波动光学和量子力学习题精解.doc

15波动光学和量子力学习题精解第15章 波动光学15.1 要求1 了解 迈克尔干涉仪的原理、惠更斯-菲涅尔原理和双折射现象；2 理解 获得相干光的方法、单缝夫琅和费衍射干涉条纹分布规律的方法；3 掌握 光栅衍射公式、自然光和偏振光和布儒斯特定律和马吕斯定律；4 熟练掌握 光程、光程差和位相差之关系、分析和确定扬氏双缝干涉条纹以及等厚干涉条纹的位置、分析缝宽和波长对衍射条纹分布的影响、分析光栅常数和波长对衍射条纹分布的影响。15.2 内容摘要1 光是电磁波 实验发现光是电磁波，射线等都是电磁波。所有电磁波的本质都是相同的，具有所有波的性质，只是它们的频率和波长不同而已。2 光的相干现象 两列光波叠加时，产生的光强在空间内有一稳定分布的现象。相干叠加的条件 振动方向相同、频率相同和有固定的相位差。3 相干光强 ， 最亮； 时， I=0，最暗。4 光程 光在某一媒质中所经历的几何路程与此媒质的折射率的乘积，称为光程。数学表达 ，C为真空中的光速。光程差 两束光的光程之差，称为光程差，用表示。相位差 光由光疏媒质射向光密媒质，在界面反射时，发生半波损失，等于的光程。5 扬氏双缝实验干涉加强条件 ；干涉减弱条件 6 薄膜干涉 光程差 当 ， k=1，2，3，明条纹；当 ， k=0，1，2，3，暗条纹。劈尖干涉 空气劈尖（薄膜厚度不均匀时）产生的干涉。光程差 ，当 ， k=1，2，3，明条纹；当 ，k=0，1，2，3，暗条纹。牛顿环 光程差 ， = k， k=1，2， 明环；， k=0，1，2, 暗环。干涉明条纹半径 k=1，2， 明环；干涉暗条纹半径 暗环。7 迈克耳干涉仪 利用分振幅法，使两各相互垂直的平面镜形成一等效的空气薄膜。 式中N为视场中移过的条纹数，d为平移的距离。8 惠更斯-菲涅耳原理同一波前上的任一点，都可以看作新的“次波源”，并发射次波；在空间某点P的振动是所有次波在该点的相干叠加。9 夫琅和费衍射单缝衍射用菲涅耳半波带法分析。单色光垂直入射时，衍射暗条纹中心位置满足要求（暗纹）圆孔衍射单色光垂直入射时，中心亮斑半角宽度（角半径）为10 光学仪器的分辩本领最小分辩率 最小分辩角 ，（）。11 光栅衍射：在黑暗的背景上，显现窄细明亮的谱线。光栅方程 谱线（主极大）位置满足方法：，k=0，1，2， 谱线强度受单缝的调制，产生缺级现象。 产生缺级现象的条件 光栅的分辨率 ，（=2-1，N为光栅总缝数）12 衍射布拉格公式，d为两晶面间距离。13 自然光和偏振光光是横波。在垂直光的传播方向的平面内，光振动（E）各个方向振幅都相等的光，称为自然光；只在一个方向有电振动的光称为线偏振光，各个方向都有电振动，但是振幅不同的光叫部分线偏振光。14 由介质吸收引起的光的偏振偏振片只允许某一方向的光振动通过，和这一方向垂直的光振动完全被吸收。偏振片可用作起偏器，也可用作检偏器。15 马吕斯定律，式中，I为通过偏振片的光强，为入射光强，为光振动方向与偏振片的通光方向之夹角。16 布儒斯特定律自然光在电介质表面反射时，反射光是部分偏振光，但入射角满足时，反射光是线偏振光，其光振动方向与入射面垂直。称为相关介质的布儒斯角。17 由双折射引起的光的偏振一束自然光射入某些晶体时，会分为两束，一束遵守折射定律，折射率不随入射方向改变，叫寻常光；另一束折射率随入射方向改变，称为非常光。寻常光和非常光都是线偏振光，它们相互垂直。18 由散射引起的光的偏振自然光在传播路径上遇到小微粒或分子时，会激起粒子中的电子振动向四周发射光线，这就是散射。垂直于入射光方向的散射光是线偏振光，其他方向的散射光是部分偏振光。19 旋光现象线偏振光通过物质时振动面旋转的现象。旋转角度与光通过物质的路径长度成正比，式中，为旋光常数。20 椭圆偏振光和圆偏振光在各向异性晶体内产生的e光和o光是振动频率相同，且振动方向相互垂直的两偏振光；如果在空间某处叠加有固定位相差时，合成光矢量的轨迹可能是椭圆，也可能是圆。轨迹是椭圆称为椭圆偏振光；轨迹是圆称为圆偏振光。 1） 振幅 2） 光程差 相位差 15.3 解题思路1 干涉问题的解答，根本上是依靠两束相干光的相差或光程差的计算。首先要判断是哪两束相干光叠加，然后再看它们的路程差。在光通过媒质时，还要计算出光程差。