几何图形的计数.ppt

几何图形的计数 在数学竞赛试题和中考中 经常出现一些几何计数问题 所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数 它的内容比较新颖有趣 为了准确计数 必须要有一套计数的方法 否则越数头绪越杂乱 很难得出准确的结果 本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法 学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法 更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用 如数形结合思想 分类讨论思想和转化的思想 分类讨论思想在这里尤其突出 我们所使用的所有计数方法都离不开分类 下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧 例1 数线段时 可以线段的左端点进行分类 逐类分别数出线段条数后相加 BC BD BE BF共4条 CD CE CF共3条 DE DF共2条 EF共1条 合计有5 4 3 2 1 15 条 一 数线段 基础训练1 共有6 6 1 2 21 条 注意 这里涉及到数学中很重要的思想方法 分类的思想方法 在几何计数中怎样分类 本例所介绍的是方法 1 按照包含同一图形进行分类 2 先划分出基本图形 再按照包含基本图形的数目分类 你是怎样数的 如果一条线段上有n 1个点 包括两个端点 或含有n个 基本线段 那么这n 1个点把这条线段一共分成的线段总数为n n 1 2 1 AB BC CD DE EF AC BD CE DF AD BE CF AE BF AF共16条 二 数角 例2 数角与数线段相似 线段图形中的点类似于角图形中的边 三 数三角形 可用数线段的方法数如图所示的三角形 对应法 因为DE上有15条线段 每条线段的两端点与点A相连 可构成一个三角形 共有15个三角形 同样一边在BC上的三角形也有15个 所以图中共有30个三角形 上面我们采用的方法是分类法这里采用的方法是 对应法 这也是计数中常用的方法 这种方法实际上是数学的另一思想 转化思想的运用使用对应法时 总是在原图形中 有时需添加辅助线 找出它的某一部分作对应图形 本题的解决 既有分类法又有对应法 顶点为O 且一边在AB上的三角形有3 4 2 6 个 一边在BC上的三角形有4 5 2 10 个 一边在AC上的三角形有3 4 2 6 个 再加 ABC 所以共有23个三角形 四 数长方形 平行四边形和正方形 AM与EB对应着长方形EPNB AM与GB对应着长方形GQNB 就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形 共6个长方形AD边上共有3条线段 其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形 所以共有3 6 18个长方形 一般的 类似于这样的长方形 平行四边形 若其横边上共有n条线段 纵边上共有m条线段 则图中共有长方形 平行四边形 mn个 线段AM与AE对应着长方形AMPE AM与AG对应着长方形AMQG AM与AB对应着长方形AMNB AM与EG对应着长方形EPQG 例4 横边上有8 8 1 2 36条线段 纵边上有7 7 1 2 28条线段 所以共有36 28 1008个平行四边形 思考 能否像例4那样数平行四边形 可以将图形分割成几部分 使每一部分都像例4那样的图形但分割的块数越少越好 思考 原图中平行四边形的个数是否等于60 注意 在使用分类计数法时 一定要注意是否有遗漏或重复计数的 例5如左 中 右三图 各包含多少个正方形 为便于叙述 我们设一个小正方形的边长为1 那么左图中边长为1的正方形的个数是 3 2 6 边长为2的正方形的个数是 2 1 2 所以左图中共有正方形3 2 2 1 8 个 中图中边长为1的正方形的个数是 4 3 12 边长为2的正方形的个数是 3 2 6 边长为3的正方形的个数是 2 1 2 所以中图中共有正方形4 3 3 2 2 1 20 个 右图中边长为1的正方形的个数是 6 4 24 边长为2的正方形的个数是 5 3 15 边长为3的正方形的个数是 4 2 8 边长为4的正方形的个数是 3 1 3 所以中图中共有正方形6 4 5 4 4 2 3 1 50 个 如果一横行有m个小正方形 一竖行有n个 假设m n 小正方形 那么图中正方形的个数是mn m 1 n 1 m n 1 n n 1 这里所采用的方法是分类法中的另一种 