高西全_丁玉美_数字信号处理课件(第三版).ppt

绪论 数字信号处理的对象是数字信号 数字信号处理是采用数值计算的方法完成对信号的处理 数字信号处理的特点 灵活性 高精度和高稳定性便于大规模集成可以实现模拟系统无法实现的诸多功能 第1章时域离散信号和时域离散系统 掌握常见时域离散信号的表示及运算 掌握时域离散系统的线性 时不变性 因果性及稳定性的含义及判别方法 掌握采样定理 1 1引言 信号的定义 载有信息的 随时间变化的物理量或物理现象 信号的分类 时域连续信号模拟信号时域离散信号数字信号 系统定义 系统分类 时域连续系统模拟系统时域离散系统数字系统 一 单位阶跃信号 单位阶跃信号的定义为 延时的单位阶跃信号 二 单位冲激信号 单位冲激信号的狄拉克 Dirac 定义 从下面三点来理解冲激信号 1 除了之外取值处处为零 2 在处为无穷大 3 在包含出现的位置的任意区间范围内面积为1 二 单位冲激信号 延时的单位冲激信号 冲激信号可以由满足下面条件的一些脉冲信号极限得到 脉冲信号是偶函数 脉冲宽度逐渐变小 直至无穷小 脉冲高度逐渐变大 直至无穷大 脉冲面积一直保持为1 二 冲激函数的性质 1 抽样性 2 奇偶性 3 比例性 4 卷积性质 三 抽样信号 SamplingSignal 性质 偶函数 四 冲激响应 1 定义 系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应 称为单位冲激响应 简称冲激响应 一般用h t 表示 说明 在时域 对于不同系统 零状态情况下加同样的激励看响应 不同 说明其系统特性不同 冲激响应可以衡量系统的特性 称为的卷积积分 简称卷积 记为 设有两个函数 积分 五 卷积 Convolution 主要利用卷积来求解系统的零状态响应 1 2时域离散信号 离散时间信号 序列 只在离散时刻给出函数值 是时间上不连续的序列 实际中遇到的信号一般是模拟信号 对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号 假设模拟信号为xa t 以采样间隔T对它进行等间隔采样 得到 注意 n为整数 思考 序列的表示方法有哪些 一 典型序列 1 单位采样序列 n 单位采样序列的作用 表示任意序列 例1 写出图示序列的表达式 2 单位阶跃序列u n 3 矩形序列RN n 4 实指数序列 5 正弦序列6 复指数序列 7 周期序列定义 如果对所有n存在一个最小的正整数N 使下面等式成立 则称序列x n 为周期性序列 周期为N 例2 求下列周期 二 序列的运算 1 加法和乘法 序列之间的加法和乘法 是指同一时刻的序列值逐项对应相加和相乘 2 移位移位序列x n n0 当n0 0时 称为x n 的延时序列 当n0 0时 称为x n 的超前序列 例3已知x n 波形 画出x n 2 及x n 2 波形图 3 翻转以纵轴为对称翻转 例4 已知x n 波形 画出x n 的波形图 4 尺度变换 抽取和零值插入 抽取 x Dn 是x n 序列每连续D点取一点形成的序列 D为正整数 零值插入 x 1 C n 表示把序列的两个相邻抽样值之间插入C 1个零值 C为正整数 例5 已知x n 波形 画出x 2n 及x n 2 波形图 思考 x 3n 及x n 3 呢 5 卷积和定义 计算方法 1 图示法 图解法 换元 反转 平移 相乘 求和 2 列表法 3 解析法 卷积和性质 代数运算性质 交换律 结合律 分配律 延迟性质典型信号的卷积 1 3时域离散系统 一 线性系统 系统的输入 输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统 设x1 n 和x2 n 分别作为系统的输入序列 其输出分别用y1 n 和y2 n 表示 即 例7 判断y n ax n b a和b是常数 所代表系统的线性性质 二 时不变系统 如果系统对输入信号的运算关系T 在整个运算过程中不随时间变化 或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关 则这种系统称为时不变系统 用公式表示如下 例8 判断y n nx n 代表的系统是否是时不变系统 三 LTI系统输入与输出之间的关系 单位脉冲响应LTI系统的输出 解释 LTI系统 系统的级联 系统的并联 四 系统的因果性和稳定性 因果性 当且仅当信号激励系统时 才产生响应的系统 也称为不超前响应系统 LTI系统具有因果性的充要条件 判断一个系统是否为因果 有两种方法 定义法和充要条件 后者只对LTI系统有效 稳定性 有界输入 指幅度有界 有界输出LTI系统稳定的充分必要条件 系统的单位脉冲响应绝对可和 即 例9 设LTI系统的单位系统脉冲响应h n anu n 式中a是实常数 试分析该系统的因果稳定性 1 4时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程 N阶线性常系数差分方程表示 式中 x n 和y n 分别是系统的输入序列和输出序列 ai和bj均为常数 线性常系数差分方程的求解 经典解法 实际中很少采用 递推解法 方法简单 但只能得到数值解 不易直接得到公式解 变换域法 Z域求解 方法简便有效 递推解法 例10 设因果系统用差分方程y n ay n 1 x n 描述 输入x n n 若初始条件y 1 0 求输出序列y n 若初始条件改为y 1 1 求y n 例11 设差分方程如下 求输出序列y n 非因果系统 结论 差分方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统 