中学课程设计示例复利.doc

附錄C 中學課程設計示例：複利單利和複利是七年級的數學主題，這個主題可以應用在日常生活中。學生學會複利之後，可以幫助學生在真實世界裡做好財務決策。例如，他們可能因而比較容易了解：比起其它貸款方式，刷爆信用卡的代價是多麼高。引言本課程設計的第一個部分，將仔細探討適合七年級學生發展的利率概念。第二部分是後續步驟則是發展適合應用在七年級學生的教學示例，這裡的教案示例是加倍期(doubling time,存款變兩倍所需的時間)，此外，本節也要呈現兩個相關的主題：練習數學推理以及討論解題歷程。前者是藉由討論複利時做練習數學推理，促使學生了解指數方程式的許多性質並且討論解題歷程，這會使得學生往後可以應用在處理真實世界裡的大數目。本教材的呈現方式是真實課程。第三部份是應用複利到貸款、存款，和貨幣現值，承上述的討論繼續探討更深入的主題，並且適合放在代數II。因為我們預期老師會自行準備詳細的課程計畫，那麼他們就需要這些教材資源，因此現在討論的焦點將放在數學本身。這些學科可能適合七年級程度較高的學生，但是我們比較希望這些課程能夠涵蓋到代數的第二年課程，無論如何，這份教材的要求是大部份學生在高中畢業之前能夠看到這份教材並且能夠了解這份教材。因為它提供財務管理的重要訊息給學生，這些教材是學生必須學會的，也是學校應該教的。況且，因為本教材涵括數學的多數好成分，只要研究這個主題就能很自然到進階的層次，這樣一來就會讓學生想要繼續學習數學，例如，下述幾何級數的部分和，第一次出現在學習複利時，往往會一而再、再而三地出現在代數和微積分。1 + R + R2 + R3 + Rn =當計算複利的時距縮小到零，就會很自然地引出自然數e=2.71828182而且通常會引出指數方程式。在幼稚園到七年級，負責教導乘法的許多老師可能本身都沒有數學背景，這就不利於指導複利主題。因此，在本附錄中的課程設計會仔細呈現本主題中的數學細節，如此一來，老師們才能循序把各種數學細節傳授給學生。由於還缺乏討論空間以至於限制了學習的討論，因此目前讓學生瞭解數學和謹慎地呈現數學都是很重要的，然而，在課堂討論可以運用初步資料和指定作業做為探討的主題，如同本主題。報紙、收音機和電視中有大量的廣告宣傳，它們依據特定的條件，提供各種貸款利率。在老師準備介紹複利之前，學生應該已經做到：l 能進行算術、小數、百分率的基本運算；能做分數、小數和百分率之間的轉換；能做小數、百分率和分數的計算。(學生應該要能夠進行低於100%或超過100%的計算。到了本主題的較高階層次時，分數乘法和分數除法就會變重要了。)l 能寫出乘方(1.032=1.0609)。l 能將指數運算規則mn =m+n 做一些較高階的應用。l 能使用分配律如下：(AM)+(BM)(A+B)M(可以把P0.03P，轉變成(10.03)p)l 能使用結合律如下：A(BC)(AB)C以及 1.03(1.03M)1.03 M此外，有一個方法可以幫助學生學習複利，就是介紹他們認識幾何級數和幾何數列(這並不是非常必要的作法，因為在討論存款、貨幣現值以及抵押貸款時，也可以把幾何級數和幾何數列介紹給學生)。開始討論複利 教導複利課程，應該始於百分率和單利，學生在先前可能有約略討論過百分率的經驗，例如：20%可以看成是分數1/5，但是現在強調的重點是把要百分率應用到數字上，例如：當某人說50的20%，就是10。（換句話說，%是一個函數，代入某個數字後就會變成另一個新數字）。 接下來，我們應該複習百分率的等值十進數(decimal equivalent)，和%等值的十進數就是/100，當我們希望更清楚的表示這個數時，就會把它寫成()，/100=() 。如果想要得到某數的百分率，就進行這個數字的乘法運算，因此130的1.5%就是130=0.015130=1.95() =R%的等值數目例題請找出下列的數1. 30、35、50的10%2. 40、60、100的20%3. 25、250的1%4. 150、300的2% 在超越過這個方式的準備階段後，接著就會複習簡單的百分率，有一種應用就是商業折扣，這個主題有許多的應用，例如在商店裡經常可以看見所有商品降價10%的標語，這裡所謂降價10%的意思是指：商品的售價比原始訂價減少1/10的金額，或者是原始訂價的90%。例題某個店標榜便宜15%，如果一個球訂價15元，請問它現在的價值是多少錢(售價)呢？ 另一個例子是單利的問題。