变量与函数 (2).doc

14.1变量与函数八年级上（人教版）南通市启秀中学 葛晓燕1.教学目标1引导学生在探索实际问题中的数量关系和变化规律中，经历“找出常量和变量,自主建构函数模型,”的过程，渗透函数的三种表示法2通过“讨论函数模型解决实际问题”的过程，引导学生体会“变化与对应”的思想，深化对函数概念实质的认识，体验函数是研究运动变化的重要数学模型，激发学习兴趣和学习积极主动性3培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力2.教学重点、难点重点：函数概念难点：建立函数概念3.教学方法与手段创设情境主体探究合作交流应用提高借助多媒体信息技术的运用，由具体实例逐步过度到抽象定义 4.教学过程一、设置问题情境、探究具体问题，揭示变量和常量的含义世界是运动变化的在事物的变化过程中，有些量是按照某种规律变化的，有些量的数值是始终不变的例如：1将长10cm的绳子围成不同形状的长方形在这个变化过程中，绳子长始终不变，即长方形的周长不变而长、宽和面积都按照一种规律在变化2如果一根弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,在它的下端悬挂重物的过程中 (在弹簧的弹性内) , 弹簧原长变, 重物质量、受力后的弹簧长度都在发生变化.概括： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量二、引申问题，引导学生分析变化过程中的数量关系和变化规律，渗透函数概念的实质. 在前面研究的每个问题中，都出现了变量，它们之间是怎样相互影响，相互制约的?例1：汽车在公路上行驶的过程中，有：路程s，速度v，时间t，三个相关的量（1） 汽车匀速行驶时，例如，v=80km/h，在这个变化过程中，常量是什么？变量是什么？两个变量之间有怎样的关系？用什么样的式子表示？解：在这个变化过程中，v（80km/h）是常量，s、t是变量s=80t 或 当t =1时，s =80； 当s=40时，t=0.5； t=1.5时，s=120； s=160时，t=2； 对于变量t的每一个确定的值， 对于变量s的每一个确定的值另一个变量s都有唯一确定的值 另一个变量t都有唯一确定的值与t对应 与s对应这就是说，在同一个变化过程中，变量s和t之间不是孤立的，而是互相联系的，一个变量t（或s）的变化会引起另一个变量s（或t）的相应变化，这些变化之间存在对应关系（2）在汽车由南通开往南京的过程中，路程s=240km，其中常量、变量分别是什么量？两个变量是按怎样的规律变化的？解：s（240km）是常量，v和t是变量 v= 或 t=当t=2时，v=120； 当v=100时，t=2.4；t=2.5时，v=96； v=120时，t=2； 在第一个变化过程中，s是变量，而在第二个变化过程中，s却是常量；v在第一个变化过程中是常量，而在第二个变化过程中却是变量所以常量和变量是指同一个变化过程中，数值始终不变的量和数值发生变化的量在同一个变化过程中，变量的值之间存在对应关系例2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2011年3月中国银行为“整存整取”的存款方式规定的利率：存期x三月六月一年二年三年五年利率y(%)2.853.053.254.154.755.25在这个表格中，存期、利率是这个变化过程中的两个变量，对于表中每一个确定的存期，都对应着一个确定的利率例如：存期三个月，利率为2.85，存期一年，利率为3.25，这是一个用表格形式表示的数量关系的例子，同学们能否再举一个类似的例子例3：如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t变化而变化.通过看图，我们能直观地看出这一天中的每一时刻的温度例如：这一天凌晨4时气温最低(3），14时气温最高（8），在这个温度随着时间变化的过程中，涉及到时间t和温度T两个变量，通过坐标系中曲线上点的坐标反映了变量之间的对应关系，只要变量t（时间）的值确定，变量T（温度）的值也随之而确定（从图象中可以看出非整点时刻的大约气温，也可以看出变化规律）三、引导学生概括函数、函数值的定义及其表示法 以上三个问题的实际背景是不同的，但它们却有一些共同点，请同学们分析研究（小组议论）1剖析三个问题的共同点，揭示函数定义的实质在一个变化过程中；有两个相关的变量（即一个变量变化时，另一个变量随之发生变化）；对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应单值对应这时另一个变量就是这一个变量的函数我们今天研究的课题是“变量与函数”，请同学们概括函数的定义2函数定义在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数 