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IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 0 目录目录 摘摘 要要 1 1 第第 1 1 章章绪绪 论论 2 2 1 1数字滤波器的研究背景与意义 2 1 2数字滤波器的应用现状与发展趋势 2 1 3数字滤波器的实现方法分析 4 1 4本章小结 4 第第 2 2 章章数字滤波器的概述数字滤波器的概述 5 5 2 1数字滤波器的基本结构 5 2 2IIR 滤波器的基本结构 5 2 3 FIR 滤波器的基本结构 7 2 4数字滤波器的设计原理 8 2 5滤波器的性能指标 9 2 6 IIR 数字滤波器的设计方法 9 2 7 FIR 数字滤波器的设计方法 10 2 8 IIR 滤波器与 FIR 滤波器的分析比较 12 2 9本章小节 13 第第 3 3 章章数字滤波器的算法设计数字滤波器的算法设计 1414 3 1由模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器 14 3 2巴特奥兹滤波器 14 3 3切比雪夫滤波器 15 3 4椭圆滤波器 17 3 5用MATLAB设计数字滤波器 18 IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 0 摘要 本文分析了数字滤波技术的应用现状与发展趋势 数字滤波器设计的意义 介绍了数字滤波器 的基本结构 分别讨论了 IIR 与 FIR 数字滤波器的设计的基本过程和设计方法 及 IIR 与 FIR 数字滤 波器设计的优缺点 讨论了 IIR 与 FIR 数字滤波器设计的基本结构 关键字 IIR 数字滤波器 FIR 数字滤波器 模拟滤波器 基本结构 IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 1 一 引言 1 1 数字滤波器设计的现状及意义 当今 数字信号处理 DSP Digital Signal Processing 技术正飞速发展 它不但自成一门学科 更是以不同形式影响和渗透到其他学科 它与国民经济息息相关 与国防建设紧密相连 它影响或改 变着我们的生产 生活方式 因此受到人们普遍的关注 在近代电信设备和各类控制系统中 数字滤 波器应用极为广泛 数字滤波技术是数字信号分析 处理技术的重要分支 无论是信号的获取 传输 还是信号的处 理和交换都离不开滤波技术 它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关重要的 在所有的电子系统 中 使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了 数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣 1 2 数字滤波器的发展前景 数字滤波器精确度高 使用灵活 可靠性高 具有模拟设备所没有的许多优点 已广泛地应用 于各个科学技术领域 例如数字电视 音乐 语音 通信 雷达 声纳 遥感 图像 生物医学以及 许多工程应用领域 随着信息时代数字时代的到来 数字滤波技术已经成为一门极其重要的学科和技 术领域 以往的滤波器大多采用模拟电路技术 但是 模拟电路技术存在很多难以解决的问题 例如 模拟电路元件对温度的敏感性 等等 而采用数字技术则避免很多类似的难题 当然数字滤波器在其 他方面也有很多突出的优点 这些都是模拟技术所不能及的 所以采用数字滤波器对信号进行处理是 目前的发展方向 二 IIR 数字滤波器设计 2 1 IIR 数字滤波器设计的基本过程 2 1 1 设计过程 数字滤波器是一个离散系统 其系统函数一般可表示为的有理多项式形式 即 z 1 2 1 N i j i M j j j za zb zH 1 0 1 当 i 1 2 N 都为 0 时 由式 1 1 描述的系统称为有限脉冲响应数字滤波 i a IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 2 器 简称 FIR 数字滤波器 当系数 i 1 2 N 中至少有一个是非 0 时 式 1 i a 1 描述的系统称为无限脉冲响应数字滤波器 简称 IIR 数字滤波器 对于 IIR 数字滤波 器 一般满足 MN 这时将系统称为 N 阶 IIR 数字滤波器 对于 FIR 数字滤波器 系统 函数中的有理多项式的最高次幂 M 就是其阶数 z 1 IIR 滤波器的设计就是根据给定的数字滤波器技术指标 确定式 1 1 中滤波器的阶 数 N 和系数 在满足技术指标的条件下 滤波器的阶数应尽可能的低 因为滤波 i a j b 器阶数越低 实现滤波器的成本就越低 在设计 IIR 滤波器时 