12-暑-06s-t15定义新运算.docx

少年辛苦终身事，莫向光阴惰寸功。杜荀鹤 咨询热线：68166918第十五讲 定义新运算【引言】我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。【典型例题】例1、规定ab=3a，其中a、b是自然数，求（1）106的值；（2）610的值。分析与解：题中ab表示a的3倍与b的的差，把a、b的值代入中，就能计算出结果。 （1）106 （2）610注意：一般说来，新定义的运算不满足运算定律，因此要特别注意题中所要求的运算顺序。例2、P、Q表示两个数，求 3（69）的值是多少？分析与解：根据运算顺序的规则，应先算 69，69=，再求出 35的值,35 。如果写成综合算式，应是：369）=3（）= 35请你试算出 369。比较：369和3（69）的值相等吗？这说明什么？例3、设PQ=5P+3Q，当 x9=37时， (x)的值是多少？ 分析与解：P和Q的这种运算表示P的5倍与Q的3倍之和，要想求出 (x)的值，就要先求出其中的 x是多少，已知 x9=37，从中可以逆推出 x的值。x9=5x+39=37,可以逆推出 x=2,2，11=，所以， (x)=34。例4、规定ab=a+(a+1)+(a+2)+(a+b1)其中a、b表示自然数。 （1）求1100的值；（2）已知x10=75，求x。分析与解：观察新定义的运算，可知 ab表示首项是a，末项是 (a+b1)的连续自然数之和，项数是b。所以，（1）1100=1+2+3+4+(1+1001)=1+2+3+4+100=5050 （2）x10=75，即：x+(x+1)+(x+2)+(x+9)=7510x+45=75，解得：x=3例5、规定xy=A，xy=2xy，且（32）1=（31）（21），求（32）+（54）之值。解：（32）1=（31）（21），A1=（231）（221），即2A1=53，即2A1=A，A=1，（32）（54）=1+254=7。例6、定义运算：ab=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：27=32+527+7k。（1）已知52=73。问：85与58的值相等吗？（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有ab=ba，即新运算“”符合交换律？分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为52=35+552+k2 =65+2k，所以由已知 52=73，得65+2k=73，求得k=（7365）2=4。定义的新运算是：ab=3a+5ab+4b。85=38+585+45=244，58=35+558+48=247。因为244247，所以8558。（2）要使ab=ba，由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb3bka=0，3(ab) k(ab)=0，(3k)(ab)=0。对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3k=0，即k=3。当新运算是ab=3a+5ab+3b时，具有交换律，即ab=ba。例7、规定xy=，且56=65，求（32）（110）之值。解：56=65，A5+6A65=0，A=1，（32）（110）=二进制同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制即“满 10 进一”，对于其他进制则感到陌生。实际上，你只要留心一下，在我们日常生活中，不仅使用十进制还使用其他许多进制呢！你信不信？我举一些例子。 两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制； 100平方分米等于一平方米，100 平方厘米等于一平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于一千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；。 怎么样？实际上还可以发现更多的这样的例子。 随着科学技术的发展，数字电子计算机的使用日益普遍，每位同学可能都使用过电子计算器吧？可是你们要知道，计算器内部进行的计算就使用的是二进制数。我们经常和计算器打交道，应该懂一些二进制数方面的知识。 1 、什么叫二进制 所谓二进制，就是只用 0 与 1 两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”。即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制数只需用“ 0 ” 与“ 1 ” 表示就够了）。例如：2在二进制中是10；3写成二进制是11；4写成二进制数便是100，那么 5 呢？应该是 101 。 同学们按照“逢二进一”（或“满二进一”）的法则，很容易得到以下两种进制的数字的对照表： 十进制12345678910111213141516二进制1101110010111011110001001101010111100110111101111100000 与 1 白与黑 虚与实 负与正 点与划 小与大 二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态 0 或 1 。