系 3 反馈回路 系统中有两个或者两个以上的变量 水平变量 关于水平变量的信息变量 按照它们的因果反馈关系 组成一个闭合的因果反馈回路 又称因果反馈环 例如有三个变量ABC 且它们之间有下列因果关系 这三个变量就构成一个反馈回路 正反馈回路 self reinforcement自我增强 一个反馈回路 假设其中某一变量有一个变化 增加 依次通过回路中其他变量的因果关系之后 结果是加强原来变量的变化 增加 或者 这个变量有一个变化 减少 经过一系列因果关系后 结果是减弱这个变量的变化 减少 那么 这个回路叫正反馈回路 记作 负反馈回路 goal seeking向目标追寻 一个反馈回路 假设其中某一变量有一个变化 增加 依次通过回路中其他变量的因果关系之后 结果减弱了原来变量的变化 减少 或者 这个变量有一个变化 减少 经过一系列因果关系后 结果是增强这个变量的变化 增加 那么 这个回路叫负反馈回路 记作 判断一个反馈回路是正还是负有一条简明的规则 把反馈回路中所有的负号 负因果链 的个数都加起来 如果负号锋的个数之和为零或偶数时则为正反馈回路 如果是奇数 则为负反馈回路 4 因果反馈回路图 一个复杂的系统由几个或多个子系统组成 系统动力学用数学模型来模拟系统并利用信息把系统定量化 一个系统就是一个模型 一个复杂模型可以分解为若干个子模型 模块 一个子模型中又有若干个反馈回路 包括正 负相结合的反馈回路 把这些反馈回路按其内在因果关系联结起来 就构成整个模型的因果反馈图 一阶正反馈回路 一阶是指一个水平变量举例 已知人口的年增加值和总人口构成一阶正反馈回路 现假设人口的年增长率为2 期初人口为100万 试构造因果反馈结构并进行计算机仿真模拟 手工仿真计算的前几步 1 birth birthrate populationUnits Year 2 birthrate 0 02Units undefined 3 FINALTIME 100Units YearThefinaltimeforthesimulation 4 INITIALTIME 0Units YearTheinitialtimeforthesimulation 5 population INTEG birth 100 Units undefined 6 SAVEPER TIMESTEPUnits Year 0 Thefrequencywithwhichoutputisstored 7 TIMESTEP 1Units Year 0 Thetimestepforthesimulation 注释 INTEGRAL 积分即population是birth的积分 初始值为100 SAVERPER thefrequencywithwhichvaluesaresavedforlatterdisplayTMESTEP theintegrationsolutioninterval Time Year population Runs 010011022104 043106 1214108 2435110 4086112 6167114 8698117 1669119 50910121 89911124 33712126 82413129 36114131 94815134 58716137 27917140 02418142 82519145 681 一阶负反馈回路 举例 一个基本的库存控制系统 现假设初始库存量为1000吨 期望库存量为6000吨 由当前库存量调整到期望库存量所需要的时间AT为5周 试构造因果反馈结构并进行计算机仿真模拟 手工仿真计算的前几步 水平变量是库存量 记为I 订货速率为OR OR可以为正 也可为负 正的表示订货增加库存量 负的表示将现有的库存量退回供应部门以减少库存量 系统的目标是要求的库存量 记为DI 由当前库存量调整到期望库存量所需时间 记为AT 一阶负反馈回路 库存量模拟结果 Current表示调整时间为2天run2表示调整时间为1天 总结 两种反馈回路 一阶正反馈回路具有自我加强的作用 对系统起强化作用 经过若干年后总人口数会越来越多 每年增加的人口数也相应地越来越多 一阶负反馈回路具有自我平衡的作用 经过若干时间 周 天 后 库存量会越来越接近于期望库存量 定货速率也相应地越来越小 库存差额相应地减小 画出系统的因果反馈图是建立系统动力学的数学模型的基础 在因果反馈图中采用名词或者名次的短语 不用动词 变量之间的影响和作用用以带箭头的因果链表示 明确变量增减的涵义 尽可能确定变量的量纲 这有助于突出因果反馈图中文字叙述的涵义 反馈结构一定形成闭合回路 画好各子模型中的反馈回路 区别正反馈还是负反馈 不能产生差错 三 系统动力学仿真的基本步骤 一般而言 在系统动力学研究中 对模型的真实性和有效性检验主要包括如下四个方面 1 模型结构适合性检验 1 量纲检验 2 方程式极端条件的检验 3 模型边界检验 注 系统的界限是一个想象的轮廓 把建模目的所考虑的内容圈入而与其它部分隔开 在边界内部凡涉及与所研究的动态问题有重要关系的概念和变量均应考虑进模型 按照系统动力学的观点 划定系统边界的一条基本准则是 应将系统中的反馈回路考虑成闭合的回路 应该力图把那些与建模目的关系密切 变量值较为重要的都划入系统内部 2 模型行为适合性检验 1 结构灵敏度检验 2 参数灵敏度检验 3 模型结构与真实系统一致性检验4 模型行为与真实系统一致性检验系统动力学方法研究问题的过程是一个分解综合 循环反复 逐步实现研究目的的过程 这一过程的繁简及长短与研究对象的复杂程度有关 也与研究目的有关 但是 无论进行何种研究 建模不可能一次成功 即便是一次成功 也需要反复地修改 调试和改进 直至达到满足研究目的要求的模型 Vensim软件介绍 界面及工具建立因果反馈图 causalloopdiagrams 和流图 StockandFlowDiagrams 模拟过程函数 LOOKUP TIME STEP WhatisVensim Vensimisavisualmodelingtoolthatallowsyoutoconceptualize document simulate analyze andoptimizemodelsofdynamicsystems Vensimprovidesasimpleandflexiblewayofbuildingsimulationmodelsfromcausallooporstockandflowdiagrams Byconnectingwordswitharrows relationshipsamongsystemvariablesareenteredandrecordedascausalconnections