一般是通过模拟滤波器来设计数字滤波器 设计方法是先将数字滤 波器技术指标转换为对应的模拟滤波器技术指标 然后设计满足技术指标的模拟滤波器 H s 再将模拟滤波器 H s 转换为对应的数字滤波器 H z 如图 1 1 所示 因此 在 IIR 数字滤波器设计中 模拟滤波器设计是基础 模拟滤波器到数字滤波器的转换是核心 模拟滤 波器指标 模拟滤波 器 H s 数字滤波 器 H z 频率 转换 设计模拟 滤波器 s 域到 z 域 转换 图 2 1 IIR 数字滤波器的设计过程 2 1 2 模拟滤波器的设计及方法 常见的 IIR 滤波器设计是以模拟滤波器设计为基础的 模拟滤波器的设计是求出满足 技术指标的连续系统的系统函数 H s 模拟滤波器的技术指标与数字滤波器类似 有通 带截频 通带最大衰减 阻带截频 阻带最小衰减 在设 srad p p A srad s s A 计模拟滤波器时 先将待设计的模拟滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器技术指标 然 后设计模拟低通滤波器 再通过频率变换将模拟低通滤波器转换为所需的滤波器 因此 模拟低通滤波器的设计是模拟滤波器设计的基础 比较常用的模拟低通滤波器是 待设计数字滤 波器指标 IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 3 Butterworth 和 Chebyshev Butterworth 模拟低通滤波器 Butterworth 模拟低通滤波器简称为 BW 型低通滤波器 其幅度响应的模方定义为 2 2 N c jH 2 2 1 1 式中 N 为滤波器阶数 为滤波器的 3dB 截止频率 c Butterworth 模拟低通滤波器的幅度响应具有如下特性 1 1 2 0 jH0 2 jH 2 由于 所以幅度响应随着的增加单调下降 0 1 2 22 12 2 N C N C N d jHd 3 在 0 点 1 到 2N 1 阶导数为 0 即在 0 具有最大平坦性 2 H j Butterworth 模拟低通滤波器的设计步骤为 1 有滤波器的设计指标 和式确定滤波器 p p A s s A lg 2 110 110 lg 1 0 1 0 ps A A p s N 的阶数 N 2 由式 确定 N A p p2 1 1 0 110 c NA s s 2 11 0 110 c 3 由式计算 s 左半平面的 N 个极点 2 12 2 1 N k j ck es 4 由式确定滤波器的系统函数 H s N k k k ss s sH 1 Chebyshev 模拟低通滤波器 Chebyshev 模拟低通滤波器的幅度响应在一个频带内具有等波纹特性 Chebyshev 型模拟低通滤波器的幅度响应在通带内是等波纹的 在阻带单调下降 Chebyshev 型模拟低通滤波器的幅度响应在通带单调下降 而在阻带是等波纹的 IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 4 Chebyshev 型模拟低通滤波器 Chebyshev 型模拟低通滤波器简称 CB 型模拟低通滤波器 其幅度响应的模方为 2 4 1 1 2 2 cN C jH 其中 N 为滤波器阶数 和是滤波器参数 是 N 阶 Chebyshev 多项式 定义为 c xCN 2 5 CB 型模拟低通滤波器的幅度响应具有以下特性 1 在 0 时的值为 2 H j N 为奇数时 1 2 0 jH N 为偶数时 2 0 jH 1 1 2 2 当时 在最小值和最大值 1 之间等幅波动 c 0 2 H j 1 1 2 3 当时 单调下降 N 越大 下降速度越快 c 2 H j 其设计步骤如下 1 由通带截频决定 p c 2 6 c p 2 由通带衰减决定 p A 2 7 110 1 0 p A 3 确定和后 根据阻带衰减 由式 2 10 可求出阶数 N 为 c s A 2 8 arccos 110 1 arccos 1 0 ps A h h N s 4 由模方求滤波器的极点 采用 BW 模拟低通滤波器极点计算相同的方法 2 H j 1 arccoscosh 1 arccos cos xxhN xxN xCN IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 5 可求出使 CB 型模拟低通滤波器稳定的极点为 k 1 2 N 2 12 cos cosh 2 12 sin sinh N k j N k s ck 其中 N h 1 arcsin 5 由极点确定系统函数 H s 2 9 N k k ss H sH 1 0 式中是使所设计滤波器的在 0 的值满足条件 其取值为 0 H 2 H j N 为奇数时 N k k sH 1 0 N 为偶数时 N k k sH 1 2 0 1 Chebyshev 