广东省湛江市高二数学上学期期末试卷（含解析）.doc

广东省湛江市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入下面答题卡中1（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）ax=1bx=1cy=1dy=12（5分）已知a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边，若a=45，b=60，则a等于（）abcd13（5分）不等式x23x+20的解集是（）ax|x2或x1bx|x1或x2cx|2x1dx|1x24（5分）图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是（）ax+y10bx+y10cxy10dxy105（5分）“x2”是“x24”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c既充分又必要条件d既不充分又不必要条件6（5分）在等差数列an中，若a1+a2+a8+a9=360，则数列an的前9项和为（）a180b405c810d16207（5分）在等比数列an中，已知首项为，末项为8，公比为2，则此等比数列的项数是（）a3b4c5d68（5分）函数f（x）=（x2）ex的单调递增区间是（）a（，1）b（ 0，2 ）c（1，+）d（2，+）9（5分）在abc中，a、b、c的对边分别为a、b、c，已知bcosb=acosa，则abc的形状是（）a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等腰三角形或直角三角形10（5分）若实数x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值为（）a1b2c3d4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11（5分）命题“xr，x2+x20”的否定是12（5分）椭圆+=1的焦点为f1，f2，p为椭圆上一点，若|pf1|=2，则|pf2|=13（5分）已知f（x）=ax3+3x2+1且f（1）=3，则实数a的值等于14（5分）若x4，函数y=x+，当x=时，函数有最小值为三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（12分）已知p：|x3|2，q：（xm）（xm1）0，若p是q充分而不必要条件，求实数m的取值范围16（12分）已知a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边，且c2=a2+b2ab（1）求角c的值；（2）若b=2，abc的面积，求a的值17（14分）用长为18m的钢条围成一个长方体的框架，已知长方体的长与宽之比为2：1（1）记长方体的宽为xm，请写出长方体的高h关于x的表达式；（2）当该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？18（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）中，长轴长为2，离心率等于，（1）求椭圆c的标准方程；（2）直线l交椭圆于a、b两点，且ab的中点m为（，），求直线l的方程19（14分）已知数列an为等差数列，a5=5，d=1；数列bn为等比数列，b4=16，q=2（1）求数列an、bn的通项公式an、bn；（2）设cn=an+bn，求数列cn的前n项和为tn20（14分）已知函数f（x）=ax+2，g（x）=a2x2lnx+2，其中ar，x0（1）若a=2时，求曲线g（x）在点（1，g（1）处的切线方程；（2）是否存在负数a，使f（x）g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由广东省湛江市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入下面答题卡中1（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）ax=1bx=1cy=1dy=1考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程解答：解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴上；所以：2p=4，即p=2，所以：=1，准线方程 y=1，故选d点评：本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置2（5分）已知a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边，若a=45，b=60，则a等于（）abcd1考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由sina，sinb及b的值，利用正弦定理即可求出a的值解答：解：a=45，b=60，b=，由正弦定理=，得：a=故选a点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键3（5分）不等式x23x+20的解集是（）ax|x2或x1bx|x1或x2cx|2x1dx|1x2考点：一元二次不等式的解法 