已知利率，要一起拿回利息和本金。有一個人立契約願意借錢給朋友，只要朋友還錢時加一些利率，例如10%，也就是說如果你借你的朋友10元，你將可以拿回11元。一旦把時間當做是變數，那麼，利率的問題就會變得比較複雜，例如在某特定時期裡採用某個利率，如果貸款的實際時間多於或少於那個時期，那麼利息也就會因而變多或變少了。例題如果我以10%的年利率(單利)借了200元，一年後我要付多少錢呢？六個月到期時，我要付多少錢呢？這種類型的問題，是要學生學會如何計算200元的10%，並讓學生知道一年後需要付多少利息，但是如果借錢的時間少於一年，那麼利息也會減少。想要算出六個月時要付多少利息，學生就必須先知道六個月是一年的一半。因此，利率就是10%的一半，也就是5%。我們必須把商業上慣用的特殊名詞教導給學生：每年：每一年，或一年一次。每半年：一年兩次，或六個月一次。每季：一年四次，或三個月一次。利率：增加的百分率。因此，如果沒有特別說明是以一季來計算利息的話，那麼所謂的利率6%，當一年到期時，你得到的錢除了本金以外，還加上本金的6%。利息：就是增加的錢。例如，如果你有100元，利率是6%，一年到期時你就會有0.061006(元)的利息。現在應該要引用真實生活的例子來解釋利率這件事，例如，某個銀行的存款是複利6%(每季算一次利息)，實際的意思是每三個月結算一次，也就是每三個月到期時，你得到的利息是那筆存款的1.5%，期末實際利率的公式如下：一年的全部利息一年的期數= 每一期結束時的利息 從上例，我們知道6/43/21.5，這就是每一期的利率。應該多提供題目讓學生多做練習，比如一年增加幾次利息，每次存款帳戶會增加多少錢之類的問題，因為讓學生瞭解這個主題是非常有必要的。例題1. 如果銀行宣布年利率是6%，半年算一次利息，那麼存款帳戶在一年之中會加幾次利息？每一次增加到帳戶的利息有多少？2. 如果銀行宣布年利率是6%，每個月算一次利息，那麼戶頭在一年之中會加幾次利息？每一次加到帳戶的利息有多少？3. 問題同上，差別是銀行每個禮拜算一次利息。在此，原本的文字公式可以用代數式取代之：設IP是每一週期的利率，I是利息的總和(或每年)，N是期數(一年內)，則 =應該要強調：這兩種表達事件的方式是一樣的，後者比後者精簡一些，但是學生必須要記得IP、I、N代表什麼意義。老師應該要給學生充沛的練習(文字轉成代數式)，以及計算每一期的利率是多少，老師不可以理所當然的認為學生有能力做好這種轉換。再下一個步驟是寫出一個式子表示等值十進數，而不是百分率(用D表示十進數)，故會得到一個等值十進數的函數D(IP)如下：()= IP的等值十進數此時，老師必須再提供學生一些練習題，讓學生學會計算每一期的利息金額是很重要的，必須要求他們使用百分率的等值十進數。學生做計算時常犯普遍錯誤是把月利率1%誤以為1，而非0.01。注意：把銀行制定的各種計算借款利息的規則介紹給學生，是相當有意義的。例如，銀行計算利息並不是根據最後一天的存款餘額，而是根據每天的平均存款餘額，在這樣的計息規則之下，那麼，學生應該就能討論：在某個計算利息的時間裡，什麼才是最好的存提款策略。然而，老師應該隨時強調：如果在整個算利息的時間裡，把錢都留在銀行裡，一動也不動，那麼銀行會付全額的利息。介紹複利的計算冗長的方法 計算複利的過程，應該舉例說明給學生聽，他們必須了解複利比單利賺得更多。 他們必須了解每隔一段時間，就會計算一期利息，而利息總額是取決於剛開始時存進去的總額，然後所有的利息都逐筆加進原來的總額(original amount)。假設存10000元到銀行，且每個月計算一次複利，年利率是6%，因此，以一個月為一期的月利率就是0.5%。下表就是舉例說明複利這件事，在一月初時，存入了10000元，那麼在一月底就加入0.5%的利息，利息是0.005 10000元，就是利息50元：月份月初銀行裡的錢整個月增加的利息月底銀行裡的錢一月10000元50.00元10050元在二月初，銀行帳戶裡的錢是10050元，利息是0.005 10050元，這期間的利息是50.25元，帳戶賺到的利息比一月賺到的利息多一點點，因為二月初銀行帳戶裡的錢有多了一些。月份月初銀行裡的錢整個月增加的利息月底銀行裡的錢一月10000元50.00元10050元二月10050元50.25元10100.25元在三月初，銀行帳戶裡的錢是10100.25元，再計算一次利息10100.25元 0.005=50.50元，這個總額比一月或二月獲得的利息還要多，因為在三月初銀行帳戶裡的錢就比二月多。