ThisinformationisusedbytheEquationEditortohelpyouformacompletesimulationmodel Youcananalyzeyourmodelthroughoutthebuildingprocess lookingatthecausesandusesofavariable andalsoattheloopsinvolvingthevariable Whenyouhavebuiltamodelthatcanbesimulated Vensimletsyouthoroughlyexplorethebehaviorofthemodel VensimUser sGuideVersion5 界面及工具 标题TitleBar 菜单Menu Toolbar 绘图工具SketchTools 状态条StatusBar StructuralAnalysisToolsCausesTree createsatree typegraphicalrepresentationshowingthecausesoftheWorkbenchVariable 因果树图UsesTree createatree typegraphicalrepresentationshowingtheusesoftheWorkbenchVariable 使用树图Loops displaysalistofallfeedbackloopspassingthroughtheWorkbenchVariable 反馈图Document reviewsequations definitions unitsofmeasure andselectedvaluesfortheWorkbenchVariable DatasetAnalysisToolsCausesStripGraph displayssimplegraphsinastrip allowingyoutotracecausalitybyshowingthedirectcauses asshown oftheWorkbenchVariable 显示与所选择变量有直接关系的变量的模拟结果Graph displaysbehaviorinalargergraphthantheStripGraph andcontainsdifferentoptionsforoutputthantheStripGraph Table generatesatableofvaluesfortheWorkbenchVariable RunsCompare comparesallLookupsandConstantsinthefirstloadeddatasettothoseinthesecondloadeddataset 分析工具 AnalysisToolOutput 控制板TheControlPanelTheControlPanelallowsyoutochangeinternalsettingsthatgoverntheoperationofVensim suchaswhichWorkbenchVariableisselectedorwhatDatasetsareloaded 2 建立因果反馈图 Causalloopdiagram 和建立流图 Stockandflowdiagram 1 建立因果反馈图 causalloopdiagrams 以Savings Interest为例 演示 3种分析工具 CauseTree UsesTree Loops 分析因果反馈图的逻辑结构 两个图经由变量savings的因果关系而连接 刚好分别前后对调 当反馈环向后回到该变量 则用括号括起来 确定savings为变量后 点击Loops 列举全部有关该变量的因果反馈图 LoopNumber1oflength1savinginterestLoopNumber2oflength2savingworkeffortincome 因果反馈图只能描述反馈结构的基本方面 不能表示不同性质的变量的区别 这是其根本弱点 如状态变量的积累概念 是系统动力学中最重要的量 然而因果反馈图全然忽视了这一点 因此 需要建立流图 2 建立流图 StockandFlowDiagrams 以workforce inventory为例 constructInventoryasaLevel thenaddarateflowinginandarateflowingout Nowweneedtofigureouthowproductiongetsdetermined addthelevelWhireratecaneitherincreaseordecreasetheworkforce addtheproportionalityconstantproductivity Also nethirerateisdependentonthevalueofWorkforce addinthevariablestargetworkforceandtimetoadjustworkforceandconnectthem Addtheconceptoftargetproduction andconnectittotargetworkforce Wewillsettargetproductiononthebasisofsales introducetargetinventory inventorycorrectionandtwoadditionalConstants Theideaissimple targetinventoryistheamountofstockthatshouldbeheldbasedonexpectationsaboutsales TheinventorycorrectionisthecorrectionforadeviationofInventoryfromitstarget 3 模拟 以workforce inventory为例 ThefollowingstepsaretypicalforbuildingandusingVensimmodels Constructamodeloropenanexistingmodel ExaminethestructureusingthestructuralAnalysistools TreeDiagrams Simulatethemodelmovingaroundmodelparameterstoseehowitresponds ExamineinterestingbehaviorinmoredetailusingthedatasetAnalysistools GraphsandTables Performcontrolledsimulationexperimentsandrefinethemodel