圆锥曲线重要公式与定理在高考解题中的应用.doc

圆锥曲线重要公式与定理在高考解题中的应用一：定点问题定理1：圆锥曲线直角弦的性质：1：设为椭圆上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点2：设为双曲线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点3：设为抛物线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点例1：已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点），且以直径的圆过椭圆的右顶点。求证直线过定点，并求出该定点得到坐标。例2：已知椭圆：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形。（1） 求椭圆的标准方程；（2） 过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在请说明理由.例3：在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线：的准线方程为，若动点满足，且点的轨迹与抛物线交于两点。（1） 求证：（2） 在轴上是否存在一点，使得过点的直线交抛物线于两点，且以线段为直径的圆都过原点？若存在，求出以线段为直径的圆的圆心轨迹方程；若不存在，请说明理由。例4：已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，两焦点之间的距离为，椭圆上第一象限内的点满足，且的面积为1.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 若椭圆的右顶点为,直线与椭圆相交于不同的两点，且满足。求证:直线过定点，并求出定点得到坐标。例5.已知点是平面上一动点，且满足（1）求点的轨迹对应的方程；（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.例6：已知是抛物线上的两个动点，为坐标原点，非零向量满足（）求证：直线经过一定点；（）当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值定理2：圆锥曲线的相关弦问题（设为圆锥曲线C的任意一条不垂直于焦点所在轴的弦，作点关于焦点所在轴的对称点,则称弦与弦为一对相关弦）定理：设AB为椭圆（）（双曲线）的一条不垂直于轴的弦，为相关弦。点为已定点，则直线过定点的充要条件是直线过点。设为抛物线（p0）的任意一条不垂直于对称轴的弦，为相关弦。点为已定点，则直线过定点的充要条件是直线过点。推论：设为圆锥曲线C的任意一条不垂直于焦点所在轴的弦，为相关弦。则直线过焦点的充要条件是直线过对应准线与对称轴的交点。例1：:椭圆经过点，离心率为。（1） 求椭圆的标准方程；（2） 在椭圆上任取不同两点，点关于轴对称的点为，当变化时，如果直线经过轴上的一个定点，问直线是否也经过轴上的一个定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由。 定理2：设椭圆（）（双曲线）的长轴（虚轴）端点为，点是直线上的一点，直线与椭圆（双曲线）分别交于点,则直线过轴上的一定点例1：在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，过作垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，若线段的长为（1） 求椭圆的标准方程；（2） 设是直线上的点，直线与椭圆分别交于，求证：直线过轴上的一定点，并求出此点的坐标。例2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、三点（1）求椭圆的方程：（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上例3.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、三点ABOMNQF过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点，与所在的直线交于点Q.（1）求椭圆的方程：（2）是否存在这样直线，使得点Q恒在直线上移动？若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.定理1：过椭圆（双曲线）的焦点的直线与椭圆（双曲线）交于两点，过作椭圆（双曲线）的垂线交椭圆（双曲线）的准线于两点，则直线与相交于点。2：过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，过作抛物线的准线的垂线交准线于两点，则直线与相交于点。1.如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于两点，点在直线上的射影依次为点。（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；（2）（理）连接、，试探索当m变化时，直线、是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。（文）若为轴上一点,求证:二：斜率为定值（定点，定向问题）定理10：椭圆上定点与椭圆上两点连线的斜率存在，则（1）动弦所在的直线必过定点的充要条件是的斜率之和为定值；（2）动弦必有定向的充要条件是的斜率之和为0。推论（1）满足定理（1）条件的动弦所过定点在关于椭圆的长轴对称点的切线上（2)满足定理（2）条件的动弦与关于椭圆的长轴对称点的切线平行。定理11：双曲线上定点与双曲线上两点连线的斜率存在，则（1）动弦所在的直线必过定点的充要条件是的斜率之和为定值；（2）动弦必有定向的充要条件是的斜率之和为0。推论（1）满足定理（1）条件的动弦所过定点在关于双曲线的实轴对称点的切线上（2)满足定理（2）条件的动弦与关于双曲线的实轴对称点的切线平行。定理10：抛物线上定点与抛物线上两点连线的斜率存在，则（1）动弦所在的直线必过定点的充要条件是的斜率之和为定值；（2）动弦必有定向的充要条件是的斜率之和为0。推论（1）满足定理（1）条件的动弦所过定点在关于抛物线的对称轴对称点的切线上（2)满足定理（2）条件的动弦与关于抛物线的对称轴对称点的切线平行。例1：已知是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且满足（1） 求椭圆的标准方程；（2） 设是椭圆上两点，直线的倾斜角互补，求直线的斜率。（3） 在（2）的条件下求面积的最大值。例2：已知椭圆经过,且中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为。（1） 求椭圆的方程（2） 若椭圆的弦所在的直线分别交轴于点，且,求证：直线的斜率为定值。ABMOyx例3：如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点. 直线交椭圆于两不同的点. 例4：已知抛物线:和圆，过抛物线上一点作两条直线与圆相切于两点，分别交抛物线于两点，圆心点到抛物线的准线的距离为。（1） 求抛物线的方程；（2） 当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率。（3） 若直线在轴上的截距为，求的最小值。例5：已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上的点到的距离为2，且点的横坐标为1，过点做抛物线的两条动弦，且的斜率满足。 (1) 求抛物线的方程；(2) 直线是否过定点？若过定点，请求出该点坐标；若不过定点，请说明理由。例6：已知点，是平面上一动点，在直线上的射影为点，且满足 （1） 求点的轨迹的方程（2） 若直线同时与圆和曲线相切，求直线的方程。（3） 过点做曲线的两条动弦，设所在直线的斜率为，满足，求证：直线过定点，并求出这个定点。 ， 三：点到直线的距离为定值定理一：已知椭圆，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）设直线的斜率为则;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;|OP|2+|OQ|2的最大值为（3）的最小值是，最大值为（4）并且点O到PQ的距离为定值定理二：已知双曲线，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且6.