型模拟低通滤波器 Chebyshev 型模拟低通滤波器简称 CB 型模拟低通滤波器 其幅度响应的模方 为 2 10 1 1 1 1 22 22 22 2 cN cN cN C C C jH 其中 N 为滤波器阶数 和是滤波器参数 Chebyshev 型模拟低通滤波器的幅度响应 c 应具有以下特性 1 当时 有 c 2 11 2 2 2 1 H j0 参数控制了滤波器幅度响应在阻带波动的大小 2 对任意 N 和 0 c 1 0 H 3 在通带时 单调下降 c 0 2 H j Chebyshev 型模拟低通滤波器既有极点也有零点 但设计过程与 Chebyshev 型模拟低通滤波器类似 具体步骤如下 IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 6 1 由阻带截频决定 s c 2 12 c s 2 由阻带衰减决定 s A 2 13 110 1 0 s A 3 确定和后 根据通带衰减 由式 1 10 可求出阶数 N 为 c p A 2 14 arccos 110 1 arccos 1 0 ps A h h N p 4 由 N 和查表获得 Chebyshev 型模拟低通滤波器的系统函数 H s c 2 1 3 模拟域频率转换 若需要设计高通 带通 带阻等其他类型的模拟滤波器 可通过频率转换的方法实现 其设计过程如图 2 2 所示 首先通过频率转换将模拟非低通滤波器技术指标转换为模拟低 通滤波器 称为原型低通滤波器 技术指标 通过 BW 型和 CB 型设计原型低通滤波器 然 后通过复频率变换将原型低通滤波器的系统函数转换为对应的模拟滤波器系统函数 图 2 2 模拟滤波器的设计过程 复频域转换应满足以下两个条件 1 若原型低通滤波器的是有理函数 则变换后的模拟滤波器 H s 也是有理函 sHL 数 2 变换后的模拟滤波器仍是稳定的 即 的左半平面必须映射到 s 的左半平面 的ss 右半平面必须映射到 s 的右半平面 虚轴必须映射到虚轴 j j 常用的原型低通滤波器到高通 带通 带阻滤波器的频率变换见表 2 1 表 2 1 模拟频率变换 待设计模拟 滤波器指标 原型模拟低通 滤波器指标 原型低通滤 波器 sHL 模拟滤波 器 H s 模拟频 率转换 设计模拟 低通滤波 器 复频率 转换 IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 7 变换类型 频率变换 复频域变换 注释 原型低通 到高通 0 s s 0 是一正参数通 0 常取 1 原型低通 到带通 B 2 0 2 Bs s s 2 0 2 12pp B 21 2 0 pp 原型低通 到带阻 2 0 2 B 2 0 2 s Bs s 12aa B 21 2 0ss 2 1 4 模拟滤波器到数字滤波器的转换 IIR 滤波器设计的基本方法是首先将数字滤波器的设计指标转换为模拟滤波器的设计 指标 然后设计模拟滤波器 H s 再将模拟滤波器 H s 变换为数字滤波器 H z 在将 H s 变换为 H z 时 要求模拟域到数字域的映射满足下列两个条件 1 两者的频率特性不变 即 s 平面的虚轴必须映射到 z 平面的单位圆上 j 2 变换后的滤波器仍是稳定的 即 s 左半平面的必须映射到 z 平面的单位圆内 常用的将模拟滤波器变换为数字滤波器的方法有脉冲响应不变法和双线变换法 2 2 IIR 数字滤波器设计的设计方法 2 2 1 脉冲响应不变法 脉冲响应不变法是一种将模拟滤波器转换为数字滤波器的基本方法 它通过对模拟滤 波器的单位冲激响应 h t 等间隔抽样来获得对应数字滤波器的单位冲激响应 h k 即 2 15 kThthkh kTt 其中 T 为抽样间隔 若已知模拟滤波器的系统函数 H s 先对 H s 进行 Laplace 逆 变换获得 h t 在对 h t 等间隔抽样得到 h k 最后计算 h k 的 z 变换得到 H z 其设计方法如下所示 IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 8 1 将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标 利用模拟频率和数字频率的关系 2 16 T 将数字滤波器的频率指标 转换为没模拟滤波器的技术指标 转换后的模拟滤波 k k 器的通带衰减和阻带衰减与数字滤波器相同 p A s A 2 设计通带截频 通带衰减 阻带截频 阻带衰减的模拟滤波器 p p A s s A 的 H s 3 利用脉冲响应不变法将模拟滤波器的 H s 转换为数字滤波器的 H z 利用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器的步骤如图 2 3 所示 图 2 3 利用脉冲响应不变法将 H s 变换为 H z 也可以利用脉冲响应不变法的基本原理建立 