月份月初銀行裡的錢整個月增加的利息月底銀行裡的錢一月10000元50.00元10050元二月10050元50.25元10100.25元三月10100.25元50.50元10150.75元指導學生完成全年的利息統計表，然後比較全年的複利計算結果與單利計算結果。老師再給學生其它計息規則、利率、存款期間，讓學生做練習填完表格。公式的介紹和許多種類的計算比較起來，學生應該要知道運用公式去計算複利確實是一個好方法，可以快速得到答案。以下就是計算利息的公式：(1+D(I/N)m S其中的D(I/N)是每一期的利率，以小數型式表示；文字m代表複利的總期數；文字S代表一開始的本金。學生填完整個表格後，他會從那個填表過程中學會這個公式的演算，這個表格中本金的錢數可以用字母代表，而不直接用數字。以下的例子是年利率12%，每季算一次利息，所以每一期的利率是3%，因此利息就是要乘以0.03。字母S代表一開始存在銀行的本金。(注意，學生參與這個活動的程度有賴於他們個人所具備的各種重要技能。)月份月初銀行裡的錢整個月增加的利息月底銀行裡的錢第一個月S0.03SS+0.03S 或(1.03)S老師必須要確定學生是否了解如何把S 0.03S改寫成(1.03)S，以及為什麼可以那樣寫 (應用到分配率)。老師要寫出：S0.03S1S0.03S(10.03)S第二期利率的計算如下：月份月初銀行裡的錢整個月增加的利息月底銀行裡的錢第一個月S0.03S(1.03)S 第二個月(1.03)S0.03(1.03)S(1.03) (1.03)S(1.03)2 S老師要寫出：1.03 S0.03(1.03)S1 (1.03) S0.03 (1.03) S(10.03) (1.03) S1.03 (1.03) S(1.03)2 S強調第三期的演算如下：月份月初銀行裡的錢整個月增加的利息月底銀行裡的錢第一個月S0.03S(1.03)S 第二個月(1.03)S0.03(1.03)S(1.03)2 S第三個月(1.03)2 S0.03(1.03) 2S(1.03)3 S老師要寫出：(1.03)2 S(0.03)(1.03) 2S1 (1.03) 2 S(0.03) (1.03) 2 S(1.03) (1.03) 2 S(1.03)3 S此時，應該要讓學生能夠明確的預測總金額增加的樣式(規律，pattern) 。至於第m期，第m期末的金額取決於第m 期初的金額。第m 期末的金額(1.03)第m 期初的金額想要算出第四期的金額，就要把第三期末的金額乘以1.03，所以我們會得到(1.03)(1.03) 3S (1.03) 4 S1.125508 S如果存款帳戶裡原來有$10000，在年利率12%的條件下，每季算一次複利，經過一年，那個帳戶就會有$11255.08；如果在單利的條件下，那麼就會有$11200。 請注意，學生必須有能力完成1.125508 10000的乘法，才有能力做這個問題；其次我們要強調一點，如果學生不具備重要的知識，那麼他們就無法了解或做這個問題，所謂的重要知識例如小數乘法和概數，這些知識會在許多計算中用到。以上的說明是在逐步介紹複利一般式的形成過程。(1+D(I/N)m S 主要公式學生必須能解釋這個公式裡每個字母所表示的意思。l D(I)/N=D(I/N)是以十進數的型式來表示利率，在計算每一期利息時會用到，而且是年利率除以一年的期數。l 字母m是計算複利的總期數。l 字母S則是一開始的本金。介紹複利主要公式裡的乘數對於學生是有幫助的，這個乘數(1D(I/N)的寫法是十進制的數。老師提供幾組題目，檢驗學生是否有能力把數字代進式子裡，這樣可以證實他們能否理解這個式子。例如給學生下面的題目，請他們把式子裡的字母取代掉並進行運算，以得到答案。題目如下：1. John要把$1000存一年，假如銀行的年利率5%(複利)，每月計息一次，那麼在第九個月末，他的帳號裡有多少錢呢？a. 年利率是多少呢？b. 你要用那一個數字除年利率，才能得到每一期的利率呢？c. 可以得到幾期利息呢？2. 請找出下列各題的乘數：a. 年利率是8%，以複利方式，半年計息一次。（1.04）b. 年利率是6%，以複利方式，每月計息一次。（1.005）c. 年利率是7%，以複利方式，每季計息一次。（1.0175）其次，要求學生能做某種範圍的應用。