分别说出以上三个实例中的自变量与自变量的函数3函数值如果当x =a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值例如，在s=60t中，当t =1时，s=60，60是自变量t =1时的函数值函数是对变量而言的，函数值是对具体数值而言的4函数的三种表示形式由实例1、2、3可知，反映两个变量的对应关系的形式有三种：实例1是解析式、实例2是列表、实例3是图象四、教师给出实例，引导学生分析研究问题中的变量间是否是函数关系（突出函数定义中“一个变化过程”、“两个变量”、“单值对应”）例1：判断下列关系是不是函数关系？ 长方形的宽一定时，其长和面积 （是，符合函数定义中的三个要点） 等腰三角形的底边长与面积 （不是，两个变量不相关，即不满足“一个变量变化时，另一个变量随之发生变化”） 关系式 | y | = x中的y与x .（不是，y与x不是单值对应关系，例如x = 1时，y = 1）例2：体检时的一张心电图，其中横向x表示时间，纵向y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量，y与x是函数关系吗？为什么？ （在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值，所以y是x的函数）例3：下列曲线中不能表示y是x的函数的是（D）（A） （B） （C） （D）（图（D）中的曲线不能表示y是x的函数因为在图（D）中，当x = a时，y不是都只有唯一确定的对应值例如，x=0时，对应的y的值有3个从曲线中看，平行于y轴的直线若与曲线相交，都只有一个交点时，这条曲线才能表示函数）总结：辨别变量之间是否存在函数关系，应根据函数的定义中的三个要点：在同一个变化过程中；两个相关的变量；单值对应例4：文化宫周二每张电影票的售价为10元. （1）一场电影的票房收入y(元)与售出电影票x(张)的关系式_，常量是_，变量是_；（2）y是否为x的函数？x是y的函数吗？（3）若买20张电影票需_元，3800元能买_张电影票答案：（1） y=10x、10、x，y（2）根据函数定义知y是x的函数， x = 0.1y x也是y的函数（不是所有具有函数关系的两个变量都互为函数，例如y=x2 ，x2=y） （3）当x=20时，y=1020=200(元)；当y=3800时，3800=10x，x=380(张)五、师生共同小结1函数的定义中的三个要点，函数概念的实质就是运动变化与联系对应；两个变量之间是单值对应的2函数的三种表示形式3研究函数的意义：许多客观事物必须从运动变化的角度研究因为日常生活中的许多问题中的各种变量是相互联系的，而且变量之间存在对应规律，其中就有单值对应关系，刻画这种关系的数学模型就是函数随着学习的深入，会越来越理解这点六、课外作业1列举你熟知的生活中存在函数关系的实例三则并说明其中自变量、函数、对应关系及表达形式2三角形的底边长为7cm， 写出面积S随高h变化的函数关系式； 指出其中的自变量和自变量的函数； 若h=4cm，S等于多少？ 若S=14cm2，则h等于多少？ 3已知函数y= 求当x=0、1时的函数值； 当x取什么值时，函数值为1？4某摩托车油箱可装汽油10L，原装有汽油2L，现再加汽油xL，已知每升汽油2.8元，求出油箱内的汽油总价y(元)与x(L)之间的函数关系式5x与x2是否存在函数关系？为什么？设计说明函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于客观实际。对于函数的起始课，函数概念高度抽象，建立函数模型是本节的难点，将实际问题贯穿于始终，使学生逐步建立函数概念，突破难点。函数概念的实质就是运动变化与联系对应。 学生对函数概念既陌生又熟悉，因为在他们的学习生活和日常中已感受过许多问题中的各种变量是相互联系的，变量之间存在对应规律，而且其中有些是单值对应关系，但是还没有从变化过程中两个变量之间的单值对应的深度来认识，所以本节课的第一个教学目标是，引导学生在探索实际问题中的数量关系和变化规律中，经历“找出常量和变量，自主建构函数模型”的过程。并且通过实例1的研究使学生领悟到同一个量在有的变化过程中是常量，在有的变化过程中是变量，所谓“常量不常”就是这个意思，在过去的教学中，学习了一个新知识后，常常是教师举例讲解或给学生练习，以达到巩固之效，但内化是在教师的引导、指导、合作下通过学习者