在有反射时，还要判断是否有半波损失。总的光程差计算出来后，就可以用光程差和（真空中的）波长的关系来判断叠加时明暗条纹的位置了：光程差等于波长的整数倍时，给出明条纹；等于半波长的整数倍时，给出暗条纹；2 要注意干涉条纹的分布和相干光的波长的关系，白光干涉会出现彩色条纹； 3 光的衍射问题的分析，根本上是依靠两束相干光的相差或光程差的计算，不过此处处理的是连续分布的相干子波波源发出的光的叠加。本章所给出的公式都是入射光垂直于衍射屏的情况。这种情况下，衍射屏上连续分布的子波波源都是同相的。如果是斜入射，则计算光程差时还要计算这些子波波源的相差；4 细丝和细粒的衍射应和细缝及细孔的衍射一样处理； 5 光栅衍射是结合了各缝之间的干涉和每个条缝中连续波源的衍射所引起的叠加现象。要既能求主极大（谱线）的位置，又能求谱线的宽度，还要能解决缺级现象； 6 对于射线的衍射，要能根据具体的入射情况和晶体的晶面间距，列出干涉加强的条件，不可死记公式；7 了解几种线偏振光产生的条件，在利用马吕斯定律和布儒斯特角定义时，需了解光振动的分解及光强和振幅的平方成正比的规律以及注意光振动方向及偏振片通光方向的正确判断。15.4 思考题选答1 用普通的单色光源照射一块两面不平行的玻璃板作劈尖干涉实验，板的两面的夹角很小，但是板比较厚。这时观察不到干涉现象，为什么？答：普通光源发出的单色光的波列长度很短。同一波列从上下两表面反射后，由于光程差较大，两束反射光不可能叠加在一起，这样，从玻璃板上下表面反射而叠加的两束光就是不相干的。因此，不能观察到干涉条纹。 2 隐形飞机所以很难为敌方雷达发现，可能是由于飞机表面涂敷了一层电介质（如塑料或橡胶薄膜），从而使入射的雷达波反射极微。试说明这层电介质可能是怎样减弱反射波的。答：可能是利用薄膜干涉原理，使从电介质层两表面反射的雷达波干涉相消了。因而，雷达波反射极微。也可能是电介质的吸收作用，它吸收入射波的能量，因而减小了反射波的强度。3 如何说明不论多缝的缝数有多少，各主极大的角位置总是和有相同缝宽和缝间距的双缝干涉极大的角位置相同？答：双缝和等间距、等宽的多缝的主极大都是只由相邻两缝的干涉决定的，都要满足所以二者的主极大的角位置相同。4 一个”杂乱”光栅,每条缝宽度是一样的,但是缝间的距离有大有小,随机分布.单色光垂直入射这种光栅时,其衍射图样会是什么样的?答:由于各缝间距离杂乱,各缝间透过的光的相干将被破坏而不能出现光栅有主极大那样的谱线.各缝产生的衍射将依然存在,在透镜后面形成单缝的衍射条纹,其强度为各单缝单独产生的强度之和。15.5 习题解答15-1.在双缝干涉实验中，两缝的间距为0.6mm,照亮狭缝的光源是汞弧灯加上绿色滤光片在2.5m远处的屏幕上出现干涉条纹，测得相邻两明条纹中心的距离为2.27mm试计算入射光的波长，如果所用仪器只能测量的距离，则对此双缝的间距有何要求？分析：由明纹位置公式求解。解：在屏幕上取坐标轴，坐标原点位于关于双缝的对称中心。屏幕上第级明纹中心的距坐标原点距离：可知 代入已知数据，得 对于所用仪器只能测量的距离时 15-2.在杨氏双缝实验中，设两缝之间的距离为0.2mm在距双缝1m远的屏上观察干涉条纹，若入射光是波长为400nm至760nm的白光，问屏上离零级明纹20mm处，哪些波长的光最大限度地加强？(1nm10-9m)分析：由双缝干涉屏上明纹位置公式，求K取整数时对应的可见光的波长。解：已知：d0.2mm，D1m，x20mm 依公式： 410-3 mm4000nm 故 k10 l1400nm k9 2444.4nm k8 3500nm k7 4571.4nm k6 5666.7nm这五种波长的光在所给观察点最大限度地加强 题图15-715-7.在Si的平表面上氧化了一层厚度均匀的SiO2薄膜为了测量薄膜厚度，将它的一部分磨成劈形(示意图中的AB段，平面图)现用波长为600nm的平行光垂直照射，观察反射光形成的等厚干涉条纹在图中AB段共有8条暗纹，且B处恰好是一条暗纹，求薄膜的厚度(Si折射率为3.42，SiO2折射率为1.50) 分析：上下表面反射都有相位突变p，计算光程差时不必考虑附加的半波长.解：设膜厚为e， A处为明纹， B处为暗纹 2ne(2k1)，(k0，1，2，)，第8个暗纹对应上式 k7,1.510-3mm15-8.