高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程课件 文 北师大版.ppt

第8节函数与方程 结合二次函数的图像 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 当函数y f x 在 a b 内有零点时 是否一定有f a f b 0 2 若函数y f x 在区间 a b 上的图像不是连续不断的曲线 满足f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点吗 知识梳理 1 函数的零点 实数根 x轴 零点 f a f b 0 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图像与零点的关系 一 两 零 把握零点 函数图像与x轴交点的关系 夯基自测 d 解析 选项a错误 函数f x x2 1的零点为 1和1 选项b错误 函数f x x2 x在 1 2 上有两个零点 但f 1 f 2 0 选项c错误 当b2 4ac 0时 二次函数图象与x轴无交点或有且仅有一个交点 从而二次函数没有零点或有一个零点 选项d正确 由已知条件 数形结合得f x 与x轴在区间 a b 上有且仅有一个交点 故正确 1 下列说法正确的是 a 函数f x x2 1的零点是 1 0 和 1 0 b 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则一定有f a f b 0 c 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 d 若函数f x 在 a b 上单调且f a f b 0 则函数f x 在 a b 上有且只有一个零点 c 零点存在性定理检验 d 转化为两函数图象交点个数 答案 2 0 4 已知函数f x x2 x a a 0 在区间 0 1 上有零点 则a的取值范围为 根据图像确定条件 考点专项突破在讲练中理解知识 函数零点所在区间的判断 考点一 例1 1 2016高安中学月考 函数f x x5 x 3的零点所在的区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析 1 因为函数f x x5 x 3的图象在x r上是连续的增函数 且f 1 15 1 3 20 所以函数f x x5 x 3在 1 2 上存在零点 故选b 根据函数的单调性利用零点存在性定理检验 反思归纳 1 零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点 对于函数的不变号零点或者函数在区间端点处的函数值同号时 还要综合考虑函数的相关性质进行判断 2 若f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则函数f x 在 a b 内至少有一个零点 2 2016揭阳月考 方程2x 1 x 5的解所在的区间为 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析 2 令f x 2x 1 x 5 由于f 0 0 f 4 0 所以2x 1 x 5的解所在的区间为 2 3 故选c 函数零点个数问题 考点二 例2 1 2015宁夏育才中学模拟 定义在r上的奇函数f x 当x 0时 f x x2 2x 则函数f x f x x的零点个数为 a 4 b 3 c 1 d 0 解析 1 当x 0时 令 x2 2x x 解得x 0或x 1 因为函数f x 是奇函数 所以函数f x f x x也是奇函数 故零点关于原点对称 故还有一个x 1 所以一共有3个零点 故选b 先求x 0的零点 不要漏掉函数对称性的零点啊 化为x的函数 求两函数图像的交点个数 反思归纳判断函数零点个数的常用方法有三种 1 直接法 方程f x 0解的个数就是函数y f x 零点的个数 2 零点存在性定理 要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图像与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数的零点个数 3 数形结合法 转化为两个函数的图像的交点个数问题 先画出两个函数的图像 其交点的个数就是函数零点的个数 答案 1 d 解析 2 当x 0时 f x x2 2x 3 由f x 0 即x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 因为x 0 所以x 1 当x 0时 f x lnx x2 2x 令f x 0 得lnx x2 2x 如图 分别作出函数y lnx与y x2 2x x 0 的图像 由图可知两个函数图像有两个交点 所以此时函数f x 有两个零点 综上 函数f x 的零点有三个 答案 2 3 转化为两函数图像交点 直接解方程 根据函数零点求参数范围 考点三 例3 2015高考安徽卷 在平面直角坐标系xoy中 若直线y 2a与函数y x a 1的图像只有一个交点 则a的值为 转化为图像问题 反思归纳函数零点的应用问题类型及解题思路 1 已知函数零点情况求参数 根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步 判断函数的单调性 利用零点存在性定理 得到参数所满足的不等式 解不等式 即得参数的取值范围 2 已知函数零点的个数求参数 常利用数形结合法 解析 1 由 f x 2 axf x 0得f x f x ax 0 则f x 0或f x ax 0 如图 作出函数f x 的图像 由函数图像 可知f x 0的解有两个 故要使方程 f x 2 axf x 0恰有5个不同的解 则方程f x ax的解必有三个 即y f x 与y ax必有三个交点 此时0 a 1 所以a的取值范围是 0 1 答案 1 a 2 2015厦门模拟 若函数f x x2 x a 1有四个零点 则实数a的取值范围是 备选例题 解析 函数g x f x m的零点个数就是函数f x 的图像与直线y m的交点个数 如图 作出函数f x 的图像 由图象可知当且仅当m 0 1 时 函数f x 的图像与直线y m有三个交点 即函数g x f x m有三个零点 答案 0 1 解 法一设方程x2 a2 1 x a 2 0的两根分别为x1 x2 x1 x2 则 x1 1 x2 1 0 即x1x2 x1 x2 1 0 由根与系数的关系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 所以 2 a 1 即a的取值范围为 2 1 法二函数图像大致如图 则有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 故 2 a 1 即a的取值范围为 2 1 例3 已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 例4 是否存在这样的实数a 使函数f x x2 3a 2 x a 1在区间 1 3 上与x轴有且只有一个交点 若存在 求出a的范围 若不存在 说明理由 类题探源精析把复杂的问题简单化 数形结合求函数零点个数 教材源题 求函数f x lnx 2x 6的零点个数 解 求f x lnx 2x 6的零点个数可以转化为求函数y lnx与y 2x 6的图象交点个数 在同一坐标系中作出二者图像 由图可知两函数图像有一个交点 所以f x lnx 2x 6仅有一个零点 方法总结利用数形结合思想求函数零点个数的实质是将零点问