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质点系动量 角动量 动能与作用力的关系质点系动量 角动量 动能与作用力的关系 摘要 质点系是由多个质点组成的系统 是力学中常见的一类研 究对象 在研究质点系的运动规律时 往往将各个质点所受的力分为 两类 一类是质点系内各个质点之间的相互作用力 称为内力 另一 类是质点系外的物体对质点系内质点的作用力 称为外力 本文将要 推导质点系的动量定理 角动量定理 动能定理 即质点系动量 角 动量 动能与内力外力的关系 关键词 质点系 动量 角动量 动能 一 质点系的动量定理 一 质点系的动量定理 考虑由 N N 1 个质点组成的质点系 对其中的第 i 个质点应用牛顿第二 定律得 dt m d ii ij iji v fF 其中 Fi为第 i 个质点所受的外力的和 f ij 为第 i 个质点所受的第 j 个质 点对它的作用力 ij ijf为第 i 个质点所受的所有内力的和 上式对 i 求和 dt m d i ii iij ij i i v fF 左侧 i iF 是质点系中所有质点所受外力的矢量和 称为质点系所受的 合外力F i iF F iij ijf 是质点系中所有质点所受内力的矢量和 由 牛顿第三定律得 FFjiij 故 iij ijf 大小为 0 右侧 vi im 为第 i 个 质点的动量 i iim d v 是质点系中所有质点动量的和 即质点系的动量 N i i N i iim 11 pp v 质点系的动量等于组成质点系的所有质点动量的矢量和 则 dt d i i p F F dtdFp 质点系受到的合外力等于质点系动量对时间的变化率 则无限小的时间间隔 dt 内 质点系的动量增量等于作用于质点系合外力的冲量 对上式积分得 pp FI 12 2 1 t t dt 此即为质点系动量定理的微分形式 由上讨论可知 内力不能改变质点系的动量 也不能使质点系产生加速内力不能改变质点系的动量 也不能使质点系产生加速 度度 二 质点系的角动量定理 二 质点系的角动量定理 质点系角动量的计算类似于质点系的动量定理 将每个质点受到的力矩分 为两类 一类是质点系以外的物体作用力的力矩之和 M 外j 另一类是质点系 内内力力矩之和 M 内j 这样对第 j 个质点 dt j jj L MM d 内外 求和 得 dt j N j j N j j N 1j 11 d L MM内外 上式右侧为质点系中所有质点角动量的矢量和 也就是质点系的角动量 L 左 侧第一项为所有质点受到的外力矩的矢量和 也就是质点系受到的合外力矩 M 左侧第二项为质点系内所有质点受到的内力力矩的矢量和 讨论一对作用 力和反作用力对同一点的力矩和 用 Fjk 和Fkj表示两质点 k j 间的一对力 由 牛顿第三定律得 FFkjjk 两力对同一固定点 O 的力矩和为 FFFFFjkkjjkkjkjkjkjkjrrrrrr rrkj 的方向沿着两质点的连线的方向由 k 指向 j 与F jk 间的夹角为 所 以上式右侧为 0 即一对力对同一固定点的力矩和为 0 N j j 1M 内是所有内力力矩 对同一固定点的力矩和 其值为 0 所以 对于质点系 dt dL M 质点系所受到的合外力矩等于质点系角动量对时间的变化率 这就是质点系的角 动量定理 由上讨论可知 对于一个固定点 质点系内力矩和为对于一个固定点 质点系内力矩和为 0 内力矩不改变 内力矩不改变 质点系的角动量 质点系的角动量 三 质点系的动能定理 三 质点系的动能定理 质点系的动能等于组成质点系的各个质点的动能之和 设质点系由 N N 1 个 质点组成 初态动能为E jak 末态动能为E jbk 质点系处于初态时 第 j 个质点 的动能为E jak 系统处于末态时 第 j 个质点的动能为E jbk 第 j 个质点在运动 过程中 作用于其上的各个力功的和与其初 末态动能之间满足 EEWjakjbkj Wj是作用在第 j 个质点上合力的功 对于质点系中的质点 它受到的作用力分 为外力和内力 同样质点系中作用于一个质点上合力的功可以分为两类 一类是 内力功的和W j 内 另一类是外力功的和W j 外 则 EEWWjakjbkjj 内外 求和 得 N j jak N j jbk N j j N j jEEWW 1 1 1 1 内外 式中 N j jW 1 外为作用于各个质点上所有外力功的和 W外 N j jW 1 内为内力功 的和 W 内 则 EEWWkakb 内外 上式表明 质点系外力功与内力功的和 为质点系动能的增量 这就是质点系的 动能定理 由以上讨论得 内力的功可以改变质点系的动能内力的功可以改变质点系的动能 四 四 总结总结 质点系的动能变化由内外力所做的功共同决定 质点系动量和角 动量的变化只与外力做功或外力力矩做功有关 动量定理和角动量定 理适用于惯性参考