这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮（在计算机中主要用电压的高与低）等等手段加以表示。右表中列出了在二进制中 13 的几种不同表示方法。 当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多。 、十进制与二进制的互相转化 今天，当我们写上一个数目1997时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，即19971100091009107 1，也就是说，1997中含有一个1000，九个100，九个10和七个1。 在表 1 中可以看到：二进制数 10 表示十进制数 2 ；二进制数 100 ，表示十进制数 4 ；二进制数 1000 ，表示十进制数 8 ；二进制数 10000 表示十进制数 16 ；可以看出规律；二进制数 100000 应该表示十进制数 32 ，。那么我们写下一个二进制数 10110 ，则应表示它含有一个 16 ，一个 4 与一个 2 ，也就是10110 1 16 0 8 1 4 1 2 0 1 明白了上面所说的两点，则二进制与十进制之间转化的道理就容易懂了。为了叙述的方便，我们约定：用（ ）2 表示括号内写的数是二进制数。如（1011）2 ；用（ ）10 表示括号中写的数是十进制数，如（ 37 ）10 。 例8、把（10110）2 改写成十进制数 【分析】 可直接将二进制数的各数位上的数字改写成相应的十进制数。 【解】 （ 10110 ）2 1 16 0 8 1 4 1 2 0 1 1642 （22）10 从上面例题可以看到：将一个二进制数写成十进制数的第一步骤是：将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数。因为是“满二进一”，所以高位是相邻低一位数的 2 倍。一个二进制的各个数位（由低位到高位）对应十进制数的规律是： 1 ，2 ， 4 ，8 ， 6 ，32 ，64，128，256，512，1024， 即 20， 21， 22， 23， 24， 25， 26， 27， 28， 29， 210 。 第二个步骤是将各数位上对应的十进制数求和，所得结果便是相应的十进制数。如果位数太多，我们先从低位写起。试做一题，把（1110101）2 改写成十进制数： 【解】（1110101）211021408116132164 1 4 16 32 64 （ 117 ）10 下面我们介绍如何将一个十进制数改写成相应的二进制数。 例9、把（ 45 ）10 改写成二进制数。 【分析】 （45）10不足64，所以对应的二进制数的最高位是32，即453213，剩下的13不足16，则向下一位考虑。4532016（85），剩下的5中包含一个4，即4532016841，最后一位数是1，又不足，所以对应的二进位数又空一位。 【解】 （45）103201684021（101101）2 下面再介绍一种将十进制数写成二进制数的常用方法除二倒取余法，例如要将（71）10写成二进制数，如下图。 我们将71除以2，余数 1 相应写在右边（如果除尽，余数则写0）；再将这步的商35除以2，重复上述过程，直到商等于1为止，并且最后一步的商等于“ 1 ”也写到右边余数那一列的最下面，最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是（71）10的二进制数表示法。即（71）10（1000111）2【说明】 从解题过程中立即便能看出，将十进制数写成二进制数的过程，正好与将二进制数改写成十进制数的过程相反：先由高位开始考虑，将十进制数尽可能地凑出相应二进制数的最高位，然后逐步往下进行。 例 10、 （10110）2（1101）2 （111101）2（101110）2答案：（100011）2 （1111）2验算： 验算时是用和减去其中一个加数，它们的差应该等于另一个加数。 验算： 验算时用差与减数相加，其和应该等于被减数。 补充练习：1、 设ab表示a的3倍减去b的2倍，即ab=3a2b，例如，当a=6，b=5时，ab=3625=8 （1）计算。解：= （2）已知x（41）=7，求 x。解：41=3421=10x10=3x210=7；x=92、计算二进制数的加减法，并进行验算。（ 10101 ）2（ 10011 ）2（1001001）2（ 10110 ）2答案：（101000）2；（110011）2。家庭作业：1. 设a表示a与b的积减去a与b的差，即ab=ab(ab)，试求73的值。解：73=73（73）=214=17 2. 定义新运算为ab，那么2（34）的值是多少？解：2（34）=2=21=33. 规定ab=，求 21010的值。解：2101010=10= 4. 如果xy=，那么10（1010）的值是多少？解：10（1010）=10=105=5、将（110100111）2 改写成为十进制数。 把（60）10 改写成二进制数。【分析】 还是由低位写起： 【解】 （110100111）21 112140801613206