PresentthemodelanditsbehaviortoyouraudienceusingSyntheSimresults AnalysistooloutputcustomerGraphsandTables 1 openanexistingmodel c ProgramFiles Vensim models guide chap03 WFINV MDL 2 ExaminethestructureusingthestructuralAnalysistools TreeDiagrams CausesTreeDiagram WorkbenchVariable Inventory isontherightandeverythingthatcausesittochange upto2connectionsdistant isontheleft theWorkbenchVariableontheleftandwhereitisusedinthemodel whatitcauseschange upto2connectionsdistant ontheright UsesTreeDiagram theLoopsAnalysistool variablenethirerate LoopNumber1oflength1nethirerateWorkforceLoopNumber2oflength6nethirerateWorkforceproductionInventoryinventorycorrectiontargetproductiontargetworkforce displaysallvariablesinallfeedbackloops two thatpassthroughtheWorkbenchVariable nethirerate 3 SimulatingtheModel amountofInventoryovertime DoubleclickonthesimulationRunnameeditingboxontheToolbartohighlightthedefaultnameCurrent orclickonceanddragoverthenameCurrent thentypeinthenamebaserun ClickontheSyntheSimbutton DoubleclickonthesimulationRunnameeditingboxontheToolbaragainandreplacethenamebaserunwithexperiment Usingthemousedragthesliderbelowproductivitybackandforth Asyoumovethesliderthemodelwillsimulateandtheresultswilldisplayinblue withtheresultsfrombaserunbeingshowninred 4 ExaminingBehavior PositionthemouseoverWorkforceandleaveitthere Agraphshouldpopupjustbelowworkforce ClickonWorkforcetoselectitintotheWorkbench ClickontheGraphAnalysistoolTwothingsareworthnotingabouttheabovegraph Firstbothrunsshowapatternofbehaviorknownasdampedoscillation Second thetworunsareidenticalexceptforscaling ClickonthevariableInventoryappearinginthesketchandthenclickontheGraphtool WeseeagraphofInventorywithoscillatingbehaviorsimilartoworkforce althoughInventorystartsoutbydecliningbeforeincreasinginvalue Moreimportantly thereisonlyonegraphvisible ClickontheTabletool OnlyonegraphlineisvisibleforInventorybecausethevaluesareidenticalforbothruns ChangingproductivityimpactsonlyWorkforce targetworkforceandnethirerate Thisisquiteclearjustbylookingatthemodeldiagramasyoudragthesliderandoccursbecauseproductivityreallyjustscalesthenumberofpeoplerequiredtoproduceoneitem ClickontheResetSliderbuttonorpresstheHomekeytoreturnthevalueofproductivitytoitsoriginalsetting Repeattheaboveexperimentationprocesswitheachofthethreeremainingconstants Dragtheslidersobservingbehaviorandthenbringupmoredetailedgraphswhenyouseesomethinginteresting Thethingstobelookingforwhenyouareevaluatingbehavioraretheperiodofoscillation 振动 theextentbywhichvariableschangeandthedegreeofdamping 衰减 Theperiodofoscillationisthetimefromonepeaktothenextonthetimegraphs Dampingisthedecreaseinamplitudethatoccursfrompeaktopeak whereamplitudeisthedistancealongtheyaxisfromtheeventualvaluethevariablesettlesto Itshouldbeeasytoseethatproductivityandinventorycoveragedonotsignificantlychangethesewhiletimetoadjustworkforceandtimetoc