H s 和 H z 的对应关系 当 H s 只有一阶 极点时 脉冲响应不变法可由式 2 23 的映射完成 2 17 1 1 11 zeps Tp l l 同理也可推出 H s 有重阶极点时的映射关系 2 2 2 双线性变换法 双线性变换法的基本思想是先将非带限的模拟滤波器映射为最高频率为的带限T 模拟滤波器 然后将模拟滤波器转换为数字滤波器 由模拟频率计算数字频率的关系为 2 18 2 arctan 2 T 由上式可得由数字频率得到相应的模拟频率的关系式为 1 19 2 tan 2 T 根据式 2 25 可建立 s 域到 z 域的映射关系 模拟滤 波器 H s 单位冲 激响应 h t 单位脉冲响应 kThkh 数字滤波 器 H z Laplace 逆变换 等间隔抽 样 t kT z 变换 IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 9 2 20 1 1 1 12 z z T s 可解得 z 为 2 21 sT sT z 2 2 式 2 26 和 2 27 称为双线性变换 利用双线性变换法设计通带截频 通带衰减 阻带截频 阻带衰减的 p p A s s A 数字滤波器的步骤如下 1 由式 2 25 见数字滤波器的频率指标 转换为模拟滤波器的频率指标 k k 2 设计通带截频 通带衰减 阻带截频 阻带衰减的模拟滤波器 p p A s s A H s 3 利用双线性变换法将模拟滤波器的 H s 转换为数字滤波器的 H z 2 22 1 1 1 12 z z T s sHzH 2 3 脉冲响应不变法和双线性变换法优缺点比较 脉冲响应不变法优缺点 优点 模拟滤波器的频率响应是在带限或是阻带衰减较大的情况下 数字滤波器能较 好地保持模拟滤波器的幅度响应 缺点 数字滤波器的频率响应都会存在一定程度的混叠 对模拟高通和带阻滤波器 由于严重的混叠 不能用脉冲响应不变法将模拟高通和带阻滤波器转换为数字滤波器 双线性不变法优缺点 双线性变换法与脉冲响应不变法相比 其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象 三 线性相位 FIR 数字滤波器 3 1 线性相位 FIR 数字滤波器的基本特性 FIR 数字滤波器是指系统的单位脉冲响应 h k 仅在有限范围内有非 0 值得滤波器 M IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 10 阶 FIR 数字滤波器的系统函数 H z 也表示为 3 1 M k k zkhzH 0 H z 是的 M 阶多项式 在有限 z 平面 H z 有 M 阶零点 而它的 M 阶极点都位于 z 平 1 z 面原点 z 0 若 M 阶 FIR 滤波器的频率响应可表示为 j eH 3 2 jj eAeH 式中和是与无关的常数 是一可正可负的实数 则该滤波器称为广义线性系 A 统 称为系统的幅度函数 A 如果 M 阶 FIR 滤波器的单位脉冲函数 h k 是实数 则可证明系统是线性相位的充要 条件是 3 3 kMhkh 四种不同类型的线性相位 FIR 系统 由于 h k 的对称性及滤波器阶数的奇偶不同 其频域特性各有其特点 表 3 1 总结了四种线性相位 FIR 滤波器的特性 表 3 1 四种线性相位 FIR 滤波器的特性 类型 阶数 M偶数奇数偶数奇数 h k 的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称 0 5M0 5M0 5M0 5M 000 5 0 5 关于 0 A 的对称性 偶对称偶对称奇对称奇对称 关于 A偶对称奇对称奇对称偶对称 IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 11 的对称 性 类型 的周期 A 2 4 2 4 A 0 任意任意 00 A 任意 00 任意 可适用的滤波器 类型 LP BP HP BS 等 LP BP 微分器 Hilbert 变换器 微分器 Hilbert 变换器 HP 等 对四种不同类型的线性相位系统在 1 的零点有如下结论 k z 1 型 FIR 滤波器 在 1 和 1 无零点或者有偶数个零点 k z k z 2 型 FIR 滤波器 在 1 有奇数个零点 在 1 无零点或者有偶数个零点 k z k z 3 型 FIR 滤波器 在 1 和 1 有奇数个零点 k z k z 4 型 FIR 滤波器 在 1 有奇数个零点 在 1 无零点或者有偶数个零点 k z k z 3 2 FIR 数字滤波器的设计方法 窗函数法和频率取样法 3 2 1 窗函数法 窗函数法设计 FIR 滤波器的基本思想是在时域逼近理想滤波器的单位脉冲响应 首先 根据逼近的理想滤波器的频率响应 由 IDTFT 求出理想滤波器的单位脉冲响应 j d