求二面角的几何法.doc

3种求二面角的几何法 二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题，课本上是通过它的平面角来进行度量的，关键在于充分利用平面角的定义。下面来介绍求二面角的大小的几种方法： 直二面角情况：一般是通过几何求证的方法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。 例1. 如图 ABCD是矩形，AB =a，BC =b (a b)，沿对角线AC把 ADC 折起，使 AD BC，证明：平面 ABD 平面BCD。BADC证明：由题意可知：AD BC，ADDC AD面BCD 又 AD 面ABD 平面ABD平面BCD 例2. 在四棱锥 A-BCDE中，底面是直角梯形，其中 BCDE，BCD =90，且 DE =CD =BC，又AB =AE =BC，AC =AD，MNEDABC求证：面ABE面BCD。 证明：取BE的中点M，CD的中点N， 连结 AM，AN，MN， AB =AC (已知) AMBE 同理 AC =AD 有ANCD 在直角梯形BCDE中， M、N分别是BE、CD的中点 MN BC 又 BCD =90 MNCD CD面AMN CDAM 又 AMBE，CD、BE 是梯形的两个腰，即它们一定相交， AM 面BCD， 又AM面ABE 面ABE面BCD。当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。 1.充分利用二面角的定义，证明某角即为二面角的平面角，如找不到现成的，则可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。例3.如图三棱锥 P-ABC中，PC平面ABC，PC = ，D是 BC的中点，且ADC是边长为 2的正三角形，求二面角 P-ABC的大小。DPCAB解：由已知条件，D是BC的中点 CD =BD =2 又ADC是正三角形 AD =CD =BD =2 D是ABC之外心又在BC上 ABC是以BAC为直角的三角形， ABAC， 又 PC面ABC PAAB (三垂线定理) PAC即为二面角 P-AB-C之平面角， 易求 PAC =30 例4.如图在三棱锥 S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE 垂直平分SC，且分别交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。EDBASC解： BS =BC，又DE垂直平分SC BESC，SC面BDE BDSC，又SA面ABC SABD，BD面SAC BDDE，且BDDC 则 EDC就是所要求的平面角 设 SA =AB =a， 则 BC =SB =a 且 AC = 易证 SACDEC CDE =SAC =60 例5. 如图：ABCD是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O点，P是平面 ABCD外一点，PO面ABCD，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。SRNMOBDPAC解：取OC之中点N，则 MNPO PO面ABCD MN面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NRBD 于 R，连MR， 则 MRN即为二面角 M-BD-C的平面角 过 C 作 CEBD于S 则 RN =CE 在 RtBCD中，CDBC =BDCE 2.利用 此方法的优点只要找出射影图形及两个面积，不需要找出两面角的平面角，缺点是计算相对烦一些。DBAEC 例6.如图ABC与BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，ABC =DBC =，求二面角 A-BD-C的余弦值。解：过 A作 AECB的延长线于E， 连结 DE， 面ABC面BCD AE面BCD E点即为点A在面BCD内的射影 EBD为ABD在面BCD内的射影 设 AB =a 则AE =DE =ABsin60= AD = ， sinABD = 又 考虑到我们求的是二面角 A-BD-E，而二面角 A-BD-C与A-BD-C互补 二面角 A-BD-C的余弦值为。 例7.已知正方体 AC，M、N分别是BB，DD的中点，求截面 AMCN与面ABCD，CCDD所成的角。DBDACBACMN解：设边长为a，易证 ANCN是菱形 且MN =，AC = AMCN = 由于AMCN在面ABCD上的射影即为正方形ABCD ABCD = 取CC的中点M，连结DM 则平行四边形DMCN是四边形AMCN在CCDD上的射影， DMCM = 3.利用公式 这个公式是异面直线上二点的距离公式，我们稍作改造便可以用于求二面角的大小。 事实上，以公垂线AA与 a构成平面，AA与b 构成平面，则是两异面直线所成的角变成了二面角-AA-的平面角或它的补角（要注意它们的范围可能发生了变化）。 例8.如图 AC面BCD，BD面ACD，若AC =CD =1，ABC =30，求二面角的大小。BFEACD解：作DFAB于F，CEAB于E， AC =CD =1 ABC =30 AD =，BC = ， AB =2， BD = 在RtABC中， ， 同理 即所求角的大小为。 例9. 三棱锥 A-BCD中，BAC =BCD =90，DBC =30，AB =AC =，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。DOABC解：由已知条件BAC =90，AB =AC， 设BC的中点设为O，则OA =OC =BC = 解之得： 从一道高考题谈二面角大小的种种求法546700 蒙山县第一中学 黄天华在历年高考中，立体几何这一道题，就其解法而言，有传统的几何法 和向量法两种（几何法重逻辑推理向量法重计算），更有其它的一些特殊解法，本文拟2008年江西卷（理科）第20题为例，谈二面角大小的种种求法。题目：如图，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为2，分别是的中点，是的中点，过的一个平面与侧棱或其延长线分别交于，已知.(1)求证:平面；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离。1 几何法1.1定义法根椐二面角的定义及度量知二面角的大小等于其平面角的大小，所以 求二面角的大小一般遵循如下三个步：一作二证三计算。解法1：（1）（3）略（以下各解法均略）。（2）如图，过作于，连结，因为平面，根椐三垂线定理知：，则是二面角的平面角。作，则，且为的中点，由有：，即，解得；在中，所以，故所求二面角的大小为。1.2 面积射影法设法作出二面角中的一个面在另一个面内的射影面，然后分别求出这 个面和射影面的面积，利用求出二面角的大小。解法2：依题意知：平面，所以平面在平面上的射影是.由解法1知：，所以，而，设二面角的大小为，则，故所求二面角的大小为。1.3 双高比值法设法分别求出点到平面和到棱的距离和，并设二面角的大小为，则由可求二面角的大小，这种方法我们称之为“双高比 值法”。解法3：由解法1知：；又由解法2知：，设点到平面的距离为，则由得：，设二面角的大小为，则，故所求二面角的大小为。1.4 公式法利用下（）教材例2的结论：可以求二面角的大小。解法4：如图，过作于，则由解法1知：，由得：；过作于，在中，由解法2知：，则，所以,故将,代入得:，解得，故所求二面角的大小为。1.5 三面角余弦定理法如图，在三面角中，有如下定理：若，二面角的平面角大小为，则（证明略）。利用该公式可求二面角的大小。 解法5：如图，由解法1知：，则=，在中，由余弦定理得：，将之值代入得：，故所求二面角的大小为。2 向量法2.1面法法分别求出构成二面角的两个面的法向量，然后利用求出二面角的大小，这种方法我们称之为“面法法”。解法6：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，设，由与共线的充要条件知：存在，使得：=，即，有此得：3，同理，则，设是平面的一个法向量，则由得，令，则有，又是平面的一个法向量，所以=，故所求二面角的大小为。2.2 棱法法我们把通过二面角棱上任意两点（可重合）在二面角的棱上且垂直于棱的两个向量，叫做二面角棱的法向量，利用可求出二面角的大小，这种方法我们称之为“棱法法”。解法7：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，由解法6知：，设点