例題：1. 假設我們在開始計算利率之初就存入$1000，然後把錢留在帳戶裡一年，如果利率是12%，每季算一次利息，那麼一年期滿會得到多少錢呢？(首先找出所需的各種要件，然後用你的計算機求出答案。)2. 假設在開始計算利率之初我們一樣存入$1000，然後把錢留在帳戶裡一年，利率是12%，如果每個月算一次利息，那麼一年期滿會得到多少錢呢？(首先找出所需的各種要件，然後用你的計算機求出答案。)3. 如果John把$1000存在帳戶裡一年，利率是5%，每半年計算一次利息，那麼一年期滿他的帳戶裡會有多少錢呢？(首先找出所需的各種要件，然後用你的計算機求出答案。)4. 如果John把$1000存在帳戶裡一年，利率是5%，每個月計算一次利息，那麼一年期滿他的帳戶裡會有多少錢呢？使用表格學生也許能完成以下的表格，剛開始的本金是$1000，利率是10%。表一 複利累算表(元)週期一年二年五年十年二十五年=1110012101610.5122593.7410834.71=21102.501215.511628.892653.3011469.40=31103.361217.401635.262674.0611693.05=61104.281219.441642.102696.5011939.92=121104.731220.441645.472707.5812062.93例題1. 請做出一個類似的表格，利率是8%；N代表一年的期數，N=2、4、6，和12，存款時間如上是1年、2年、5年、10年，和25年。2. 請做出一個表格，利率是6%；N=2、4、6，和12，而存款期間則是1年、2年、5年、10年，和25年。使用圖表學生也許能畫出圖表，如圖1所示，從該圖可以看到複利在起點的成長速度是緩慢的，後來快速增加。以下的式子和圖表可以顯示複利的成長：(1+) m 成長率 期數圖1、複利的成長 當學生在做複利的解題活動時，老師可讓學生思考一下相關的應用：1. 在某一個期末，以複利計算比較會產生一個較大的總和嗎？2. 當期數增加時，算算看單利和高頻率複利，這兩者比較起來有什麼差異呢？3. 假如利率非常高，是否高頻率的複利計息方式仍然比較好呢？後續步驟在這個時候，學生應該已經能夠掌握複利的基本概念，後面的主題是關於：如果計息方式是複利，那麼要花多久的時間才能讓帳戶裡的錢變成兩倍呢？更深入的探討是，如果帳戶裡的錢被提走一些或者增添一些，那麼又會發生什麼事呢？最後，將整合這些主題運用到三方面：存款規劃、貨幣現值、以及銀行貸款，這些應用是屬於比較進階的技術性工作，但它們是非常重要的數學應用，幾乎所有的學生都必須了解，因為一旦他們開始工作就會面臨到這些數學問題。當然，如果可能的話，這些主題起碼應該曾經在課堂上討論過。加倍期(doubling time)對學生和老師而言，比較有趣的複利應用問題之一是：如果利息是以複利的方式計算，要花多久的時間才能讓帳戶(會生利息)裡的錢變成兩倍呢？之所以要處理關於存款加倍的問題，不僅因為這種問題本身就有趣，而且還有許多其他的目的。首先，這樣的問題可以讓學生比較能夠感覺到以複利計算時金錢增加的速度，其次也提供了系統化的解題歷程之練習，有時當我們想要解開某些問題時，有無數的案例根本還沒有式子可用(為了取得式子就要用到對數)。因此，那個答案就需要經過案例分析才能得到。能有效進行這一類的分析是很重要的，而且這種思維方式的基本解說能力也應該要慢慢長駐在學生的腦子裡。要思考的問題是：要花多久的時間才能把你的錢加倍呢？教學的起點可能是已知單利，然後讓學生算出到底需要多少時間才能使得原本在銀行帳戶裡的錢加倍。學生要複習單利的概念：如果是用單利，當利率是100%的時候，原來的金額就會加倍。老師可以呈現一個單利的題目，年利率10%，也就是根本不用複利計算，所以當N年後提款時，存款人就會得到本金和N10%的利息(存款期數乘以每一期10%)。已知一年就是一期，十年後的利率就會是100%。如果已知利率是10%，完全不採用複利計算，那麼，學生可以算出十年之內一元的投資就會變成兩元。下一步是，老師要幫助學生思考一件事：如果利率仍然是10%，但是以複利的方式，一年計息四次，結果會如何呢？並且還要詢問學生：那個帳戶裡的錢要經過多久的時間才會使得存款金額加倍呢？因為我們知道帳戶的金額經過m個計息週期後，總金額會變成(1+D(I/N)m S元，因此本練習的目的就是要利用下述的不等式，求出最小的m。