专题：解三角形；不等式的解法及应用分析：根据一元二次不等式的解法解不等式即可解答：解：不等式对应的方程为x23x+2=0，即（x2）（x1）=0，解得方程的根为x=2或x=1，不等式x23x+20的解为1x2，即不等式的解集为x|1x2故选：d点评：本题主要考查一元二次不等式解法，比较基础，要求熟练掌握三个二次之间的关系4（5分）图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是（）ax+y10bx+y10cxy10dxy10考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：不等式的解法及应用分析：由图形中所给的数据求边界所对应的方程，代入原点坐标，判断原点对应的符号，由图形的位置及二元一次不等式与区域的关系判断出正确选项解答：解：由图知过两点（1，0）与（0，1）两点的直线方程为x+y1=0，当x=0，y=0时，x+y10而原点不在阴影表示的区域内故图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式x+y10故选b点评：本题考查二元一次不等式与区域，解题的关键是确定边界对应的直线方程，以及边界是虚线还是实线，区域与直线的相对位置，熟练掌握区域与直线的位置关系与相应不等式的对应关系是解本题的知识保证本题考查了数形结合的思想，推理判断的能力5（5分）“x2”是“x24”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c既充分又必要条件d既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：由x24得x2或x2，则“x2”是“x24”的充分不必要条件，故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键6（5分）在等差数列an中，若a1+a2+a8+a9=360，则数列an的前9项和为（）a180b405c810d1620考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由题意和等差数列的性质可得a5=90，代入s9=9a5，计算可得解答：解：由等差数列的性质可得a1+a9=a2+a8=2a5，a1+a2+a8+a9=360，4a5=360，解得a5=90，数列an的前9项和s9=9a5=810，故选：c点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题7（5分）在等比数列an中，已知首项为，末项为8，公比为2，则此等比数列的项数是（）a3b4c5d6考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：利用等比数列的通项公式求解解答：解：在等比数列an中，首项为，末项为8，公比为2，解得n=5故选：c点评：本题考查等比数列的项数的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用8（5分）函数f（x）=（x2）ex的单调递增区间是（）a（，1）b（ 0，2 ）c（1，+）d（2，+）考点：复合函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：求出原函数的导函数，直接由导函数大于0求得原函数的单调期间解答：解：f（x）=（x2）ex，f（x）=ex+（x2）ex=ex（x1），由f（x）=ex（x1）0，得x1函数f（x）=（x2）ex的单调递增区间是（1，+），故选：c点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导函数的符号与原函数单调性间的关系，是基础题9（5分）在abc中，a、b、c的对边分别为a、b、c，已知bcosb=acosa，则abc的形状是（）a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等腰三角形或直角三角形考点：正弦定理 专题：计算题；解三角形分析：利用正弦定理化简acosa=bcosb，通过两角差的正弦函数，求出a与b的关系，得到三角形的形状解答：解：在abc中，a，b，c所对边分别为a，b，c，若acosa=bcosb，所以sinacosa=sinbcosb，所以2a=2b或2a=2b，所以a=b或a+b=90所以三角形是等腰三角形或直角三角形故选：d点评：本题主要考查了考查正弦定理在三角形中的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力，属于基础题10（5分）若实数x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值为（）a1b2c3d4考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点a（0，1）时，直线y=的截距最大，此时z最大，代入目标函数得z=2故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11（5分）命题“xr，x2+x20”的否定是xr，x2+x20考点：命题的否定 专题：阅读型分析：根据命题“xr，x2+x20”是特称命题，其否定为全称命题，即：xr，x2+x20从而得到答案解答：解：命题“xr，x2+x20”是特称命题否定命题为：xr，x2+x20故答案为：xr，x2+x20点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化属基础题12（5分）椭圆+=1的焦点为f1，f2，p为椭圆上一点，若|pf1|=2，则|pf2|=6考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用椭圆得定义|pf1|+|pf2|=2a列式求解即可解答：解：因为p为椭圆上一点，f1，f2，为椭圆的焦点，所以|pf1|+|pf2|=2a=8，又|pf1|=2，则|pf2|=8|pf1|=6所以答案应为：6点评：本题主要考查了椭圆定义的应用，属于简单题型13（5分）已知f（x）=ax3+3x2+1且f（1）=3，则实数a的值等于3考点：导数的运算 