还需要用初始条件进行限制 一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性时不变系统 这和系统的初始状态有关 课堂练习 1 以下序列是LTI系统的单位序列响应h n 判断系统的因果性和稳定性 答案 1 非因果 稳定 2 非因果 不稳定 课堂练习 课堂练习 3 判断题 一个系统是因果系统的充要条件是 单位序列响应h n 是因果序列 答案 错 课堂练习 4 将序列x n 用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示 5 判断下面的序列是否是周期的 若是周期的 确定其周期 解 1 因为 所以 这是有理数 因此是周期序列 周期T 14 2 因为 所以 16 这是无理数 因此是非周期序列 课堂练习 6 设线性时不变系统的单位脉冲响应h n 和输入x n 分别有以下几种情况 分别求输出y n 1 h n R4 n x n R5 n 2 h n 2R4 n x n n n 2 解 1 1 2 3 4 4 3 2 1 2 2 2 0 0 2 2 课堂练习 频谱分析 把信号表示为不同频率正弦分量或复指数分量的加权和 简称信号的谱分析 傅立叶分析 用频谱分析的观点来分析系统 或称为系统的频域分析 频域分析法在系统分析中极其重要 主要是因为 1 频域分析法易推广到复频域分析法 同时可以将两者统一起来 2 利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真 滤波 调制等许多实际问题 并可获得清晰的物理概念 3 连续时间系统的频域分析为离散时间系统的频域分析奠定坚实基础 4 简化了求解微分方程的过程 傅立叶分析 周期信号 周期为 角频率 该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数 复指数形式的傅立叶级数 其中 一 周期信号的傅立叶级数 式中称为傅立叶系数 是复数 例 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数 解 直接代入公式有 所以 一 周期信号的傅立叶级数 1 周期信号的频谱为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量 各分量所占的比重怎样 就采用了称为频谱图的表示方法 二 周期信号的频谱 在傅立叶分析中 把各个分量的幅度随频率或角频率的变化称为信号的幅度谱 而把各个分量的相位随频率或角频率的变化称为信号的相位谱 幅度谱和相位谱通称为信号的频谱 三角形式的傅立叶级数频率为非负的 对应的频谱一般称为单边谱 指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴 所以称为双边谱 频谱图 若把相位为零的分量的幅度看作正值 把相位为 的分量的幅度看作负值 那么幅度谱和相位谱可合二为一 幅度谱 相位谱 二 周期信号的频谱 周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为 对周期信号 如果令T趋于无穷大 则周期信号将经过无穷大的间隔才重复出现 周期信号因此变为非周期信号 从傅立叶级数到傅立叶变换 当T增加时 基波频率变小 离散谱线变密 频谱幅度变小 但频谱的形状保持不变 在极限情况下 周期T为无穷大 其谱线间隔与幅度将会趋于无穷小 这样 原来由许多谱线组成的周期信号的离散频谱就会联成一片 形成非周期信号的连续频谱 上两式称为傅立叶变换对 采用下列记号 傅立叶正变换 傅立叶反变换 三 傅立叶变换 矩形脉冲信号 典型信号的傅立叶变换 时域卷积性质 若则 频域卷积性质 四 傅里叶变换的性质 拉氏变换对 正变换 反变换 记作 称为原函数 称为象函数 采用系统 相应的单边拉氏变换为 考虑到实际信号都是有起因信号 拉普拉斯变换的定义 收敛域 使F s 存在的s的区域称为收敛域 记为 ROC regionofconvergence 实际上就是拉氏变换存在的条件 拉普拉斯变换的定义 1 5模拟信号数字处理方法 采样定理 采样前的模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系 如何由采样信号恢复成原来的模拟信号 实际中如何将时域离散信号恢复成模拟信号 什么是信号抽样 为什么进行信号抽样 1 信号稳定性好 数据用二进制表示 受外界影响小 4 系统精度高 可通过增加字长提高系统的精度 5 系统灵活性强 改变系统的系数使系统完成不同功能 2 信号可靠性高 存储无损耗 传输抗干扰 离散信号与系统的主要优点 3 信号处理简便 信号压缩 信号编码 信号加密等 对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关S 实际抽样 电子开关合上时间 0 则形成理想采样 理想抽样 理想采样 理想采样 采样信号的频谱是原模拟信号频谱以 s为周期 进行周期性延拓而成的 且频谱幅度为1 T 信号时域的离散化导致其频域的周期化 采样信号频谱 频谱混叠 采样信号的恢复 采样信号的恢复 采样信号的恢复 低通滤波器G j 的单位冲激响应g t 为 采样信号的恢复 采样信号的恢复 奈奎斯特采样定理 对连续信号进行等间隔采样形成采样信号 采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率 s为周期进行周期性延拓形成的 设连续信号xa t 属带限信号 最高截止频率为 c 如果采样角频率 s 2 c 那么让采样信号通过一个增益为T 截止频率为 s 