這裡的S是原始存款金額，I是年利率，N是每年計算利息的期數，至於m則是整個計息的總期數：(1+0.025)m S 2S或 (1.025)m S 2S（當然，在這個例子假設=1元）就像前面提到的，學生用年利率10%除以4，找出每一週期的利率，且以十進數的型式表示，他們必須找出第一個（所需的最少期數）以滿足答案是2或者是更多：(1+0.025)m S 2S（在式子的2表示的錢數，是初始存款的兩倍）(1+0.025)m S 2S 或(1.025)m S 2S在這個時候，老師和全班學生應該會發現這裡的S並不太重要。重要的是(1.025)m 是否會大於等於2。如果它 2，那麼結果就至少會等於2S。如果不是那樣，那麼結果就無法達到2S的最底限。所以在這裡真正的問題是找出第一個能使得(1.025)m 2的那個m。這個計算可以使用各種工具，以各種方式進行演算，首先，如果是電腦，那麼可以把它程式化，讓它能夠不斷地進行(1.025)的連乘，一直等到出現等於或大於2為止。M1Mult1.02510 V= (Mult)MIF V2 PRINT M: ENDELSE M=M+1: GOTO 10END或者選用另一種方法 以數學的立場來說，學生從系統性解題歷程中學到的東西，比從使用電腦學到的東西要來得多，但是這兩者都是有價值的，都教導學生重要的技能。，老師可以要求學生計算10年後他們的帳戶裡會有多少錢(先試算10年是合理的，因為從複利得來的利息會比從單利得來的多，而且如果是單利計息十年，就可以把本金加倍了。)老師要幫助學生瞭解：10年的計息期數m，等於40(每季算一次複利，總共10年)。請注意，在告訴學生計算複利的頻率以及總計息時間之後，老師必須要能夠評估學生是否能迅速求出期數m。本主題已經在複利那一節講過了，但是要觀察：在一個新的情境中同樣的概念是否幫助學生鞏固了他們的理解。學生以40取代m，然後用計算機完成計算，得到的答案是：(1.025)402.6850638 這個結果比2大多了，所以要達到本金加倍的時間會比10年短很多，然後老師要引導學生去找到比較短的存款時間，一直到他們找到7年後，也就是28個計息期數的時候，就會得到(1.025)281.996495，在29個計息期數之後，或者是7年3個月(7.25年)，就會得到2.0464074。因此本金加倍的時間就是7年3個月，比10年少一些。以下就是要呈現整個運算歷程(學生用計算機計算8、16、24，和32期)。(1.025)8 1.2184(1.025)16 1.4845(1.025)24 1.80872(1.025)32 2.203756(在這裡可能有必要提醒學生為什麼要特別選定上述的數字，2年就是8期。因為32期是8年，所以選定第2年底、第4年底、第6年底和第8年底。)存款變成2倍的時間，有時候是發生在第6年末和第8年末之間，可以用計算機再次去逼近那個正確的時間，做這樣的計算直接的方法就是每兩個檢查一次，m=26、28、30：(1.025)26 1.90029(1.025)28 1.99649(1.025)30 2.09756而且，因為(1.025) 302，所以唯一要考慮的是：30這個數是否就是第一個m(可以使得結果大於2的第一個m)，是否(1.025) 292也會成立，所以我們要檢查：(1.025)29 2.046也就是說使得存款變成2倍的第一時間(the first time )就是m29；因此，讓所有存款變成2倍的時間，是發生在7年3個月之後。我們應該要做一個結論。當我們尋找規律，想要知道需要多少時間才能讓你的錢變成兩倍，就是要找到第一個m，使得(1+D(Ip)m 2然後依照存款期間來乘以m。老師可以寫下這個規則，然後要求學生解釋，他們應該要了解因為經過k期之後，所有金額成為(1+D(Ip)kS，然後為了至少得到2S，那麼就應該要符合(1+D(Ip)m 2。老師可以應用許多實例和學生進行討論，他們可以一起做一張表格，在已知利率和計算複利頻率的情況下，找出讓本金加倍所需的時間。老師可以發展設計一些練習題，那麼學生就能夠知道該試嘗試比較長或者比較短的期數，而且能解釋為什麼他們的答案是正確的。(我知道要把存款變成2倍必須要超過7年。因為當我們計算到7年的總期數時，我們得到的數量比2少；但是當我們計算到第29期時(也就是7年3個月)，我們得到的數量就比2多了。)