江苏省镇江市2015届高三上学期期末考试数学试题 (2).doc

江苏省镇江市江苏省镇江市 20152015 届高三上学期期末考试数学试题届高三上学期期末考试数学试题 2015 年 2 月 第第 I 卷卷 注意事项注意事项 1 本试卷由填空题和解答题两部分组成 满分 160 分 考试时间为 120 分钟 2 答题前 请您务必将自己的学校 姓名 考试号用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔填写 在答题卡上规定的地方 3 答题时必须用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置 在其它位置作 答一律无效 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分分 不需要写出解答过程 请把答案不需要写出解答过程 请把答案 直接填写在答题卡的相应位置上直接填写在答题卡的相应位置上 1 记复数为虚数单位 的共轭复数为 已知 ibiaz Rbabiaz iz 2 则 2 z 2 设全集 集合 则 ZU 2 1 0 1 2 2 1 PM U PM 3 某校共有师生 1600 人 其中教师有 1000 人 现用分层抽样的方法 从所有师生中抽取 一个容量为 80 的样本 则抽取学生的人数为 4 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 则 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 4 1 该双曲线的渐近线方程是 5 已知向量 则 baxbxa 1 2 1 12 x 6 执行如图流程图 若输入 则输出的值为 2 1 20 baa 7 设为互不重合的平面 是互不重合的直线 给出下列四个命题 nm 若 则 nnm m 若 则 nmnm 若 则 nm nm 若 则 mnnm n 其中正确命题的序号为 8 设分别为连续两次投掷骰子得到的点数 且向量 则向量nm 1 1 bnma 的夹角为锐角的概率是 ba ba 开始 N Y 结束 输出 a baa 输入 ba 9 设等比数列的前项和为 若 63 7 63 SS则 n an n S 987 aaa 10 已知直线 过点且与圆相交于两点 的面积为 1 l 2 1 P2 22 yxCBA ABC 则直线 的方程为 l 11 若钝角三角形三个内角的度数成等差数列 且最大边与最小边长度之比为 则的mm 取值范围是 12 若函数为定义在上的奇函数 当时 则不等式 xfR0 xxxxfln 的解集为 exf 13 曲线与曲线公切线 切线相同 的条数为 0 1 x x yxyln 14 已知正数满足 则的最小值为 yx 1 11 yx1 9 1 4 y y x x 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 9090 分分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出必要请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出必要 的文字说明 证明过程或演算步骤的文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知的面积为 且 ABC SSACAB2 1 求 Asin 2 若 求 32 3 ACABABBsin 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥中 已知是正三角形 平面 ABCD BCD ABBCD 为的中点 在棱上 且 aBCAB EBCFACFCAF3 1 求三棱锥的体积 ABCD 2 求证 平面 ACDEF 3 若为中点 在棱上 且MDBNAC 求证 平面 CACN 8 3 MNDEF 17 本小题满分 15 分 某飞机失联 经卫星侦查 其最后出现在小岛附近 现派出四艘搜救船 ODCBA 为方便联络 船始终在以小岛为圆心 100 海里为半径的圆上 船构成BA ODCBA 正方形编队展开搜索 小岛在正方形编队外 如图 设小岛到的距离为 OOABx 船到小岛的距离为 DAOB Od 1 请分别求关于的函数关系式 并分别写出定义域 d x fdxgd 2 当两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大BA 即最大 d 18 本小题满分 15 分 已知椭圆的右焦点 离心率为 过作两条互相垂直 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1 F 2 2 F 的弦 设的中点分别为 CDAB CDAB NM 1 求椭圆的方程 2 证明 直线必过定点 并求出此定点坐标 MN 