（1）,设直线的斜率为则;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是（4）并且点O到PQ的距离为定值例1：已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于两点，且（O为坐标原点），求直线的方程例2：已知椭圆：的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点为顶点的三角形的周长为。（1） 求椭圆的方程（2） 若直线过原点，直线与直线相交于点，且，直线与椭圆相交与两点，问是否存在这样的直线，使成立。若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。例3：已知椭圆的离心率为，抛物线。（1） 若抛物线的焦点在椭圆的顶点上，求椭圆和抛物线的方程。（2） 若抛物线的焦点为，在抛物线上是否存在点，使得过点的切线与椭圆相交于两点，且满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.例4： 已知椭圆：过两点，为坐标原点（1） 求椭圆的方程（2） 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求出的取值范围；若不存在，说明理由。例5：在平面直角坐标系中，椭圆：的左右焦点分别为，也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.（1） 求的方程（2） 平面上的点满足，直线，且与交于点，若,求直线的方程例6：已知双曲线，为坐标原点,离心率，点在双曲线上（1） 求双曲线的方程若直线与双曲线交于两点，且,求的最小值例7.设椭圆的离心率为 （1）椭圆的左、右焦点分别为,是椭圆上的一点，且点到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程. （2）求为何值时，过圆上一点处的切线交椭圆于两点，而且例8：.已知椭圆C：(.（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围;（3）如图，过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()相交于四点，设原点到四边形一边的距离为，试求时满足的条件.例9：已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点（）若，求证：曲线是一个圆；（）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围例10:已知椭圆C：上动点到定点,其中的距离的最小值为1.（1）请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线,使与椭圆C的两个交点A、B满足条件（O为原点）,若存在,求出的方程,若不存在请说是理由。例11:若椭圆:和椭圆: 满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比。（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程。（2）设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值. 三：圆锥曲线切线垂直问题定理一：已知椭圆（双曲线）的两条垂直切线的交点的轨迹是。易知双曲线存在两条垂直切线的充要条件是，且当时我们可以把它看做是两条渐近线此时渐近线垂直。定理二：已知抛物线的方程为。点是抛物线上的两点，则两点的切线的交点为，并且当直线过抛物线的焦点时，此时交点的坐标为，并且在抛物线的准线上。定理三：已知抛物线的方程为。点是抛物线上的两点，则两点的切线的交点为，并且当直线过抛物线的焦点时，此时交点的坐标为，并且在抛物线的准线上。例1：已知双曲线的左,右顶点分别为，点是曲线上不同的两个动点（1） 求直线与交点的轨迹的方程；（2） 若过点的两条直线和与轨迹只有一个交点，且，求的值 例2：抛物线在点处的切线垂直交于点，直线与椭圆相交于两点。（1）求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离；（2）设点到直线的距离为，试问：是否存在直线，使得，成等比数列？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由。例3：已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于两点 ；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且椭圆的离心率为（1） 求椭圆的方程；（2） 过点分别作抛物线的切线与相交于点.求证：（3） 椭圆上是否存在点，经过点作抛物线的两条切线（为切点），使得直线过点？若存在，求出切线的方程；若不存在说明理由。四：圆锥曲线的中点弦，切线方程，切点弦方程问题1：在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.2：若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是3：是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即。4：若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是1：若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是.2：若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.3：是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为的中点，则，即。4：若在双曲线内，则被所平分的中点弦的方程是.例1.有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆：的右准线l上任意一点引椭圆的两条切线，切点为 .（1） 求证：直线恒过一定点； （2）当点在的纵坐标为1时，求的面积例2:已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合，过直线：上一点引椭圆的两条切线，切点分别是。（1） 求椭圆的方程（2） 若在椭圆上的点处的切线方程是，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标。（3） 是否存在实数，使得恒成立？（点为直线恒过的定点）若存在，求出的值，若不存在，说明理由。例3：设分别是椭圆C：的左右焦点(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标(2)设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为 试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。例3：.已知直线与曲线：交于两点，的中点为，若直线和(为坐标原点)的斜率都存在，则.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.（）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；（）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：（1）过点作直线与椭圆交于两点，求的中点的轨迹的方程；（2）过点作直线与有心圆锥曲线交于两点，是否存在这样的直线使点为线段的中点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.例4：.已知椭圆：,以为圆心，以为半径作圆，过点作圆的两条切线，设切点为(1)若过两个切点的直线恰好经过点时，求此椭圆的离心率;(2)若直线的斜率为-1,且原点到直线的距离为4（-1）,求此时的椭圆方程；(3)是否存在椭圆，使得直线的斜率k在区间(-)内取值？若存在，求出椭圆的离心率的取值范围；若不存在，请说明理由.例5.直线过抛物线 的焦点，并与其相交于两点。Q是线段的中点，是抛物线的准线与轴的交点是坐标原点 (I)求 的取值范