加倍期(把存款變為兩倍所需的時間)利率(百分比)N = 1(以年計)N = 2(以年計)N = 4(以年計)N = 12(以年計)3679102412119823.51210.587.523.2511.751087.2523.1711.610 7.757給學生的題目也可以是實際的金額。Jason存$2500到銀行，那個帳戶的利率是5%，如果以複利計算，每三個月計息一次，Jason需要花多久的時間，才能從那個帳戶裡至少得到$5000呢？從加倍期再進一步發展如果時間許可，可以提供以下兩類主題以增加學生的練習機會，這兩類題目都牽涉到重要的抽象技巧，這可以大大提昇學生的能力，使得他們在日後有能力處理真實世界的問題。首先，如果學生已經充份了解加倍期，就讓他們說出以下會發生什麼事：經過兩個加倍期會怎樣呢？三個加倍期呢？一個半的加倍期呢？其次是討論找答案的步驟為何。充份了解加倍期。請記得主要的式子是1+ m我們假設N4，而且存款加倍所需的時間剛好是6年。1. 過了12年，你的錢會增加為多少錢呢？請注意1+ 24 =2是根據前面的假設，也就是6年(或者是24期)可以使存款加倍；如果是12年，就是48期。因此：1+ 48 =1+ 24+24 =1+ 24 1+ 24 = 2 2 = 42. 過了3年，你的錢會增加為多少錢呢？3. 請再次注意1+ 24 =2。因為3年後的總金額是：1+ 12 = 請注意：=1+ 12+12=1+ 24 = M2所以M2=2，也就是說3年後的金額會是，或是1.41421例題假設加倍期剛好是6年，而且假設我們存了$100，30年後我們會有多少錢呢？($3200)；36年後我們會有多少錢呢？($6400)；60年後我們會有多少錢呢？($102400)；63年後呢？($144815.47)。思考歷程(search procedure) 本主題是第二個，特別要討論剛開始分析題目的思考歷程，在真實世界裡尋找大量的資料很重要並且要花很多時間，因此必須發展出有效的步驟才能快速完成解題。在這裡就是要好好的談談這種歷程。如果在我們的解題過程中能夠把每次尋找答案的時間縮減到一半，那麼就可能非常快速的完成系統性的解題歷程。以下我們就是要用例子來說明這樣的歷程：已知利率12%(複利計息)，一年計息12次；因此，每一期的利率就是1%，因為每一期增加1%，所以倍增的時間會少於100期；而且經過100期，至少就增加了100%。現在，100的一半是50，所以我們試算(1.01)50=1.6446，不過這個數字還太小。所以倍增的時間會比50期還要大，但會少於100期。在50和100中間的數是75。所以我們試算(1.01)75=2.10912，這個數字比2還大，所以m可能比75小，而且不會大於75，無論如何都會比50大。在50和75中間的數是62.5。所以我們試算第63期：(1.01)63=1.87174，這個數字還太小，所以倍增的時間是介於63和75之間。而兩者的中間數是69：(1.01)69=1.98689所求的m是大於69、小於或等於75，所以我們試算中間數72：(1.01)72=2.04709，現在我們真的愈來愈逼近2了，所以我們檢查70和71，找出哪個數才是可以使得(1.01)m 2的第一個m，結果如下：(1.01)70 =2.0076所以答案是m=70，可以讓錢加倍的時間是70個月，或者是5年又10個月。思考歷程複利的應用貸款、存款和貨幣現值前面的章節已經涵括了七年級要學的某些主題。以下要講的主題適合放在七年級的預備階段，可以把帳戶貸款和存款的公式教給學生，再讓他們多做一些練習，以熟悉那樣的式子，當然，對於程度較高的學生或是比較好的班級，可以多做一些，這就要依賴老師的判斷了。總之，在代數II裡要探討一些幾何級數，這樣的方式在深入討論這些問題時很自然(代數II的課程標準22.0以及23.0)，可提供很好的動機給學習幾何級數的學生，並且也提供了一些能真實有用的數學用法，這麼一來就可以讓學生想要學習，而且幫助他們把注意力放在課堂中。在這裡會提到許多東西，比前面附錄提到的還要多，都是在強調相關的數學。以下要討論在複利的情況下，從一個帳戶裡存款或提款的兩種計息歷程。內容包括銀行貸款、抵押、存款，以及像樂透之類的實際騙術。首先要討論的是，在某一段時間內提款或存款會有什麼效果，然後再應用推廣到一般情況。從帳戶提款假設我們有一個可以累計複利的帳戶，然後我們在第k期的時候提出一筆錢，那麼以後的利息累積會變成怎樣呢？