2的理想低通滤波器 可以唯一地恢复出原连续信号xa t 否则 s 2 c会造成采样信号的频谱混叠现象 不可能无失真地恢复原连续信号 抽样定理的工程应用 许多实际工程信号不满足带限条件 抗混低通滤波器 混叠误差与截断误差比较 抽样定理的工程应用 重要公式 课堂练习 7 设LTI系统由下面差分方程描述 设系统是因果的 利用递推法求系统的单位脉冲响应 解 令x n n 则 n 0时 n 1时 n 2时 n 3时 所以 8 数字信号是指 的信号 时间幅度都离散的 9 若用单位序列及其移位加权和表示x n 10 序列是周期序列的条件是 11 序列 2 3 2 1 与序列 2 3 5 2 1 相加为 相乘为 4 6 7 3 1 4 9 10 2 12 判断正误数字信号处理的主要对象是数字信号 且是采用数值运算的方法达到处理目的的 对 13 判断正误单位阶跃序列与矩形序列的关系是错 14 判断正误因果系统一定是稳定系统 错 15 判断正误如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化 则这种系统称为时不变系统 对 16 判断正误所谓稳定系统是指有界输入 有界输出的系统 对 17 判断正误差分方程本身能确定该系统的因果和稳定性 错 差分方程本身不能确定该系统的因果和稳定性 还需要用初始条件进行限制 18 判断正误若连续信号属带限信号 最高截止频率为 c 如果采样角频率 s 2 c 那么让采样信号通过一个增益为T 截止频率为 s 2的理想低通滤波器 可以唯一地恢复出原连续信号 错 引言 一 时域离散信号傅里叶变换的定义 正变换 序列x n 的傅里叶变换 离散时间傅里叶变换DTFT 定义为 序列的傅里叶变换存在的充分条件是序列x n 满足绝对可和的条件 即 一 时域离散信号傅里叶变换的定义 反变换X ej 的傅里叶反变换为 性质 傅里叶变换的周期性 线性性质时移与频移性质 对称性时域卷积定理 频域卷积定理帕斯维尔定理 例1 设x n RN n 求x n 的傅里叶变换 当N 4时 其幅度与相位随频率 的变化曲线如图所示 1 傅里叶变换的周期性 傅里叶分析规律 则离散非周期序列的傅里叶变换是 连续周期的 1 傅里叶变换的周期性 傅里叶变换是频率 的周期函数 周期是2 说明 由于傅里叶变换的周期是2 一般只分析 或0 2 的范围 1 傅里叶变换的周期性 2 线性性质 3 时移与频移性质 时移性质 频移性质 4 傅里叶变换的对称性 1 共轭对称的定义设序列xe n 满足 则称xe n 为共轭对称序列 4 傅里叶变换的对称性 结论 共轭对称序列的实部是偶对称的 虚部是奇对称的 4 傅里叶变换的对称性 2 共轭反对称定义设序列xo n 满足 则称xo n 为共轭反对称序列 4 傅里叶变换的对称性 结论 共轭反对称序列的实部是奇对称的 虚部是偶对称的 3 一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示 即又则 4 傅里叶变换的对称性 同理 4 傅里叶变换的对称性 4 傅里叶变换的对称性质将上式进行傅里叶变换 得到 4 傅里叶变换的对称性 结论 序列分成实部与虚部两部分 实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性 虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性 4 傅里叶变换的对称性 将序列分成共轭对称部分xe n 和共轭反对称部分xo n 即x n xe n xo n 则 4 傅里叶变换的对称性 结论 序列x n 的共轭对称部分xe n 对应着X ej 的实部Re X ej 序列x n 的共轭反对称部分xo n 对应着X ej 的虚部乘j 即jIm X ej 4 傅里叶变换的对称性 5 时域卷积定理 若y n x n h n 则 6 频域卷积定理 若y n x n h n 则 7 帕斯维尔定理 定理表明 时域的总能量等于频域的总能量 2 3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 掌握周期序列的离散傅里叶级数掌握周期序列的傅里叶变换 一 周期序列的离散傅里叶级数 例2 设x n R4 n 将x n 以N 8为周期进行周期延拓 得到周期序列 周期为8 求DFS 一 周期序列的离散傅里叶级数 一 周期序列的离散傅里叶级数 幅度特性 一 周期序列的离散傅里叶级数 各种傅里叶变换的定义及特点 各种傅里叶变换的定义及特点 二 周期序列的傅里叶变换 因为周期序列不满足绝对可和的条件 因此它的FT并不存在 但由于是周期性的 可以展成离散傅里叶级数 引入奇异函数 W 其FT可以用公式表示出来 知识回顾 连续信号的傅里叶变换对离散信号中存在傅里叶变换对 周期序列的傅里叶变换 周期序列的傅里叶变换 二 周期序列的傅里叶变换 二 周期序列的傅里叶变换 二 周期序列的傅里叶变换 二 周期序列的傅里叶变换 例3 设x n R4 n 将x n 以N 8为周期进行周期延拓 得到周期序列 周期为8 求FT 解 已知 得 其幅度频谱为 对比例2 二 周期序列的傅里叶变换 二 周期序列的傅里叶变换 课堂练习 2 序列的傅里叶变换为 3 设系统的单位脉冲响应h n anu n 0 a 1 输入序列为x n n 2 n 2 完成下面各题 1 求出系统输出序列y n 2 分别求出x n h n 和y n 的傅里叶变换 2 4 设系统的单位抽样响应为h n 则系统因果的充要条件为 A 当n 0时 h n 0B 当n 0时 h n 0C 当n 0时 h n 0D 当n 0时 h n 0 C 