浅谈积分在几何中的应用.doc

浅谈积分在几何中的应用学生姓名:张芳芳 学号:20085031252数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导老师:沈明辉 职称:博士摘 要: 积分在几何中的应用多种多样且技巧性强,为使学生灵活运用,熟练运用积分求几何图形中的体积和面积,本文将数学分析中积分在几何中的应用系统的进行了归纳.分析积分在几何中应用范围和方法:由积分求面积,由积分求体积,.它对快速了解并应用积分求几何有一定的意义.为了便于学生对定积分在几何中的应用易掌握，作者通过多年的教学经验研究出了一种形象、直观、易懂的教学方法：通过图形来选择定积分的上（下）限、积分变量、被积函数，最后求出图形的面积或体积。关键词: 二重积分; 三重积分; 定积分On the calculation of indefinite integralAbstract: Indefinite Integral method of calculating a variety of skills and strong, To allow flexibility in the use of students, skilled choice of integration method for calculating the indefinite integral, In this paper, mathematical analysis of various methods of calculating the indefinite integral of the system is summarized. Analysis of the four basic indefinite integral solution: direct integration, the first element method for, element method for the second category, Integration division Its indefinite integral quickly solving a certain degree of significance.Keywords: Indefinite Integral；for integral； distribution points引言 正如加法有其逆运算减法,乘法有其逆运算除法一样.微分也有其逆运算积分法.它是研究求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。这个问题的提出首先是因为它的出现在许多实际问题之中。例如，已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点的斜率（或某一点的斜率所满足的条件）求曲线方程等。而这些问题的解决都与大家的日常生活息息相关。研究不定积分的方法,以后对生活,科研都有很大作用.1.预备知识1.1原函数及不定积分的概念是函数的一个原函数，是指对定义在区间内的已知函数，如果存在可导函数，使对于任意的，都有或的不定积分，是指的全体原函数（为任意常数）记作原函数存在定理: 连续函数一定有原函数.1.2不定积分的性质 2.运用积分的求体积的方法及举例2.1由平行截面面积求体积设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于轴的两平面与之间。为方便起见称为位于的立体。若在任意一点处作垂直于轴的平面，它截得的截面面积显然是的函数，记为，并称之为的截面面积函数。由截面面积函数求的立体体积的一般公式为：。 例一：求由两个圆柱面与所围立体的体积。2.2换元积分法2.2.1第一类换元积分法: 定义：设f(u)具有原函数F(u),即, .设u为中间变量: , 可微,则根据复合函数微分法,有.根据不定积分的定义,就有.即简化为：设f(u)具有原函数, 可导,则有换元公式 第一换元积分法（凑微分法）主要是处理复合函数求积分的方法, 它的基本思想是“变换积分变量, 使新的积分对于新的积分变量好求原函数”, 采用的手段是 “凑微分”, 将凑成, 如果说被积函数可以凑成这样两个因子的乘积（其中一个是的函数, 另一个是的导数）, 方可使用第一换元积分法. 用第一换元法的目的：求出积分, 因此, 换元以后的积分必须容易求出积分. 一般地, 换元后的函数是积分基本公式中函数的形式或积分基本公式中函数的线性组合形式. 例题：例1: 求解:令,则原积分=例2: 求解:令,则原积分= 方法总结题型： ;(a) ; ; ; ; ;(7) ; ； ； ； 2.2.2第二类换元积分法 （变量代换法）： 定义：设是单调、可导函数，并且，又设具有原函数，则换元公式，其中是的反函数 例题： 求解:令， 则原积分 = 求（a0）解：令，则原积分=3 求解：令，则原积分=2.3分部积分法 定理：（分部积分法）若和可导，不定积分存在，则也存在，并有 简写为： 规律：如果和选取不当就求不出结果，所以应用分布积分公式时恰当的选取和是关键，选取和一般要考虑以下两点：（1） 要容易求得；（2） 要比容易积出（3） 对于积分,u、v哪个函数放进d里面呢1.幂函数与三角函数相乘(把三角函数积到d里,若等号两边不平,并进行配平)2.幂函数与指数函数相乘(把指数函数积到d里,若等号两边不平,并进行配平)3.幂函数与对数函数相乘(把幂函数积到d里,若等号两边不平,并进行配平)4.三角函数与指数函数相乘(把三角函数积到d里,若等号两边不平,并进行配平) 例题：； 求和解：； ；解之得： 所以，。2.4有理函数和可化为有理函数的不定积分 定理（有理函数的不定积分）： 两个多项式的商称为有理函数，又称有理式。当分子的次数小于分母的次数时称为真分式，否则称为假分式。有理函数当n=m,假分式=多项式+真分式;当n1时，原积分=； 求解：令，原积分=当k=1时，（*）式=；当k1时，（*）式的第一个不定积分为；记第二个不定积分为；用分部积分法导出递推公式如下：所以，；重复使用递推公式，最终归结为计算，最后式求得，并令，就完成对不定积分的计算。2.5某些无理根式的不定积分类型举例：型不定积分令，原积分可为有理函数的不定积分。型不定积分。因为，记，此二次三项式必属于以下三种情形之一，积分可化为以下三种类型