如果I是利率，N是一年的期數，S是一開始存進帳戶的金額，A是提出的金額，往後計息期間內的金額，就是依循下面的式子1+ m-1+ m-k+1 因為我們想要知道提款後發生的事，因此這裡的m大於k。這個式子意味著mk，我們不僅少(提出)了A，也損失了A在m-k+1期數裡可以賺到的利息。圖2告訴我們：如果在第三個週期提出款項，會發生什麼效果。那筆提款的利息也會損失掉，如下列的式子所示1+ m-1+ m-2 利益的損失利息週期圖2 提款的效果例題1. 請列出一個式子，算出存款4年可以得到多少錢。有個帳戶利率是6%，以複利的方式，每個月計息一次，我們起初存了$1000，且在第六個月底提出$200。2. 假設我們投資$1500到某個帳戶，利率是7%(複利)，每季計息一次。如果在第一年底提出$400，那麼在第三年底我們可以得到多少錢呢？存款到帳戶把錢存進帳戶，從第k期開始得到利息，這種情形和提款剛好相反。後來加進去的錢也會開始產生利息，但是因為它在銀行的時間比較短，所以產生的利息也會比較少，式子如下：1+ m+1+ m-k+1 如果m k，這個式子表示經過m期的總金額，和前面的提款式子只有一個不同，那就是在這裡是加上利息A，而不是減掉。第三期的存款效果，如圖3所示。得到的利息存款的期數圖3、存款的效果往後，這筆款項的利息也會被加進去，如下的式子所示1+ m+1+ m-2 有些存款問題和提款問題很類似，這兩者都應該在教室裡介紹給學生，也要做為家庭作業。首要的目標是能列出式子，等到學生能夠理解怎麼做之後，他們就應該能夠解一些複雜的例題了。以下提到的教材，就是把前述的公式應用到每月定額存款、貨幣現值，以及銀行貸款。存款計畫、貨幣現值，以及銀行貸款前面是討論複利的基本概念，在這裡我們要做進一步的探討，例如，當人們從銀行得到貸款時，銀行會設定利率和還款時間，以及每次攤還金額。銀行怎樣決定這些呢？只要了解這種歷程，那麼對於財務管理就會有幫助，就可以學到處理財務的工具，在訊息充份的情況下決定金錢的進出。存款計畫供小孩上大學 當孩子出生時，父母可能要擬定一個存款計畫，每個月存一點小錢，做為孩子長大後就讀大學的費用。讓我們假設每個月放進一筆存款到戶頭裡，每個月以複利的方式累計利息，在第m期末時，帳戶裡會有多少錢呢？求解的過程如下：我們以S金額做開始。1. 在第一期計息後，我們另外存進一筆金額A。但是銀行已算了S存款的利息，這個利息我們稱為I1。現在我們有(SI1)A。2. 在下一期計息後，我們得到(SI1)A的利息，而且我們還多存進一筆金額A，得到利息I2。現在我們有(SI1)A)I2)A。3. 在這一期計息後，我們得到(SI1)A)I2)A的利息，而且我們再多存進一筆金額A，我們把從(SI1)A)I2)A得到的利息記做I3。現在我們有(SI1)A)I2)A)I3)A，餘此類推。以下是一個複雜的式子。在第m個利息週期後帳戶裡的錢是：(1+D(Ip)mS(1+D(Ip)m-1A(1+D(Ip)m-2A(1+D(Ip)m-3A(1+D(Ip)AA這個式子可以解釋成：剛開始存款S，得到所有m個期數的利息；第一筆存進去的金額A得到m-1個期數的利息，所以它被(1+D(Ip)m-1所乘；第二筆存進去的A得到m-2個期數的利息，所以它被(1+D(Ip)m-2所乘，餘此類推，一直到最後一筆A，它沒有得到任何利息。如果不想寫那麼長的式子，以下有個改寫式子的方法，可以讓計算變得容易些：1+ D(Ip)m S+ A請注意下列的總和(1+D(Ip)m-1A(1+D(Ip)m-2A(1+D(Ip)m-3A(1+D(Ip)AA用以下比較簡潔的新式子來取代原式 A在解釋上述的式子取代過程之前，老師應該讓學生練習這個簡化過的式子。假設每個月存40元到帳戶，且年利率是6%，以複利計息，每個月計息一次，請問15年後，帳戶裡將有多少錢？在這裡Ip = % = 0.5%，所以D(Ip) = 0.005，而且因為我們才剛開始存第一筆錢，所以起始金額S = 40元，最後利息期數就是12 15 = 180，以下的公式顯示15年後帳戶裡的總金額：(1.005 180 40 + )計算出來的總金額是11731元。我們也應該注意到：我們總共存了40 180 = 7200元，因此，多出來4531元，就是存款所賺的總利息。例題 1.假設我們帳戶裡一開始有150元，且一到計息末，我們就再存100元進去，假如年利率6%，且以複利計息，每三個月計息一次，在第5年底時，帳戶裡將有多少錢。