5 下列关系正确的为 D 6 判断正误时域离散信号傅里叶变换存在的充分条件是序列绝对可和 对 7 判断正误序列的傅里叶变换是频率 非周期函数 错 序列的傅里叶变换是频率 的周期函数 周期是2 2 4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 2 5序列的Z变换 掌握Z变换的正变换和逆变换定义 以及收敛域与序列特性之间的关系 理解主要的Z变换的定理和性质 一 Z变换的定义 1 定义 双边Z变换 单边Z变换 def def Z变换的收敛域 2 收敛域对任意给定序列x n 使其z变换收敛的所有z值的集合称为收敛域 z变换存在的条件是级数绝对可和 即满足不等式的z变量的取值范围就是收敛域 对于双边z变换 其象函数与收敛域共同惟一确定序列 零点与极点 3 零点与极点常用的Z变换是一个有理函数 用两个多项式之比表示 零点 分子多项式P z 的根 极点 分母多项式Q z 的根 在极点处Z变换不存在 因此收敛域中没有极点 收敛域总是用极点限定其边界 z变换与傅里叶变换的关系 4 z变换与傅里叶变换的关系单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换 思考 Z变换的收敛域不包含单位圆时序列的傅里叶变换存在吗 Z变换 例5 x n u n 求其Z变换 解 当 z 1时X z 存在 因此收敛域为 z 1 二 序列特性对收敛域的影响 1 有限长序列其z变换为 有限长序列的收敛域一般是0 z 有时也包括z 0或z 处 其它 有限长序列 n10时 ROC为 n1 0 n2 0时 ROC为 0 z 0 z 0 z 有限长序列 例6 求x n RN n 的Z变换及其收敛域 解 收敛域为 0 z 右边序列 2 右边序列 第一项为有限长序列 第二项为z的负幂级数 右边序列 收敛域 所以 右边序列的收敛域为 圆外 但不包括无穷远处 右边序列之因果序列 特殊情况还可扩大 因果序列 它是一种最重要的右边序列 收敛域为 圆外 且包括无穷远处 右边序列之因果序列 因果序列是一种最重要的右边序列 收敛域为 Z 处Z变换收敛是因果序列的特征 在 处收敛的序列必为因果序列 左边序列 3 左边序列 第一项为z的正幂级数 第二项为有限长序列 左边序列 收敛域 所以 左边序列的收敛域为 圆内 但不包括0 左边序列 反因果序列 收敛域为 圆内 且包括0 双边序列 4 双边序列双边序列可看做左边序列和右边序列之和 双边序列 收敛域 所以 双边序列的收敛域为 环域 序列特性对收敛域的影响 因果序列 反因果序列 当收敛域不存在 序列特性对收敛域的影响 例7 求序列的Z变换及收敛域 解 这是无穷等比级数 公比是 在什么情况下收敛 零点 极点 序列特性对收敛域的影响 本例 极点为 收敛域内不能有极点 或收敛域以极点为边界 因果序列的收敛域一定在模最大的极点所在的圆外 序列特性对收敛域的影响 例8 求序列z变换及收敛域 解 反因果序列的收敛域一定在模最小的极点所在的圆内 本例 极点为 序列特性对收敛域的影响 例9 求序列z变换及收敛域 解 双边序列的收敛域为环状区域 且以极点为边界 本例 极点为 三 逆z变换 一 z反变换的定义 已知X z 及其收敛域 反过来求序列x n 的变换称作z反变换 求z反变换的方法 1 围线积分法 留数法 2 部分分式展开法 3 长除法 1 留数法 根据复变函数理论 若函数X z 在环状区域内解析 则在此区域可展开成罗朗级数的形式 其中 C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线 但直接计算围线积分比较麻烦 一般都用留数定理来求解 对比 和z变换的定义 可知 1 留数法 留数定理 若函数在围线c上连续 在c内有K个极点Zk 在c外有M个极点ZM K M为有限值 则有 注意 应用第二式计算时 要求的分母多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上 1 留数法 求留数的方法 1 当Zk为一阶极点时的留数 2 当Zk为m阶 多重 极点时的留数 1 留数法 例10 已知X z 1 az 1 1 z a 求其逆Z变换x n 解n 0时 F z 在c内只有1个极点 z1 a n 0时 F z 在c内有2个极点 z1 a z2 0 高阶 1 留数法 则n 0时 n 0时 围线内有高阶极点 由于F z 的分母阶次比分子阶次高二阶以上 因而求圆外极点留数 由于围线外无极点 故n 0时 x n 0所以x n anu n 1 留数法 例11 已知 求其逆变换x n 解 先确定收敛域 X z 有两个极点 z a和z a 1 这样收敛域有三种选法 它们是 1 z a 1 对应的x n 是因果序列 2 z a 对应的x n 是左序列 3 a z a 1 对应的x n 是双边序列 1 留数法 1 收敛域为 z a 1 这种情况的原序列是因果序列 无须求n 0时的x n 当n 0时 F z 在c内有两个极点 z a和z a 1 因此 1 留数法 最后表示成 x n an a n u n 1 留数法 2 收敛域为 z a 原序列是左序列 无须计算n 0情况 实际上 当n 0时 围线积分c内没有极点 因此x n 0 n 0时 c内只有一个极点z 0 且是n阶极点 改求c外极点留数之和 即 最后将x n 表示成封闭式 x n a n an u n 1 1 留数法 3 收敛域为 a z a 1 x n 是双边序列 根据被积函数F z 按n 0和n 0两种情况分别求x n n 0时 c内只有1个极点 z a 则x n Res F z a an 1 留数法 