高中数学 探究导学课型 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换(二)课件 新人教版必修4.ppt

3 2简单的三角恒等变换 二 自主预习 主题 辅助角公式asinx bcosx sin x 1 能否作为同一个角的正弦 余弦 值和余弦 正弦 值 提示 因为所以与能作为同一个角的正弦 余弦 值和余弦 正弦 值 2 设则asinx bcosx的化简结果是什么 提示 asinx bcosx 3 设则asinx bcosx的化简结果是什么 提示 asinx bcosx 通过以上探究过程 试着写出辅助角公式的两种形式 深度思考 结合教材p140例3你认为应怎样求函数f x asinx bcosx的最小正周期 第一步 第二步 利用辅助角公式将函数f x 化为 y asin x 的形式 预习小测 1 若sin 则cos 等于 解析 选c cos 1 2sin2 2 函数f x sinx cosx x 的最小值为 a 2b c d 1 解析 选d f x 因为 x 所以f x min 3 将下列各式化为asin x 的形式 1 sin2x cos2x 2 sinx cosx 解析 答案 答案 4 函数f x sin 2x 2sin2x的最小正周期是 解析 f x sin2x cos2x 1 cos2x sin2x cos2x sin 2x 所以t 答案 备选训练 求函数f x sinxcosx cos2x的最小正周期和振幅 仿照教材p140例3的解析过程 解析 f x sinxcosx cos2x sin2x cos2x 因为 2 所以周期t 故最小正周期为 振幅为1 互动探究 1 在公式asinx bcosx sin x 中如何确定 提示 的值由tan 来确定 所在的象限与点 a b 所在的象限相同 2 在公式asinx bcosx sin x 中 的值唯一吗 提示 不唯一 一般取 0 2 或 内的角 探究总结 知识归纳 方法总结 三角恒等变换的步骤 题型探究 类型一 辅助角公式的应用 典例1 2016 长春高一检测 已知函数f x asinxcosx acos2x a b a 0 1 求函数的单调递减区间 2 设x f x 的最小值是 2 最大值是 求实数a b的值 解题指南 先将函数式化为asin x m的形式 再求单调区间和最值 解析 1 f x asinxcosx acos2x a b由解得故函数的单调递减区间为 2 因为x 所以所以又因为a 0 所以f x min a b 2 f x max a b 解得a 2 b 延伸探究 1 本例中 若a 0 其他条件不变 试求函数的单调递减区间 解析 由典例的求解过程得k z 解得k z 故函数的单调递减区间为 2 若把本例中的f x 改为f x 4cos x sin 0 且函数f x 的最小正周期为 试讨论f x 在区间上的单调性 解析 f x 4cos x sin因为f x 的最小正周期为 且 0 从而有 1 则f x 若0 x 则当即0 x 时 f x 单调递增 当即时 f x 单调递减 综上可知 f x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 规律总结 运用公式解决三角函数综合问题的思路 补偿训练 2013 新课标全国卷 设当x 时 函数f x sinx 2cosx取得最大值 则cos 解题指南 利用辅助角公式f x asinx bcosx构造求解cos 的值 解析 f x sinx 2cosx sin x 其中tan 2 当x 2k k z 时 函数f x 取得最大值 即 2k k z 所以cos cos sin 又因为tan 2 在第四象限 所以sin 即cos 答案 类型二 三角恒等变换在实际问题中的应用 典例2 点p在直径ab 1的半圆上移动 过p作圆的切线pt且pt 1 pab 问 为何值时 四边形abtp的面积最大 解题指南 将四边形abtp的面积表示为 的三角函数 利用辅助角公式及三角函数的性质求解 解析 如图所示 因为ab为直径 所以 apb 90 又ab 1 所以pa cos pb sin 又pt切圆于p点 tpb pab 所以s四边形abtp s pab s tpb pa pb pt pb sin sin cos sin2 sin2 1 cos2 sin2 cos2 因为0 所以所以当2 即 时 s四边形abtp最大 规律总结 应用三角函数解决实际问题的步骤三角函数的实际应用多与最值有关 解决这类问题的一般步骤如下 1 审读题意 合理地选取 角 为自变量 建立三角函数关系式 2 利用和 差 倍 半角公式进行化简整理 通常要整理为y asin x b的形式 3 在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值 巩固训练 福建沿海的超强台风过后 当地人民积极恢复生产 焊接工王师傅每天都很忙碌 今天他遇到了一个难题 如图所示 有一块扇形钢板 半径为1米 圆心角 施工要求按图中所画的那样 在钢板opq上裁下一块平行四边形钢板aboc 要求使裁下的钢板面积最大 试问王师傅如何确定a的位置 才能使裁下的钢板符合要求 最大面积为多少 解析 连接oa 设 aop 过a作ah op 垂足为点h 在rt aoh中 oh cos ah sin