专题：计算题分析：由求导公式和法则求出f（x），由f（1）=3列出方程求出a的值解答：解：由f（x）=ax3+3x2+1得，f（x）=3ax2+6x，因为f（1）=3，所以3a6=3，解得a=3，故答案为：3点评：本题考查基本初等函数的求导公式和法则，熟练掌握公式是解题的关键14（5分）若x4，函数y=x+，当x=5时，函数有最小值为6考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：由题意可得x40，变形并由基本不等式可得y=x+=x4+42+4=6，由等号成立的条件可得x值解答：解：x4，x40，y=x+=x4+42+4=6，当且仅当x4=即x=5时取等号，故答案为：5；6点评：本题考查基本不等式，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（12分）已知p：|x3|2，q：（xm）（xm1）0，若p是q充分而不必要条件，求实数m的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可解答：解：由|x3|2得1x5，即p：1x5，p：x5或x1，由（xm）（xm1）0得xm+1或xm，若p是q充分而不必要条件，则满足，即，解得1m4点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式关系是解决本题的关键16（12分）已知a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边，且c2=a2+b2ab（1）求角c的值；（2）若b=2，abc的面积，求a的值考点：余弦定理；三角形的面积公式 专题：解三角形分析：（1）利用余弦定理，可求角c的值；（2）利用三角形的面积公式，可求a的值解答：解：（1）c2=a2+b2ab，cosc=，0c180，c=60；（2）b=2，abc的面积，=，解得a=3点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键17（14分）用长为18m的钢条围成一个长方体的框架，已知长方体的长与宽之比为2：1（1）记长方体的宽为xm，请写出长方体的高h关于x的表达式；（2）当该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）由长方体的宽和长，求出高；（2）求出它的体积以及定义域，利用导数，求出体积函数y的最大值以及此时对应的宽是多少解答：解：（1）长方体的宽为x，长为2x，高h=（184x42x）=（96x）（0x）；（2）长方体的体积为y=2xx（96x）=6x3+9x2，定义域是（0，）；y=6x3+9x2，（其中0x），求导数，得y=18x2+18x，令y=0，解得x=0，或x=1；当0x1时，y0，函数y是增函数，当1x时，y0，函数y是减函数；当x=1时，函数y取得最大值，是ymax=613+912=3即长为2，宽为1，高为时，长方体的体积最大，最大体积是3点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性与求最值的问题，解题时应根据题意求出函数的解析式，再利用导数求函数的最值，是中档题18（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）中，长轴长为2，离心率等于，（1）求椭圆c的标准方程；（2）直线l交椭圆于a、b两点，且ab的中点m为（，），求直线l的方程考点：椭圆的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆c：+=1（ab0）中，长轴长为2，离心率等于，求出a，c，可得b，即可求椭圆c的标准方程；（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），两点在椭圆上，可得x12+2y12=2，x22+2y22=2，两式相减，再利用直线l的斜率公式，中点坐标公式，即可得出解答：解：（1）因为椭圆c：+=1（ab0）中，长轴长为2，离心率等于，所以2a=2，=，所以a=，c=1，所以b=1，所以椭圆c的标准方程为；（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），因为点m（，）是线段ab的中点，且m在椭圆内所以x1+x2=1，y1+y2=1，因为此两点在椭圆上，所以x12+2y12=2，x22+2y22=2所以（x1+x2）（x1x2）+2（y1+y2）（y1y2）=0，所以k=所以直线l的方程为y=（x），化为2x+4y3=0点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，正确运用点差法解决中点弦问题是解题的关键，属于中档题19（14分）已知数列an为等差数列，a5=5，d=1；数列bn为等比数列，b4=16，q=2（1）求数列an、bn的通项公式an、bn；（2）设cn=an+bn，求数列cn的前n项和为tn考点：数列的求和；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式，求出首项，由此能求出an=n；由已知条件利用等比数列通项公式，求出首项，由此能求出bn=2n（2）由cn=an+bn=n+2n，利用分组求和法能求出数列cn的前n项和tn解答：解：（1）数列an为等差数列，a5=5，d=1，a1+4=5，解得a1=1，an=1+（n1）1=n数列bn为等比数列，b4=16，q=2，=16，解得b1=2，（2）cn=an+bn=n+2n，tn=（1+2+3+n）+（2+22+23+2n）=+2n+12点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想20（14分）已知函数f（x）=ax+2，g（x）=a2x2lnx+2，其中ar，