n 0时 c内极点有2个 其中z 0是n阶极点 且由于F z 的分母多项式比分子多项式的最高次数高2阶以上 故改求c外极点留数 c外极点只有z a 1 因此x n Res F z a 1 a n 最后将x n 表示为 即 x n a n 1 留数法 2 部分分式展开法 通常 X z 可表示成有理分式形式 如果能将X z 展开成几个简单的分式的和的形式 而简单形式的z反变换可通过查表2 5 1直接求得 观察上式 X z z在z 0的极点留数就是系数A0 在极点z zm的留数就是系数Am 求出Am系数后 查表可得x n 序列 2 部分分式展开法 解 由留数法求系数得 因为X z 的收敛域为 为因果序列 从而求得 解 将X z 变为X z z的形式并化为部分分式 2 部分分式展开法 课堂练习 1 的Z变换为 收敛域为 1 1 az 1 z a 课堂练习 2 的Z变换为 收敛域为 1 1 az 1 z a 3 判断题序列z变换的收敛域内可以含有极点 错 课堂练习 4 已知求z反变换 解 所以当n 0时 x n 0 只需考虑n 0时的情况 课堂练习 如图所示 取收敛域的一个围线c 可知当n 0时 C内有两个一阶极点 所以 课堂练习 5 已知 求z反变换 课堂练习 如图所示 取收敛域的一个围线c 分两种情况讨论 1 n 1时 C内只有一个一阶极点 课堂练习 课堂练习 2 当n 1时 C内有极点 z 1 4 一阶 z 0 高阶 而在C外仅有z 4 一阶 这个极点 且F z 的分母多项式比分子多项式的最高次数高2阶以上 课堂练习 课堂练习 四 Z变换的性质和定理 如果则有 即满足均匀性与叠加性 收敛域为两者重叠部分 1 线性 2 序列的移位 四 Z变换的性质和定理 3 时域卷积定理 四 Z变换的性质和定理 1 理想抽样信号的拉普拉斯变换连续信号 序列 抽样信号 五 z变换与拉普拉斯变换的关系 2 z变换与拉普拉斯变换的关系比较理想抽样信号的拉普拉斯变换和序列的z变换 可得 用公式表示为 s平面和z平面具体是怎样的映射关系 当时 序列x n 的z变换就等于理想抽样信号的拉普拉斯变换 z变换与拉普拉斯变换的关系 3 s平面和z平面之间的映射关系s平面用直角坐标表示为 z平面用极坐标表示为 又由于所以 因此 即 z的模只与s的实部相对应 z的相角只与s虚部 相对应 s平面和z平面之间的映射关系 1 r与 的关系 0 0 0 r 1 即s平面的虚轴映射到z平面单位圆上 r 1 即s平面的右半平面映射到z平面单位圆外 r 1 即s平面的左半平面映射到z平面单位圆内 s平面和z平面之间的映射关系 2 与 的关系 T s平面宽的水平条带对应 整个z平面 0 0 s平面的实轴对应z平面正实轴 s平面和z平面之间的映射关系 s平面宽的水平条带 同样对应 整个z平面 s平面和z平面之间的映射关系 六 z变换与理想抽样信号傅立叶变换的关系 序列的z变换为 傅立叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例 理想抽样信号的拉普拉斯变换为 z变换与傅立叶变换的关系 可得z变换与傅立叶变换之间的关系 抽样序列在单位圆上的z变换 就等于理想抽样信号傅立叶变换 单位圆上的z变换称为序列的傅里叶变换 频谱 也称为离散时间傅里叶变换 DTFT 2 6利用Z变换分析信号和系统的频响特性 一 系统函数在线性时不变系统中 h n 表示系统的单位冲激响应 它反映了系统的特性 H z 称作线性时不变系统的系统函数 系统函数 在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应 令 得h n 的傅立叶变换 系统的频率响应 二 因果稳定系统 从z变换收敛域判断 回顾因果稳定的线性时不变系统的充要条件是 因果 h n 是因果序列 稳定 h n 绝对可和 故 线性时不变系统因果稳定的充要条件是 h n 是因果序列且绝对可和 即 h n 序列绝对可和 即h n 的傅里叶变换存在 则其z变换收敛域必须包括 单位圆 因果稳定系统 从z变换收敛域判断 所以 一个因果稳定系统的系统函数H z 的收敛域必须在从单位圆到 的整个z域内收敛 或 系统函数的全部极点都必须在单位圆内 思考 判断系统因果稳定的方法有几种 解H z 的极点为z a z a 1 1 收敛域为a 1 z 对应的系统是因果系统 但由于收敛域不包含单位圆 因此是不稳定系统 2 收敛域为0 z a 对应的系统是非因果且不稳定系统 3 收敛域为a z a 1 对应一个非因果系统 但由于收敛域包含单位圆 因此是稳定系统 例14 已知分析其因果性和稳定性 因果稳定系统 从z变换收敛域判断 三 系统函数和差分方程的关系 线性移不变系统常用差分方程表示 取z变换得 系统函数和差分方程的关系 分析 在已知收敛域的条件下系统的特性由系数bm ak决定 在已知收敛域的条件下系统的特性由系数cm dk决定 注 仅有差分方程 不能唯一确定系统 四 系统的频率响应的意义 系统单位抽样响应h n 的傅立叶变换称作系统频率响应 对于线性时不变系统 系统的频率响应的意义 若输入为正弦信号 输出也为正弦信号 五 频率响应的几何确定 1 频率响应的零极点表达式 频率响应的几何确定 频率响应的几何确定 2 几点说明 1 单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的位置与深度有明显影响 当零点位于单位圆上时 谷点为零 零点可在单位圆外 2 单位圆附近的极点对幅度响应的峰点的位置和高度有明显影响 极点越接近单位圆 峰值就越尖锐 极点在单位圆上 系统不稳定 频率响应的几何确定 零点在单位圆上0和pi处 