在折射率n1.50的玻璃上，镀上1.35的透明介质薄膜入射光波垂直于介质膜表面照射，观察反射光的干涉，发现对1600nm的光波干涉相消，对2700nm的光波干涉相长且在600nm到700nm之间没有别的波长的光是最大限度相消或相长的情形求所镀介质膜的厚度(1nm=10-9m) 分析：上、下表面反射均为由光疏介质到光密介质，故不计附加光程差光程差为解：当光垂直入射时，i =0 对1（干涉相消）： 对2（干涉相长）： 由 解得： 将k、2、代入式得 7.7810-4mm 15-10.波长为的单色光垂直照射到折射率为n2的劈形膜上，如图所示，图中n1n2n3，观察反射光形成的干涉条纹 (1) 从劈形膜顶部O开始向右数起，第五条暗纹中心所对应的薄膜厚度e5是多少？ (2) 相邻的二明纹所对应的薄膜厚度之差是多少？分析：因为 n1n2n3 ，劈形膜上下表面都有半波损失，所以二反射光之间没有附加相位差，光程差为2n2e解：第五条暗纹中心对应的薄膜厚度为e5， 2n2e5 =(2k+1)/2 k = 4， 明纹的条件是 2n2ek =kl相邻二明纹所对应的膜厚度之差 。15-15.某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a=0.15mm缝后放一个焦距f = 400 mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧第三级暗条纹之间的距离为8.0mm，求入射光的波长分析：由单缝衍射暗纹条件及暗纹到中心的距离可求波长。解：设第三级暗纹在j3方向上，则有 l 此暗纹到中心的距离为 因为j3很小，可认为 tgj3sinj3，所以 x33f/a两侧第三级暗纹的距离是 。15-19.波长600nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二级主极大在处，第四级缺级，试问：（1）光栅上相邻两缝的间距有多大？（2）光栅上狭缝可能的最小宽度有多大？（3）按上述选定的、值，试问在光屏上可能观察到的全部级数是多少？分析：（1）将已知条件代入光栅方程可求出光栅常数即光栅上相邻两缝的间距；（2）用缺级公式，可求出光栅上狭缝可能的最小宽度；（3）以为限先确定干涉条纹的级数，等于时对应的级次看不见，扣除缺级，最后算出条纹数。解：（1）由光栅方程 （k=2） 得 （2）根据缺级条件，有 取,得 （3）由光栅方程 令,解得: 即时出现主极大，缺级,级主极大在处,实际不可见,光屏上可观察到的全部主极大谱线数有15条.15-24. 将三个偏振片叠放在一起，第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成45和90角 (1) 强度为I0的自然光垂直入射到这一堆偏振片上，试求经每一个偏振片后的光强和偏振状态 (2) 如果将第二个偏振片抽走，情况又如何？分析：强度为的自然光通过偏振片后，变为光强为的线偏振光，线偏振光通过偏振片的强度取决于偏振片的偏振化方向与线偏振光的振动方向的夹角，根据马吕斯定律可进行求解。解：(1) 自然光通过第一偏振片后，其强度 I1=I0/2通过第二偏振片后，I2I1cos245I0/ 4通过第三偏振片后，I3I2cos245I0/8通过每一偏振片后的光皆为线偏振光，其光振动方向与刚通过的偏振片的偏振化方向平行(2) 若抽去第2片，因为第3片与第1片的偏振化方向相互垂直，所以此时I3=0,I1仍不变15-27.水的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.50.当光由水中射向玻璃而反射时，起偏振角为多少？当光由玻璃射向水面而反射时，起偏振角又为多少？分析：由布儒斯特定律求解。解：由布儒斯特定律设玻璃折射率为，水的折射率为当光从水中射向玻璃反射时：当光从玻璃射向水中反射时：。附加题15.32 在双缝干涉实验中，设缝是水平的。若双缝所在的平板稍微向上平移，其它条件不变，则屏幕上的干涉条纹：（A） 向下平移，且间距不变；（B） 向上平移，且间距不变；（C） 不移动，但间距改变；（D） 向上平移，且间距改变。 