2019版高考数学复习不等式推理与证明第37讲直接证明与间接证明学案.docx

第37讲直接证明与间接证明考纲要求考情分析命题趋势1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点2了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点.2016江苏卷，202016浙江卷，202016北京卷，20直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.分值：710分1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的_推理论证_，最后推导出所要证明的结论_成立_，这种证明方法叫做综合法框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)(2)分析法定义：从要证明的_结论_出发，逐步寻求使它成立的_充分条件_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法框图表示：.2间接证明反证法：假设原命题_不成立_(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_矛盾_，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾()(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()解析 (1)正确(2)错误分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，不是充要条件(3)错误用反证法证明时，推出的矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾(4)正确2用分析法证明：欲使AB，只需CD，这里是的(B)A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 由题意可知，应有，故是的必要条件3用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设(B)A三个内角都不大于60B三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于60D三个内角至多有两个大于60解析 “至少有一个不大于60”的反面是“都大于60”4在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_等边三角形_.解析 由题意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形5下列条件：ab0；ab0；a0，b0；a0，b0且0，即a，b不为0且同号即可，故有3个一分析法分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证【例1】 已知a0，求证：a2.证明 要证a2，只要证2a，a0，故只要证22，即a244a2222，从而只要证2，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立二综合法综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性【例2】 已知函数f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数yf(x)与函数yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)g(x)解析 (1)f(x)，g(x)bxx2，由题意得解得a0，b1.(2)证明：令h(x)f(x)g(x)ln (x1)x3x2x(x1)，h(x)x2x1，x1，当1x0；当x0时，h(x)0.则h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x)三反证法(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的【例3】 等差数列的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列解析 (1)由已知得d2.故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列1(2018四川成都诊断)要证a2b21a2b20，只要证明(D)A2ab1a2b20Ba2b210C1a2b20D(a21)(b21)0解析 a2b21a2b20(a21)(b21)0，故选D2若0a1a2,0b1b2，且a1a2b1b21，则下列代数式中值最大的是(A)Aa1b1a2b2Ba1a2b1b2Ca1b2a2b1D解析 依题意有0a1，a21,0b1，b20，a1b1a2b2(a1b2a2b1)(b1b2)(a1a2)0，a1b1a2b2a1b1a2b2a1b1a2b2(a1b2a2b1) (b1b2)(a1a2)0，则a1b1a2b2的值最大，故选A3(2018河南洛阳模拟)数列an，bn的每一项都是正数，a18，b116，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列，n1,2,3，.(1)求a2，b2的值；(2)求数列an，bn的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.解析 (1)由2b1a1a2，可得a22b1a124.由ab1b2，可得b236.(2)an，bn，an1成等差数列，2bnanan1.bn，an1，bn1成等比数列，abnbn1.数列an，bn的每一项都是正数，an1.于是当n2时，an.将代入式，可得2.又b116，b236，数列是首项为4，公差为2的等差数列，(n1)d2n2，于是bn4(n1)2.则an4n(n1)当n1时，a18，满足上式，对一切正整数n，都有an4n(n1)(3)证明：由(2)可知an4n(n1)，.当n3时，.当n1时，当n2时，综上所述，对一切正整数n，有.4已知M是由满足下列条件的函数构成的集合：对任意f(x)M，方程f(x)x0有实数根；函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.(1)判断函数f(x)是不是集合M中的元素，并说明理由；(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在x0(m，n)，使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立试用这一性质证明：方程f(x)x0有且只有一个实数根解析 (1)当x0时，f(0)0，所以方程f(x)x0有实数根0；f(x)cos x，所以，f(x)，满足0f(x)1.由可得，函数f(x)是集合M中的元素(2)证明：假设方程f(x)x0存在两个实数根，()，则f()0，f()0.不妨设，根据题意存在c(，)，满足f()f()()f(c)因为f()，f()，且，所以f(c)1，与已知0f(x)bc，且abc0，求证0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)QBPQCPQD由a的取值确定解析 不妨设PQ，要证PQ，只要证P2Q2，只要证2a722a72，只要证a27aa27a12，只要证012，012成立，PQ成立4要使成立，则a，b应满足(D)AabbBab0且abCab0且a0且ab 或 ab0且ab0，且 ab1，若 0cqBp0，则三个数，(C)A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不小于2D至少有一个不大于2 解析 因为x0，y0，z0，所以6，当且仅当xyz时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2，故选C二、填空题7设a2，b2，则a，b的大小关系为_ab_.解析 a2，b2两式的两边分别平方，可得a2114，b2114，显然.ab.8用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是_a，b，c，d全是负数_.解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”9设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2 b22；ab1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)解析 若a，b，则ab1，但a1，b1，故推不出；若ab1，则ab2，故推不出；若a2，b3，则a2b22，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1，故能推出三、解答题10(2017江苏徐州模拟)如图，AB，CD均为圆O的直径，CE圆O所在的平面，BFCE，求证：(1)平面BCEF平面ACE；(2)直线DF平面ACE.证明 (1)因为CE圆O所在的平面，BC圆O所在的平面，所以CEBC因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以ACBC因为ACCEC，AC，CE平面ACE，所以BC平面ACE.因为BC平面BCEF，所以平面BCEF平面ACE.(2)由(1)知ACBC，又因为CD为圆O的直径，所以BDBC因为AC，BC，BD在同一平面内，所以ACBD因为BD平面ACE，AC平面ACE，所以BD平面ACE.因为BFCE，同理可证BF平面ACE，因为BDBFB，BD，BF平面BDF，所以平面BDF平面ACE.因为DF平面BDF，所以DF平面ACE.11设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解析 (1)分两种情况讨论当q1时，数列an是首项为a1的常数列，所以Sna1a1a1a1na1.当q1时，Sna1a2an1anqSnqa1qa2qan1qan.将上面两式相减得(1q)Sna1(a2qa1)(a3qa2)(anqan1)qana1qanSn.综上，Sn，综上，Sn(2)证明：设an是公比q1的等比数列，假设数列an1是等比数列，则 (a21)2(a11)(a31)，即(a1q1)2(a11)(a1q21)，整理得a1(q1)20得a1