极点在处 频率响应的几何确定 解 系统的传输函数为 解 极点为z b 零点为z 0 例16 已知H z 1 z N 试定性画出系统的幅频特性 解 极点 H z 的极点为z 0 这是一个N阶极点 它不影响系统的幅频响应 零点 零点有N个 由分子多项式的根决定 即 频率响应的几何确定 N个零点等间隔分布在单位圆上 设N 8 极零点分布如图所示 频率响应的几何确定 重要公式 傅里叶变换的正变换傅里叶变换的逆变换注意正变换存在的条件是 序列服从绝对可和的条件 离散傅里叶级数变换对可用于表现周期序列的频谱特性 周期序列的傅里叶变换如果周期序列的周期是N 则其频谱由N条谱线组成 注意画图时要用带箭头的线段表示 Z变换的正变换双边Z变换注意收敛域 课堂练习 1 若H Z 的收敛域包括 点 则h n 一定是 序列 因果 2 线性时不变系统h n 是因果系统的充要条件是 h n 0 n 0或收敛域在某圆的外面 3 线性时不变系统h n 是稳定系统的充要条件是 h n 绝对可和或收敛域包括单位圆 4 时域离散线性时不变系统的系统函数为若要求系统稳定 则a的取值域为 和b的取值域为 a 1 b 1 5 时域离散线性时不变系统的系统函数为若要求系统因果稳定 则a的取值域为 和b的取值域为 0 a 1 0 b 1 6 序列的傅里叶变换等于序列在 上的Z变换 A 单位圆B 实轴C 正虚轴D 负虚轴 A 7 下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统 A n B h n u n C h n u n u n 1 D h n u n u n 1 D 8 如果系统函数用下式表示 则下列关于收敛域的说法正确的是 A 该系统无法通过选择适当的收敛域使该系统因果稳定B 收敛域为时 系统因果稳定C 收敛域为时 系统因果稳定D 收敛域为时 系统因果稳定 D 9 已知某数字滤波器的系统函数为 1 画出零极点分布图 2 利用几何确定法分析幅度特性 画出幅度特性图 3 试判断滤波器的类型 低通 高通 带通 带阻 解 1 将系统函数写成下式 系统的零点为z 0 极点为z 0 9 零点在z平面的原点 零极点分布图为 2 不影响频率特性 而惟一的极点在实轴的0 9处 幅度特性图为 3 滤波器的通带中心在 0处 这是一个低通滤波器 DFT要解决两个问题 一是频谱的离散化 二是算法的快速计算 FFT 这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号 引言 时域周期化 频域离散化时域离散化 频域周期化 引言 序列的傅里叶变换 离散时间 连续频率的傅立叶变换 序列的傅立叶变换 时域离散 非周期频域连续 周期 连续 不适合计算机处理 由DTFT到DFT 离散时间 离散频率的傅立叶变换 DFT 由上述分析可知 对DTFT 要想在频域上离散化 那么在时域上必须作周期延拓 对长度为M的有限长序列x n 以N为周期延拓 N M 注意 离散傅里叶变换 DFT 只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立 3 1离散傅里叶变换的定义及物理意义 一 DFT的定义设x n 是一个长度为M的有限长序列 则定义x n 的N点离散傅里叶变换为 旋转因子的性质 例1 已知 分别求8和16点DFT 解 频率采样点数不同 DFT的长度不同 DFT的结果也不同 1 求模 余数 运算如果整数则称n1是n对N的模 余数 记作 或n模N等于n1 7 5 二 DFT的隐含周期性 2 有限长序列x n 和周期序列的关系 周期序列是有限长序列x n 的周期延拓 有限长序列x n 是周期序列的主值序列 或 二 DFT的隐含周期性 如 定义从n 0到 N 1 的第一个周期为主值序列或区间 二 DFT的隐含周期性 周期序列是有限长序列X k 的周期延拓 有限长序列X k 是周期序列的主值序列 3 频域周期序列与有限长序列X k 的关系 二 DFT的隐含周期性 这里的周期延拓仅看作数学处理方法 或者说借助时域周期延拓实现有限长序列频谱的离散化 在DFT中 有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的 总是隐含周期性 二 DFT的隐含周期性 若x n 是一个有限长序列 长度为N 即 三 DFT与序列傅里叶变换 Z变换的关系 比较Z变换与DFT 我们看到 当时 DFT与Z变换的关系 所以X k 也就是对X z 在Z平面单位圆上N点等间隔采样值 DFT与序列傅里叶变换的关系 若x n 是一个有限长序列 长度为N X k 也可以看作序列x n 的傅里叶变换X ej 在区间 0 2 上的N点等间隔采样 其采样间隔为 N 2 N DFT与序列傅里叶变换的关系 3 2DFT的基本性质 一 线性1 如果两序列都是N点的有限长序列时 且有则有 2 和的长度N1和N2不等时 怎办 选择为变换长度 短者进行补零达到N点 二 循环移位性质 1 序列的循环移位 圆周移位 定义 一个有限长序列的圆周移位定义为 循环移位 循环移位 2 循环移位的含义 1 主值区间 n 0 N 1 3 如果把x n 首尾排列 n 0 N 1 在一个N等分的圆周上 序列的移位就相当于x n 在圆上旋转 故又称作圆周移位 当围着圆周观察几圈时 看到的就是周期序列 2 当某序列值从此区间一端移出时 与它相同的序列值又从此区间的另一端移进来 循环移位 时域圆周移位的性质 3 时域圆周移位的性质 频域圆周移位的性质 4 频域圆周移位的性质 调制特性 或 时域序列的调制等效于频域的圆周移位 1 两个有限长序列的循环卷积设序列h n 和x