是 3 按照图形的大小分类 例7 你打算怎样数图中的三角形 5 5 10 第4类 与三角形ACD形状有某些相似的三角形有 个 5 5 5 所以图中的三角形共有35个 这里所采用的方法是分类法中的另一种 是 4 按照图形的形状分类也可以说是 5 按照图形所处的位置分类 例8 华罗庚金杯竞赛题 下图中有个正方形 有个三角形 能否将图中的正方形分类 按照不同类型分别数出其中的正方形个数 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 91 除上一类为 还有个正方形 这里所使用的方法是分类法中的 4 按照图形的形状分类 6 6 2 72个 8个 6个 2个 8个 6个 共30个 4个 2个 4个 共10个 思考 还有漏数的三角形吗 各4个 共12个 3个 1个 4个 共计20个 思考 还有漏数的三角形吗 思考 还有漏数的三角形吗 斜边长为4的三角形 3 6行2个 所以图中的三角形共计72 30 10 2 20 17 4 155 个 这里用了分类法中的 3 按照图形的大小分类 之后又按图形所处位置分类 课后反思总结 计数方法 1 分类计数法 1 按照包含同一图形分类 2 按照图形所包含的 基本图形 的个数分类 3 按照图形的大小分类 4 按照图形的形状分类 5 按照图形所处的位置分类 2 对应计数法 几个计算公式 1 线段 角的计数公式 2 长方形 平行四边形的计数公式 横边上共有n条线段 纵边上共有m条线段 则图中共有长方形 平行四边形 mn个3 正方形的计数公式 如果一横行有m个小正方形 一竖行有n个 假设m n 小正方形 那么图中正方形的个数是mn m 1 n 1 m n 1 n n 1 mn m 1 n 1 m n 1 1 问题解答在 成就测试答案 1 3 2 1 6 A1OA4 2 6 5 4 3 2 1 21 4 4 1 3 2 2 3 1 4 20 3 经过AE到F的有 种爬法 3 经过AD到F的有 种爬法 与数长方形和正方形的方法类似 长方体有 个 3 2 1 2 1 2 1 54 正方体有 个 3 2 2 2 1 1 14 1 一边在AB上的三角形有 ABC ABE ABN ABF ADM ADC BDG BDC 2 一边在BC上而另一边不在AB上的三角形有 BCA BCD BCF BCG BEA BEN ECA ECM 3 一边在CA上而另一边既不在AB上也不在BC上的三角形有 CAB CAD CAE CAM CFB CFG AFB AFN 4 三边不在AB BC CA上的有 共计8 5 3 16个吗 图中共有直线6条 设为a b c d e f 每3条一组 列表如下 abcabdabeabfacdaceacfadeadfaef计10组 bcdbcebcfbdebdfbef计6组 cdecdfcef计3组 def计1组 这里采用的是对应法 但是也要注意计数中是否有遗漏或重复 def计1组 合计10 6 3 1 20组 但是经过同一点的三条直线不能围成三角形 所以图中的三角形共有20 3 17 个 提高训练3 图中共有多少个三角形 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类 两类中三角形的个数相等 尖向上的三角形又可分为6类 1 最大的三角形1个 即 ABC 2 第二大的三角形有 1 2 3 个 3 第三大的三角形有 1 2 3 6 个 4 第四大的三角形有 1 2 3 4 10 个 5 第五大的三角形有 1 2 3 4 5 15 个 6 最小的三角形有 1 2 3 4 5 6 3 24 个 最后加的3个是哪3个 所以尖向上的三角形共有1 3 6 10 15 24 59 个 图中共有三角形2 59 118 个 提高训练4在8 8的方格棋盘中 取出一个由三个小方格组成的 L 形 如图 一共有多少种不同的方法 注意 数 不规则几何图形 的个数时 常用对应法 第1步 找对应图形每一种取法 有一个点与之对应 这就是图中的A点 它是棋盘上横线与竖线的交点 且不在棋盘边上 第2步 明确对应关系从下图可以看出 棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法 L 形的 角 在2 2正方形的不同 角 上 第4步 按照对应关系 给出答案故不同的取法共有49 4 196 种 提高训练5下图中的正方形被分成9个相同的小正方形 它们一共有16个顶点 共同的顶点算一个 以其中不在一条直线上的3个点为顶点 可以构成三角形 在这些三角形中 与阴影三角形有同样大小面积的有多少个 1 显然应先求出阴影三角形的面积设