解：当MG平板稍微向上平移，显然屏幕上的干涉条纹向上平移，且间距不变。（B）为正确答案。图14.115.33在双缝干涉实验中，屏幕E上的P点处是明条纹， P若将缝S2盖住，并在S1、S2连线的垂直平分面处放一反射镜 S1M，如图所示，则此时： S M（A） P点处仍为明条纹；（B） P点为暗条纹； S2 （C） 不能确定P点处为明条纹还为暗条纹； （D） 无干涉条纹。 E解：图14.2中,光程差不变，镜面有半波损失, 图15.33所以P点处为暗条纹，（B）为正确答案。16.1 基本要求1 了解热辐射现象，理解普朗克的量子假设。 2 了解光电效应的实验规律，掌握爱因斯坦光电方程，理解康普顿效应。 3 了解玻尔的氢原子理论的基础，掌握玻尔理论的基本内容。 4 理解实物粒子的波粒二象性和测不准关系。 5 了解波函数及其统计解释。16.2 内容提要1 黑体辐射辐射体发出的电磁辐射，能量按频率分布只由温度决定时，其电磁辐射称为黑体辐射。2 谐振子量子化能量 3 普朗克公式 4 黑体辐射在单位时间内从单位面积上发出的总能量，式中称为斯特藩-玻尔兹曼常数5 光电效应光照射到金属（或其他材料）表面上发射电子的现象，称为光电效应。光电效应方程，式中A为逸出功（功函数），红限频率6 康普顿散射可以用光子和静止的自由电子间的“粒子性”万全弹性碰撞解释。被散射的光的波长和入射光波长相比的增加量和散射角有关，即，式中，称为电子的康普顿波长。7 粒子的波动性动量为的粒子的“德布罗意波长”为8 概率波和概率幅德布罗意波是概率波，它描述粒子在各处被发现的概率。用波函数描述微观粒子的状态，叫做概率幅。|为概率密度。9 不确定关系位移动量不确定关系 能量时间不确定关系 10 定态薛定谔（一维）方程，式中E是粒子的能量，波函数满足叠加原理11 一维无限深方势阱中粒子能量量子化 德布罗意波长量子化 ，类似于两端固定弦中驻波波长12、谐振子能量量子化 ，最低能量，称为零点能。16.3 解题思路 本章重点是建立量子物理的基本概念，了解微观粒子的基本特征。习题多是代入适当公式的计算，分析比较容易。希望在计算中和得出结果后能定量地结合实际情况体会微观粒子的波粒二象性与经典的粒子或波动的规律的巨大差别。 16.4 思考题选答 1 可见光能否产生康普顿效应吗？能观察到吗？答：原则上，可见光也能产生康普顿效应。但是，由于康普顿效应的波长改变与波长无关，对可见光来说，其波长较大，康普顿效应的波长改变很小，实际上观察不出来。例如，波长为可见入射光，当时，=，这很难观察到了。2 电子显微镜所用电子波长常小于，为什么不用此波长的光子来制造显微镜？答：波长小于的光在X射线或射线的范围，它们对物质的直接穿透力极强，无法制成透镜来改变其传播方向；另外，这种光子的能量太大，容易导致被照射材料的破坏。所以，不用此波长的光子来制造显微镜。3 如果普朗克常数，对波粒二象性会产生什么样的影响？如果光在真空中的速率，对时空的相对性会有什么样的影响？答：如果，则粒子的德布罗意波长，粒子不会显示波动性；而光子的能量，光子将不复存在！这就是说：如果，我们周围的世间将完全是“经典性”的，波是波，粒子是粒子，两者截然不同。如果光在真空中的速率，由，同理，即时间测量和空间测量就不复存在，时间和空间将是伽利略-牛顿的经典时空。16.5 习题精解166 一光子的能量等于电子静能，计算其频率、波长和动量。在电磁波谱中，它属于哪种射线？分析 本题考察光的粒子性的物理量的计算。解: 电子静能则光子 它属于射线。16-17 计算氢原子的电离电势和第一激发电势.分析 本题考察的是氢原子的能级公式.解: 由氢原子能级光子公式因此电离能:所以电离电势:从基态到第一激发态所需要能量为:所以第一激发电势为10.2V。173 电子和光子各具有波长0.2nm，它们的动量和总能量各是多少？分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长公式。解：由于电子和光子具有相同的波长，所以它们的动量相同，即为：电子的总能量为：而光子的总能量为：。177 氦氖激光器发出波长为632.8nm的光，谱线宽度，求这种光子沿x方向传播时，它的x坐标的不确定量。分析 本题考察的是海森堡不确定关系。解：根据德布罗意关系，等式两边同时取微分并只取其绝对值