3 若弦的斜率均存在 求面CDAB FMN 积的最大值 19 本小题满分 16 分 已知函数 实数满足 设 xx xf24 ts 0 tfsf tsts ba 2 22 1 当函数的定义域为时 求的值域 xf 1 1 xf 2 求函数关系式 并求函数的定义域 agb ag 3 求的取值范围 ts 88 20 本小题满分 16 分 已知数列中 在之间插入 1 个数 在之间插入 2 个数 在 n a1 1 a 21 a a 32 a a 之间插入 3 个数 在之间插入个数 使得所有插入的数和原数列 43 a a 1 nn aan 中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列 n a n b 1 若 求的通项公式 19 4 a n b 2 设数列的前n项和为 n S 且满足为常数 求的通 n b 2 nn bS n a 项公式 江苏省镇江市高三数学期末试题江苏省镇江市高三数学期末试题 第第 卷 理科附加卷 卷 理科附加卷 21 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 圆与圆相交于两点 点在圆上 圆的弦切圆于点 及OPBA POOBCPBCP 其延长线交圆于两点 过点作交延长线于点 若PED ECEEF CBF 求的长 22 2 CBCDEF B 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 试求曲线在矩阵变换下的函数解析式 10 0 2 1 20 01 NMxysin MN C 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线 的极坐标方程为 圆的参数方程为为参数 lsin 6 3 p rq C 10cos 10sin x y q q q 1 请分别把直线 和圆的方程化为直角坐标方程 lC 2 求直线 被圆截得的弦长 l D 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 若不等式对任意恒成立 12f xxx ababa f x a bR 求实数的取值范围 x 必做题 第 22 23 题 每小题 10 分 计 20 分 请把答案写在答题纸的指定区域内 22 本小题满分 10 分 已知为曲线上的动点 定点 若 求动点的A 2 410Cxy 2 0 M 2ATTM T 轨迹方程 23 本小题满分 10 分 已知四棱锥的底面为直角梯形 底面 且PABCD 90 ABCDDABPA ABCD 是的中点 1 1 2 PAADDCABM PB 1 证明 平面平面 PAD PCD 2 求与所成角的余弦值 ACPB 3 求平面与平面所成二面角AMCBMC 锐角 的余弦值 M P A D B C 江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案 第第 卷卷 一 填空题 每小题 5 分 题号答案试题出处知识点能力难度 134i 模考题改编复数的运算 共轭复数运算易 2 2 1 0 教材改编集合的交集与补集运算易 375教材改编分层抽样运算易 4 3 3 yx 教材改编双曲线的几何性质运算易 51教材改编向量的数量积运算易 6 5 16 教材改编算法流程图识图易 7 教材改编立体几何的判定和性质定理空间想象中 8 5 12 原创概率问题 向量的夹角运算中 9448教材改编等比数列的性质 求和运算中 10 10 x 3450 xy 教材改编 直线和圆的位置关系 点到直 线的距离公式 运算中 11 2 模考题改编正弦定理 角度范围的确定直觉 图形分析较难 12 e 原创题 函数的奇偶性 函数求导 函 数单调性 图象分析难 131模考题改编 函数求导 构造函数及画新函 数图像 转化 运算难 1425模考题改编基本不等式求最值转化难 二 解答题 15 解 1 的面积为 且 ABCS2AB ACS 2 分分 1 cos2sin 2 bcAbcA 3 分分sin2cosAA 为锐角 且 5 分分A 22222 13 sincossinsinsin1 22 AAAAA 6 分分 6 sin 3 A 2 设 中角对边分别为ABC A B C a b c 7 分分 3ABc 2 3ABACCBa 由正弦定理得 即 9 分分 sinsin ca CA 32 3 sin6 3 C 又 则锐角 10 分分 2 sin 2 C ca C 11 分分 4 C 12 分分 sinsin sincoscossin 444 BAAA 14 分分 62322 36 32326 说明说明 本题是由模拟试题改编 考查三角形中的边角关系 向量的数量积运算 考查正本题是由模拟试题改编 考查三角形中的边角关系 向量的数量积运算 考查正 弦定理 三角变换 考查学生的字母符号处理能力 运算能力能力 书写表达弦定理 三角变换 