eH 再将无限长的加窗截取得到有限序列 h k 为了获得线性相位 FIR 滤波器 khd khd 在窗函数法设计 FIR 滤波器的过程中 需要将线性相位因子加入理想滤波器的 5 0 Mj e 频率响应 具体步骤如下 j d eH 1 根据所需设计的滤波器 确定线性相位滤波器的类型 型 型 型 IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 12 型 2 确定理想滤波器的幅度函数 d A 3 确定理想滤波器的相位 d 0 5M d 对于 型和 型线性相位 FIR 滤波器 0 对 型和 型线性相位 FIR 滤波器 2 4 由式 3 4 计算 khd 3 4 deeAkh jkj dd d 2 1 5 截断得 khd 3 5 kkhkh d 其中是长度 N M 1 的矩形窗 k 3 2 2 频率取样法 频率取样法的基本思想是使设计的 M 阶 FIR 滤波器的频率响应在 M 1 个取样 j eH 点 m 1 2 M 上与理想滤波器的频率响应 即 m 3 6 M k jkjj d mmm ekheHeH 0 因此 频率取样法设计 FIR 滤波器的主要任务是求出满足式 3 6 的 h k 频率取样法设计 FIR 滤波器的具体步骤如下 1 根据所需设计的滤波器 确定线性相位滤波器的类型 I 型 型 型 型 2 确定理想滤波器的幅度函数 d A 3 确定理想滤波器的相位 d IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 13 3 7 对于 I M d 5 0 型 型线性相位 FIR 滤波器 0 对于 型 型线性相位 FIR 滤波器 2 4 确定在 M 1 个取样点上的值 Hd m j d eH 5 对做 M 1 点 IDFT 得到 M 1 点 h k mHd 3 3 窗函数法与频率取样法的比较 四 IIR 和 FIR 数字滤波器的基本结构研究 4 1 IIR 数字滤波器的基本结构 实现 IIR 数字滤波器的结构主要有直接型 级联型和并联型三种基本结构 4 1 1 直接形结构 IIR 数字滤波器的系统函数 H z 可以看成系统函数分别为和的两个子系统 1 zH 2 zH 级联 即 3 8 其中 3 9 3 10 分别画出其信号流图 将其级联后得到直接型信号流图 1 21 1 0 zHzH za zb zH N j j j M i i i M i i iz bzH 0 1 N j j jz a zH 1 2 1 1 2 a 1 a 1 N a N a N b 2 b 1 b 1 z ky 1 z 1 z 1 z 0 b 1 z 1 z 1 z 1 z x k IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 14 IIR 数字滤波器直接 I 型结构 五 关于 IIR 和 FIR 数字滤波器的总结 5 1 IIR 和 FIR 数字滤波器的主要优缺点 1 选择数字滤波器是必须考虑经济问题 通常将硬件的复杂性 芯片的面积或计算 速度等作为衡量经济问题的因素 在相同的技术指标要求下 由于 IIR 数字滤波器存在输 出对输入的反馈 因此可以用较少的阶数来满足要求 所用的存储单元少 运算次数少 较为经济 例如 用频率抽样法设计一个阻带衰减为 20dB 的 FIR 数字滤波器 要 33 阶才 能达到要求 而用双线性变换法只需 4 5 阶的切比雪夫 IIR 滤波器就可达到同样的技术 指标 这就是说 FIR 滤波器的阶数要高 5 10 倍左右 x k 0b 0 b IIRIIR 和和 FIRFIR 数字滤波器的设计及其结构研究数字滤波器的设计及其结构研究 15 2 在很多情况下 FIR 数字滤波器的线性相位与它的高阶数带来的额外成本相比是 非常值得的 对于 IIR 滤波器 选择性越好 其相位的非线性越严重 如果要使 IIR 滤波 器获得线性相位 又满足幅度滤波器的技术要求 必须加全通网络进行相位校正 这同样 将大大增加滤波器的阶数 就这一点来看 FIR 滤波器优于 IIR 滤波器 3 FIR 滤波器主要采用非递归结构 因而无论是理论上还是实际的有限精度运算中 他都是稳定的 有限精度运算误差也较小 IIR 滤波器必须采用递归结构 极点必须在z 平面单位圆内才能稳定 对于这种结构 运算中的舍入处理有时会引起寄生振荡 4 对于 FIR 滤波器 由于冲激响应是有限长的 因此可以用快速傅里叶变换算法 这样运算速度可以快得多 IIR 滤波器不能进行这样的运算 5 从设计上看 IIR 滤波器可以利用模拟滤波器设计的现成的闭合公式 数据和表 格 可以用完整的设计公式来设计各种选频滤波器 一旦选定了已知的一种逼近方法 如 巴特奥兹 切比雪夫等 就可以直接把技术指标带入一组设计方程计算出滤波器的阶次 和系统函数的系数 或极点和零点 FIR 滤波器则一般没有现