2. 假設我們的帳戶裡一開始有500元，且在每個週期結束時，我們放100元進去，假定以複利計息，每三個月計息一次。 .如果利率7%、8%、9%和10%，請以表格說明第5年底將分別有多少錢？ .如果利率7%、8%、9%和10%，請以表格說明第10年底將分別有多少錢？ .如果利率7%、8%、9%和10%，請以表格說明第15年底將分別有多少錢？解釋公式（補充）我們想要解釋為什麼總和是： (1+ D(Ip)m-1 A+(1+ D(Ip)m-2 A +(1+ D(Ip)A + A上面的公式可被下面的公式取代：( )A首先，我們應該對總和公式裡的每一項A採用分配律，也就是先用公式把總和變得簡單一點，然後再一起乘以A： (1+ D(Ip) m-1 A+(1+ D(Ip) m-2 A +(1+ D(Ip)A + A=(1+ D(Ip) m-1 +(1+ D(Ip) m-2 +(1+ D(Ip)+1A這樣的表示仍然太複雜，我們想要寫出更簡單的公式，因此把焦點放在簡化，老師應該用R來代替先前公式中的每一組1+ D(Ip) ，所以這個公式就變為： R m-1 + R m-2 + R 2 + R +1 A接下來的步驟是簡化括號裡面的和，可以用引理的形式來表達，因為這個結果很重要而且常出現在進階的課程中。引理：設R是不等於1的任意數，使得：R m+ R m-1 + R m-2 + R 2 + R +1 =我們可以檢視這個等式，在等式的兩邊同乘以R-1，因為R-1 0。請注意，(R-1) V = R V - V。再用R乘以上述總和，就是用R去乘以總和中的每一項，因此就得到：R m+1 +R m +R m-1 + R 3+R 2 + R然後，當減掉原本的總和時，整個減法可以整理如下：R m+1 +R m +R m-1 + R 2+ R- R m -R m-1 - R 2 - R -1也就是用(R-1)乘以總和，結果會一一抵銷內部各項，剩下R m+1 -1。又因為原來的公式 1+ D(Ip) = R，所以我們進行取代，就得到：= 我們注意這個分母(1+ D(Ip) - 1，兩邊的1可以互相消掉，所以這個分母就變成D(Ip)，最後，我們可以把總和寫成：經過m期，只要我們把上述簡化的公式乘以A，就可以得到帳戶裡的總金額。貨幣現值(present value of money) 樂透的取款方式根本就是一場騙局。假設你中樂透贏得一百萬元，根據規則，這筆款項並不是一次支付給你，而是平分成數個相等的款項，整個付款期超過20年。請問每一次支付的款項會是多少呢？=$50000雖然你中了樂透一百萬元，但是你真的拿足一百萬元的樂透彩金嗎？事實上，銀行會存一筆固定的款項，這筆錢會生利息，然後在20年內銀行就從帳戶裡扣款，每一年支付你50000元，直到領光帳戶裡所有的錢。以這個問題為例，算算看樂透銀行必須放多少錢到帳戶裡，以便在20年內付清一百萬元？這個答案可能會令你大吃一驚，在相當保守的假設下算出來的結果是銀行只要存529700.71元到帳戶，就會創造出一百萬元貨幣的現有價值(present value)。我們要說明一下用這個方法如何創造出貨幣的現有價值，讓我們假設存款後，銀行每年付我們7%的利息，一年後你會獲得第一筆銀行支付的款額，假如存在銀行裡的總金額是S，那麼第一年底帳戶裡剩下的總額會是：(1.07) S - 50000然後，在第二年底時，將會有：(1.07) (1.07) S - 50000) - 50000這個方程式可以寫成： (1.07) 2 S - (1.07)+1) ) 50000在第三年底時，帳戶裡將有：(1.07) (1.07) 2 S - (1.07)+1) ) 50000) - 50000這個方程式可以寫成： (1.07) 3 S - (1.07) 2+(1.07)+1 ) 50000這個過程顯示，在m年末，帳戶裡的總金額將是：(1.07) m S - (1.07) m-1 +(1.07) m-2 +(1.07) +1 ) 50000當m = 20，我們預期帳戶裡的錢應該會被領光，所以，我們就有以下的等式：(1.07) 20 S - (1.07) 19 + (1.07) 18 + (1.07) 17 +(1.07) +1 ) 50000 = 0如果我們使用總和的式子時，這個式子就可以寫成R m +R m-1 + R 2 +