高考数学大一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例课件 理 北师大版.ppt

第四章平面向量 数系的扩充与复数的引入 第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例 最新考纲1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 j基础知识自主学习 1 向量的夹角 1 定义 2 范围向量夹角 的范围是 a与b同向时 夹角 a与b反向时 夹角 3 垂直关系如果非零向量a与b的夹角是 我们说a与b垂直 记作 0 0 90 a b 2 平面向量的数量积 1 数量积的定义已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 把 a b cos 叫作a与b的数量积 记作a b 即a b 2 向量的射影设 为a与b的夹角 则向量a在b方向上的射影是 向量b在a方向上的射影是 3 数量积的几何意义数量积a b等于a的长度 a 与 的乘积 a b cos a cos b cos b在a的方向上的射影 b cos 3 平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a x1 y1 b x2 y2 为向量a b的夹角 4 平面向量数量积的运算律已知向量a b c和实数 则 1 交换律 a b 2 结合律 a b a b 3 分配律 a b c 5 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行 垂直 全等 相似 长度 夹角等问题 6 平面向量在物理中的应用 1 由于物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解与合成与向量的 相似 可以用向量的知识来解决 2 物理学中的功是一个标量 这是力f与位移s的数量积 即w f s f s cos 为f与s的夹角 b a a b a c b c 加法和减法 1 向量在另一个向量方向上的射影为数量 而不是向量 解析正确 2 两个向量的数量积是一个实数 向量的加 减 数乘运算的运算结果是向量 解析正确 3 由a b 0可得a 0或b 0 解析错误 当a与b为非零向量 且a b时 a b 0 4 a b c a b c 解析错误 a b c表示与c共线的向量 a b c 表示与a共线的向量 而a与c的关系未知 5 a b a c a 0 则b c 解析错误 当a b且a c时 a b a c 但是b不一定等于c 6 若a b 0 则a与b的夹角为锐角 若a b0 当a与b反向时 a b 0 练一练 1 2015 课标全国卷 向量a 1 1 b 1 2 则 2a b a a 1b 0c 1d 2 解析 2a b 1 0 又a 1 1 2a b a 1 0 1 答案c 解析由已知 2a 3b c 可得 2a 3b c 0 即 2k 3 6 2 1 0 展开化简得4k 12 0 所以k 3 故选项c正确 答案c 5 已知a 2 3 b 4 7 则a在b方向上的射影为 r热点命题深度剖析 22 规律方法 平面向量数量积的类型及求法 1 求平面向量数量积有三种方法 一是夹角公式a b a b cos 二是坐标公式a b x1x2 y1y2 三是利用数量积的几何意义 2 求较复杂的平面向量数量积的运算时 可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简 1 1 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容 题型多为选择题 填空题 难度适中 属中档题 3 3 若非零向量a b满足 a 3 b a 2b 则a与b夹角的余弦值为 角度二 平面向量的夹角4 已知单位向量e1与e2的夹角为 且cos 向量a 3e1 2e2与b 3e1 e2的夹角为 则cos 7 在直角三角形abc中 已知 2 3 1 k 则k的值为 规律方法 1 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来 这就为向量和函数的结合提供了前提 运用向量的有关知识可以解决某些函数问题 2 以向量为载体求相关变量的取值范围 是向量与函数 不等式 三角函数等相结合的一类综合问题 通过向量的坐标运算 将问题转化为解不等式或求函数值域 是解决这类问题的一般方法 3 向量的两个作用 载体作用 关键是利用向量的意义 作用脱去 向量外衣 转化为我们熟悉的数学问题 工具作用 利用向量可解决一些垂直 平行 夹角与距离问题 变式训练2 1 已知直线y a交抛物线y x2于a b两点 若该抛物线上存在点c 使得 acb为直角 则a的取值范围为 1 2 设向量a 4cos sin b sin 4cos c cos 4sin 若a与b 2c垂直 求tan 的值 求 b c 的最大值 若tan tan 16 求证 a b 解 由a与b 2c垂直 得a b 2c a b 2a c 0 即4sin 8cos 0 tan 2 b c sin cos 4cos 4sin b c 2 sin2 2sin cos cos2 16cos2 32cos sin 16sin2 17 30sin cos 17 15sin2 故最大值为32 所以 b c 的最大值为4 证明 由tan tan 16 得sin sin 16cos cos 即4cos 4cos sin sin 0 所以a b s思想方法感悟提升 1个条件 两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件为 a b a b 0 2个结论 与向量夹角有关的两个结论 1 若a b 0 则a与b的夹角为锐角或0 2 若a b 0 则a与b的夹角为钝角或180 4个注意点 向量运算中应注意的四个问题 1 在求 abc的三边所对应向量的夹角时 要注意是三角形的内角还是外角 如在等边三角形abc中 与的夹角应为120 而不是60 2 在平面向量数量积的运算中 不能从a b 0推出a 0或b 0成立 实际上由a b 0可推出以下四种结论 a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 a b 3 实数运算满足消去律 若bc ca c 0 则有b a 在向量数量积的运算中 若a b a c a 0 则不一定有b c 4 实数运算满足乘法结合律 但平面向量数量积的