考查学生的字母符号处理能力 运算能力能力 书写表达 16 解 1 因为 是正三角形 且 所以 2 分分 BCDABBCa 2 3 4 BCD Sa 因为 平面 ABBCD S BCD 5 分分 1 3 D ABCA BCD VVAB 2 13 34 aa 3 3 12 a 2 在底面在底面中中 以下运用的定理不交代在同一平面中 扣 以下运用的定理不交代在同一平面中 扣 1 分 分 ABC 取的中点 连接 ACHBHABBC BHAC 为的中点 3 AFFC FCH 为的中点 EBC 是正三角形 BCDDEBC EF 6EFAC 分 BH B BC ABB AA CB BC 面 9 8 DEABC AB DE CAC AC 面分 分 面 7 BCD B AB ABDE DCED 面 分 面 A DE EF CEF DEE DEF FE 面 10 分分ACDEF 面 注意 涉及到立体几何中的结论 缺少一个条件 扣 注意 涉及到立体几何中的结论 缺少一个条件 扣 1 1 分 扣满该逻辑段得分为止 分 扣满该逻辑段得分为止 3 当时 连 设 连 3 8 CNCA CMCMDEO OF 为 的重心 当时 11 分分 OBCD 2 3 COCM 2 3 CFCN MN OF 14 分分MN DEF面 说明说明 本题是由模考题改编 考查锥体体积 垂直的判定 平行的判定 考查空间想象本题是由模考题改编 考查锥体体积 垂直的判定 平行的判定 考查空间想象 能力和识图能力 规范化书写表达能力能力和识图能力 规范化书写表达能力 17 解 设的单位为百海里 x 1 由 2 分分OAB 2cosABOAA 2cos A2cosADAB 在 中 3 分分AOD 22 2cos 2 ODfOAOBOA OB 定义域 1 分 5 分分 2 14cos4cossin 0 2 若小岛 O 到的距离为 6 分分ABx 22 2 1ABx 8 分分 22 22 ADAB ODg xx 定义域 1 分 10 分分 22 212xxx 0 1 x 2 22 4cos14cossinOD 0 2 1cos2sin2 414 22 2 sin2cos2 3 11 分分 2 2sin 2 3 0 42 当 则时 即 取得最大值 12 分分 5 2 444 2 42 8 OD 此时 百海里 13 分分 1cos 4 2cos222 82 AB 答 当间距离海里时 搜救范围最大 14 分分 AB100 22 说明说明 本题是原创题 考查余弦定理 三角恒等变换 数学建模的能力 选择合适的模本题是原创题 考查余弦定理 三角恒等变换 数学建模的能力 选择合适的模 型求最值的问题型求最值的问题 OFDEF EMND F 面 面 18 解 1 由题意 则 每个 每个 1 分 分 3 分分 2 1 2 c c a 2 1 1abc 椭圆的方程为 4 分分 2 2 1 2 x y 2 斜率均存在 设直线方程为 AB CDAB 1 yk x 1212 1122 1 22 xxxx A x yB xyMk 得 5 分分 22 1 220 yk x xy 2222 12 4220kxk xk 故 6 分分 2 12 2 2 12 2 4 12 22 12 k xx k k x x k 2 22 2 1212 kk M kk 将上式中的换成 则同理可得 8 分分k 1 k 22 2 22 k N kk 如 得 则直线斜率不存在 2 22 22 122 k kk 1k MN 此时直线过点 下证动直线过定点 9 分分MN 2 0 3 MN 2 0 3 P 法一 法一 若直线斜率存在 则 MN 2 22 242 22 33 3 122 222221 122 MN kk kkk kk k kkk kk 直线为 11 分分MN 222 32 2212 kk yx kkk 令 得 0y 22 222 2212312 232323 kk x kkk 综上 直线过定点 12 分分MN 2 0 3 法二 法二 动直线最多过一个定点 由对称性可知 定点必在轴上 设与轴交MNx 2 3 x x 点为 下证动直线过定点 2 0 3 PMN 2 0 3 P 当1k 时 PM k 10 分分 2 22 2 3 12 2221 123 k k k kk k 同理将上式中的换成 可得 11 分分k 1 k 2 2 1 33 1 221 1 PM k k k k k 则 PMPN kk 直线过定点 12 分分MN 2 0 3 P 3 由第 2 问可知直线过定点 MN 2 0 3 P 故 S FMN S FPM S FPN 22 1111 23 223 12 kk kk 13 分分 22 2242 1 33 1 1 6 2 12 2252 kkkk kkkk 2 2 1 1 2 2 25 k k k k 令 S FMN 14 分分 1 2 tk k 2 1 22 2 5 t f t t 2 1 221 t t 则在单调递减 15 分分 