n 的长度分别为N和M h n 与x n 的L点循环卷积定义为其中L为循环卷积区间长度 L max N M 表示方法 或 三 循环卷积定理 L 2 循环卷积的计算方法 矩阵相乘x n 序列 x 0 x 1 x 2 x L 1 x n 的循环倒相序列 令n 0 m 0 1 L 1 x n m L形成的序列为 循环卷积的计算方法 令n 1 m 0 1 L 1 x n m L形成的序列为 该序列相当于x n 的循环倒相序列向右循环移1位 再令n 2 m 0 1 L 1 此时得到的序列又是上面的序列向右循环移1位 依次类推 当n和m均从0变化到L 1时 得到一个关于x n m L的矩阵如下 循环卷积的计算方法 循环卷积矩阵 循环卷积的计算方法 说明 1 如果x n 或h n 的长度小于L 则需要在序列末尾补0 使序列长度为L 2 循环卷积满足交换律 循环卷积的计算方法 例2 计算下面给出的两个长度为4的序列h n 与x n 的4点和8点循环卷积 解 h n 与x n 的4点循环卷积矩阵形式为 循环卷积的计算方法 h n 与x n 的8点循环卷积矩阵形式为 循环卷积的计算方法 三 循环卷积定理 2 时域循环卷积定理设和为长度分别为N1和N2的有限长序列 N max N1 N2 且 则 3 频域循环卷积定理设和均为长度分别为N1和N2的有限长序列 N max N1 N2 且 则 三 循环卷积定理 例3 一个有限长序列为 1 计算序列x n 的10点离散傅里叶变换 2 若序列y n 的DFT为 式中 X k 是x n 的10点离散傅里叶变换 求序列y n 3 若10点序列y n 的10点离散傅里叶变换是 式中 X k 是序列x n 的10点DFT W k 是序列w n 的10点DFT 求序列y n 综合例题 2 X k 乘以WNkm相当于是x n 循环移位m点 本题中m 2 x n 向左循环移位了2点 则 y n x n 2 10R10 n 2 n 3 n 8 3 X k 乘以W k 相当于x n 与w n 的循环卷积 结果为 3 3 1 1 1 3 3 2 2 2 综合例题 四 复共轭序列的DFT 证明 五 DFT的共轭对称性 序列的傅里叶变换的共轭对称性 其对称性是关于坐标原点的对称性 共轭对称 共轭反对称 在DFT中 涉及的序列x n 及其离散傅里叶变换X k 均为有限长序列 且定义区间为0到N 1 所以 这里的对称性是指关于N 2点的对称性 1 有限长共轭对称序列2 有限长共轭反对称序列 五 DFT的共轭对称性 3 任意有限长序列都可以表示成一个共轭对称分量和一个共轭反对称分量之和 即 五 DFT的共轭对称性 同理 对于频域函数X k 也可以表示成一个共轭对称分量和一个共轭反对称分量之和 即 五 DFT的共轭对称性 4 DFT的共轭对称性 有限长序列实部的DFT等于序列DFT的共轭对称分量 有限长序列虚部乘j后的DFT等于序列DFT的共轭反对称分量 1 将序列分成实部和虚部的形式 五 DFT的共轭对称性 2 将序列表示成共轭对称分量和共轭反对称分量 有限长序列共轭对称分量的DFT等于序列DFT的实部 有限长序列共轭反对称分量的DFT等于序列DFT的虚部乘j 五 DFT的共轭对称性 实际中经常需要对实序列进行DFT 利用上述对称性质 可减少DFT的运算量 提高运算效率 1 若x n 是实序列 则X k 只有共轭对称分量 即满足X k X N k k 0 1 N 1 2 若x n 是纯虚序列 则X k 只有共轭反对称分量 即满足X k X N k k 0 1 N 1 5 其他共轭对称性 五 DFT的共轭对称性 3 如果x n 是实偶序列 即x n x N n 则X k 是实偶对称 即X k X N k 4 如果x n 是实奇序列 即x n x N n 则X k 纯虚奇对称 即X k X N k 五 DFT的共轭对称性 例4 利用DFT的共轭对称性 设计一种高效算法 通过计算一个N点DFT 就可以计算出两个实序列x1 n 和x2 n 的N点DFT 解 构造新序列x n x1 n jx2 n 对x n 进行DFT 得到 五 DFT的共轭对称性 所以 由X k 可以求得两个实序列x1 n 和x2 n 的N点DFT 五 DFT的共轭对称性 3 3频率域采样 频域采样定理 如果序列x n 的长度为M 则只有当频域采样点数N M时 才有即可由频域采样X k 恢复原序列x n 否则产生时域混叠现象 3 4DFT的应用举例 一 循环卷积的DFT计算方法 用DFT计算循环卷积的原理框图 3 4DFT的应用举例 二 线性卷积与循环卷积的关系 1 线性卷积它们线性卷积为下面推理线性卷积的非零值范围 的非零区间为的非零区间为两不等式相加得也就是不为零的区间 例如 下面两个有限长序列的线性卷积非零值区间为n 0 5 非零值为 1 2 3 3 2 1 线性卷积与循环卷积的关系 2 用圆周卷积计算线性卷积圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列取主值序列 先将2个序列都补零成L点的序列 然后再对它们进行周期延拓 即 线性卷积与循环卷积的关系 线性卷积与循环卷积的关系 由于有个非零值 所以周期L必须满足 又由于循环卷积是周期卷积的主值序列 所以循环卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列 即 循环卷积为线性卷积的周期延拓 其周期为L 线性卷积与循环卷积的关系 已知x1 n 1 1 1 1 x2 n 1 1 1 1 1 求x1 n x2 n 并分别求x1 n 与x2 n 的6点 8点及10点循环卷积 线性卷积与循环卷积的关系 