圆锥曲线知识点整理.doc

高二数学圆锥曲线知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。1、 三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：，其中F为定点，d为P到定直线的距离，如图。因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。当0e1时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。 （2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：P|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|0，F1、F2为定点，双曲线P|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|2a0，F1，F2为定点。 （3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。 （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x轴上的方程如下：椭 圆双 曲 线抛 物 线标准方程（ab0）（a0，b0）y2=2px（p0）顶 点（a，0） （0，b）（a，0）（0，0）焦 点（c，0）（，0）准 线X=x=中 心（0，0）焦半径P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0P在右支时： |PF1|=a+ex0 |PF2|=-a+ex0P在左支时： |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0|PF|=x0+总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2、 直线和圆锥曲线位置关系（1） 位置关系判断：法（适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。（2） 直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。3、 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。4、圆锥曲线的弦长公式椭圆：设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则 |P1P2|=|x1-x2|或|P1P2|=|y1-y2|K=(y2-y1)/(x2-x1)=双曲线：设直线与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则 |P1P2|=|x1-x2|或|P1P2|=|y1-y2|K=(y2-y1)/(x2-x1)=抛物线：(1)焦点弦：已知抛物线y=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则 |AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin）为弦AB的倾斜角(2)设直线与抛物线交于P1( x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则 |P1P2|=|x1-x2|或|P1P2|=|y1-y2|K=(y2-y1)/(x2-x1)=例题研究例1、 根据下列条件，求双曲线方程。（1） 与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；（2） 与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。分析： 法一：（1）双曲线的渐近线为令x=-3，y=4，因，故点（-3，）在射线（x0）及x轴负半轴之间， 双曲线焦点在x轴上设双曲线方程为，（a0，b0） 有 解之得： 双曲线方程为 （2）设双曲线方程为（a0，b0）则 解之得： 双曲线方程为法二：（1）设双曲线方程为（0） 双曲线方程为（2）设双曲线方程为 解之得：k=4 双曲线方程为评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（0），当0时，焦点在x轴上；当0，b2-k0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。例2、设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求的值。解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。法一：当PF2F1=900时，由得： ， 当F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2 法二：当PF2F1=900， P（） 又F2（，0） |PF2|= |PF1|=2a-|PF2|=当F1PF2=900，由得： P（）。下略。评注：由|PF1|PF2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。例3、已知x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线同时满足下列两个条件：与双曲线交于不同两点；与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。分析：选择适当的直线方程形式，把条件“直线是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。法一：当斜率不存在时，x=-1满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b直线与O相切，设切点为M，则|OM|=1 b2=k2+1 由得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0当k1且0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0）， y0=kx0+b= M在O上 x02+y02=1 (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 由得： 或 直线方程为：或法二：设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1当y0=0时，x0=1，显然只有x=-1满足；当y00时，代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0 y02+x02=1 可进一步化简方程为：(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0由中点坐标公式及韦达定理得：即2x03-x02-2x0+1=0解之得：x0=1(舍)，x0= y0=。下略评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。例4、A、B是抛物线y2=2px（p0）上的两点，且OAOB，（1） 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2） 求证：直线AB过定点；（3） 求弦AB中点P的轨迹方程；（4） 求AOB面积的最小值；分析： 设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0）（1） OAOB kOAkOB=-1 x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 y10，y20 y1y2=-4p2 x1x2=4p2 （2） y12=2px1，y22=2px2 （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) 直线AB： AB过定点（2p，0），设M（2p，0） （3）设OAy=kx，代入y2=2px得：x=0，x= A（）同理，以代k得B（2pk2，-2pk） 即y02=px0-2p2 中点M轨迹方程y2=px-2p2 （4） 当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立 评注：充分利用（1）的结论。 轨迹方程 1、求轨迹方程的几个步骤：（建-设-列-化-证）a.建系（建立平面直角坐标系,多数情况此步省略）b.设点（求哪个点的轨迹，就设它（x,y）c.列式（根据条件列等量关系）d.化简（化到可以看出轨迹的种类）e.证明（改成：修正）（特别是三角形、斜率、弦的中点问题）2、求动点轨迹方程的几种方法 a.直接法：题目怎么说，列式怎么列。 b.定义法：先得到轨迹名称c.代入法（相关点法）:设所求点（x，y）另外点（）找出已知点和所求点的关系 c.参数法：（x,y）中x,y都随另一个量变化而变化消参 e.待定系数法：先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程一：定义法求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。二：直接法此类问题重在寻找数量关系。例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？解 设M点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直接法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.三：参数法此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y4k（x2），（k） M为AB的中点， 消去k，得x2y50。 另外，当k0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB为直角三角形的几何特性： 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB为直角三角形 化简，得x2y50，此即M的轨迹方程。分析3：设M（x，y），由已知l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3：设M（x，y），M为AB中点，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1l2 PAPB，从而kPAkPB1， 注意到l1x轴时，l2y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x2y50 综上可知，点M的轨迹方程为x2y50。【点评】解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直接法，运用了kPAkPB1，这些等量关系。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响练习 一、选择题：6.抛物线上的点到直线的最短距离是（ ）A. B. C. D.8.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（ ） A.4 B.6 C. D. 10.设P为椭圆上一点，两焦点分别为，如果，则椭圆的离心率为 （ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.将答案填在题中横线上.14.过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,则这条弦所在的直线方程是_.15.动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是_三、解答题(本大题共6个大题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.（2）已知双曲线的一条渐近线方程是，并经过点，求此双曲线的标准方程18.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，动点到两点、的距离之和等于4设点的轨迹为(