2 22 1 12 0 2 21 t ft t f t 2 t 当时取得最大值 此时 S FMN取得最大值 此时 16 分分2t f t 1 9 1k 说明说明 本题原创本题原创 考查椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 考查函数最值 定点定值问考查椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 考查函数最值 定点定值问 题题型 考查变量代换法 函数思想 分类讨论思想 一般与特殊思想 考查运算能力 题题型 考查变量代换法 函数思想 分类讨论思想 一般与特殊思想 考查运算能力 演绎论证 分析法证明 能力 直觉思维能力 猜想探究能力演绎论证 分析法证明 能力 直觉思维能力 猜想探究能力 本题可以不妨设本题可以不妨设 可直接对 可直接对求导 判断单调性求导 判断单调性 0k 2 42 1 252 k k kk 19 解 1 若 令 1 分分 1 1 x 1 2 2 2 x m 在上为增函数 2 分分 22 11 24 f xl mmmm 1 2 2 3 分分 minmin 11 24 f xl ml maxmax 2 2f xl ml 值域为 4 分分 f x 1 2 4 2 实数满足 则 s t 0f sf t 42420 sstt 则 6 分分 2 22 22 22 0 sts tst 而 故 7 分分22 st a 2s tb 2 20aba 2 1 2 bg aaa 由题意 则 故 8 分分0 0ba 2 1 0 2 aa 1a 又 2 22 22442 2 st stst 即 故 当且仅当时取得等号 9 分分 2 2 a a 2a st 综上 10 分分12a 3 88 22 4224 ststsstt a ab 12 分分 232 1113 2222 a aaaaa 1 2 a 令 32 13 1 2 22 h aaaa 当恒成立 14 分分 h a 2 33 3 2 0 22 a aa a 1 2 a 故在单调递增 故 16 分分 h a 1 2 a 1 2 h ahh 88 st 1 2 说明说明 本题原创 考查二次函数 指数函数的单调性 考查基本不等式 导数的应用 本题原创 考查二次函数 指数函数的单调性 考查基本不等式 导数的应用 考查换元法 划归思想 考查运算变形能力考查换元法 划归思想 考查运算变形能力 20 解 1 设的公差为 由题意 数列的前几项为 n bd n b 2 分分 112 1 bab 324563789104 19ba b b ba b b b ba 为的第 10 项 则 4 分分 4 a n b 101 9bbd 而 5 分分2d 1 1b 故数列的通项公式为 6 分分 n b n b12 1 21nn 2 由 为常数 2 nn Sb 得 7 分分 222 2 2 nnnn Sbbb 当得 1n 2 212 当时 2n 22 111 22 nnn Sbb 得 8 分分 22 11 22 nnnnn bbbbb 则 9 分分 1 2 2 2 2 nnnn bd bbddbdd 若 则 代入 式 得 不成立 10 分分0d 1 1 n bb 20 法一 法一 当 常数 恒成立 又为正项等差数列 2n 2 22 2 n d bdd n b 当时 不为常数 则得 11 分分0d n b 2 220 20 d dd 1 1 2 d 代入 式 得 12 分分 1 4 法二 法二 即 2 2 2 nn bdbdd 2 22 2 n d bdd 2 1 22 1 2d bnddd 则对 2 恒成立 22 2 1 2 1 2dd nddd n 令 得 解得 11 分分2 3n 22 22 4 1 2 1 2 6 1 2 1 2 ddddd ddddd 1 1 2 d 或者 常数 则 得 22 2 1 2 1 2dd nddd 2 1 0dd 1d 当时 代入上式得 1d 1 2 代入 式 得 12 分分 1 4 法三 法三 由 1 2 2 2 nnn bd bbd n 得 112 2 2 3 nnn bd bbd n 得 2 22dd 代入上式得 11 分分1d 1 2 代入 式 得 12 分分 1 4 所以等差数列的首项为 公差为 则 13 分分 n b 1 1b 1d n bn 设中的第项为数列中的第项 则前面共有的项 又插入 n an n bk n a n a1n 了项 则 15 分分 1 123 1 2 n n n 1 1 1 2 n n kn 2 2 nn 故 16 分分 2 2 nk nn abk 说明说明 本题是原创题 考查等差数列的性质 通项 求和 简单递推 考查一般与特殊本题是原创题 考查等差数列的性质 通项 求和 简单递推 考查一般与特殊 思想 转化与划归思想 考查运算能力 考查分析探究能力思想 转化与划归思想 考查运算能力 考查分析探究能力 第第 卷理科