课堂练习 1 已知y n x n h n x n 和h n 的长度分别为M和N x n 和h n 的L点循环卷积 L M L N 用w n 表示 w n y n 的条件是 L M N 1 2 对6点有限长序列 5 1 3 0 5 2 进行向左2点圆周移位后得到序列 3 0 5 2 5 1 课堂练习 3 离散傅里叶变换中 有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的 都隐含有周期性的意思 对 4 已知长度为N 10的两个有限长序列 课堂练习 5 假设线性时不变系统的单位脉冲响应h n 和输入信号x n 分别用下式表示 1 计算该系统的输出信号y n 2 如果对x n 和h n 分别进行12点DFT 得到X k 和H k 令求y1 n 解 1 y n 1 2 3 4 4 4 4 4 3 2 1 2 y1 n 1 2 3 4 4 4 4 4 3 2 1 0 4 2基2FFT算法 一 DFT的计算工作量以正变换为例 计算所有的X k 就要N2次复数乘法运算 N N 1 N2次复数加法运算 当N很大时 运算量将是惊人的 如N 1024 则要完成1048576次 一百多万次 运算 这样 难以做到实时处理 通常x n 和都是复数 所以计算一个X k 的值需要N次复数乘法运算 和N 1次复数加法运算 算法基本思想 FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT 并利用的周期性和对称性来减少DFT的运算次数 回顾 的性质 有关系数关系 利用这些性质可大大减少DFT的计算量 用这种方法计算DFT称为快速傅里叶变换 FFT FFT分按时间抽取 DIT 和按频率抽取 DIF 两大类 二 按时间抽取法基2FFT算法原理 一 N 2点DFT1 先将x n 按n的奇偶分为两组作DFT 设N 2L 不足时可补零 这样有 n为偶数时 n为奇数时 下面用x1 r 和x2 r 来求x n 的DFT 一 N 2点DFT 一 N 2点DFT 一 N 2点DFT 3 X k 的后一半的确定由于 周期性 所以 一 N 2点DFT 可见 X k 的后一半 也完全由X1 k X2 k 确定 N点的DFT可由两个N 2点的DFT来计算 一 N 2点DFT 4 蝶形运算 蝶形运算 运算结构如下 一 N 2点DFT 例如N 8时的DFT 可以分解为两个N 2 4点的DFT 具体方法如下 1 n为偶数时 即分别记作 一 N 2点DFT 2 n为奇数时 分别记作 一 N 2点DFT 整个过程如下图所示 1 N 2点的DFT运算量 复乘次数 复加次数 2 两个N 2点的DFT运算量 上述次数的2倍 3 N 2个蝶形运算的运算量 复乘次数 复加次数 一 N 2点DFT 5 运算量分析按奇 偶分组后的计算量 一 N 2点DFT 总共运算量 复乘 复加 比较N点DFT的运算量 N点DFT的复乘为N2 复加N N 1 与分解后相比可知 计算工作量差不多减少一半 二 N 4点DFT 由于N 2L 所以N 2仍为偶数 可以进一步把每个N 2点的序列再按其奇偶部分分解为两个N 4的子序列 例如 n为偶数时的N 2点分解为 分解后的每个序列进行N 4点的DFT 得到 二 N 4点DFT 从而有 二 N 4点DFT 同样对n为奇数时 N 2点分为两个N 4点的序列 分解后的每个序列进行N 4点的DFT 得到 二 N 4点DFT 从而有 二 N 4点DFT 利用可约性 可将系数化为统一的点数 如下所示 二 N 4点DFT 例如 N 8时的DFT可分解为四个N 4的DFT 具体步骤如下 1 序列分解 二 N 4点DFT 同样 分别构成4个N 4点DFT 从而得到X3 0 X3 1 X4 0 X4 1 X5 0 X5 1 X6 0 X6 1 二 N 4点DFT 2 蝶形运算由X3 0 X3 1 X4 0 X4 1 进行碟形运算 得到X1 0 X1 1 X1 2 X1 3 由X5 0 X5 1 X6 0 X6 1 进行碟形运算 得到X2 0 X2 1 X2 2 X2 3 由X1 0 X1 1 X1 2 X1 3 X2 0 X2 1 X2 2 X2 3 再进行碟形运算 得到 X 0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 二 N 4点DFT 二 N 4点DFT 这样 又一次分解 得到四个N 4点DFT 两级蝶形运算 其运算量又大约减少一半 对于N 8时DFT N 4点即为两点DFT 也可以用蝶形运算实现 如下所示 二 N 4点DFT 也即 8点DIT FFT运算流图 这种FFT算法 是在时间上对输入序列次序的奇偶性进行分解的 所以称作按时间抽取的算法 DIT 三 DIT FFT与DFT运算量的比较 N 8需三级蝶形运算N 23 8 由此可知 N 2M共需M级蝶形运算 而且每级都由N 2个蝶形运算组成 每个蝶形运算有一次复乘 两次复加 N点的FFT的运算量为 复乘次数 N 2 M N 2 log2N复加次数 N M Nlog2NN点的DFT直接计算的运算量为 复乘次数 N N复加次数 N N 1 三 DIT FFT与DFT运算量的比较 四 DIT FFT的运算规律及编程思想 1 原位运算 输入数据 中间运算结果和最后输出均用同一存储器 由运算流图可知 基2FFT算法一共有log2N M级蝶形运算 每一级共N 2个蝶形运算 而且每个蝶形仅与蝶形的2个输入有关 也仅有2个输出值 这4个值均与其它蝶形运算无关 而且2个输入值在计算完输出值后没有其它用途 因此 可用2个输入单元保存2个输出值 即实现所谓原位运算 四 DIT FFT的运算