2018-2019学年高中数学空间向量与立体几何2.6距离的计算训练案北师大版.docx

2.6 距离的计算,学生用书单独成册)A.基础达标1若A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，则|的取值范围是()A0，5B1，5C(1，5) D1，25解析：选B.|，因为1cos()1，所以1|5.2正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，则异面直线AC与A1D的距离为()A. B.C. D1解析：选A.建立如图坐标系，连接B1C，AB1，因为A1D平面AB1C，所以异面直线AC与A1D的距离为A1到平面AB1C的距离D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，A1(2，0，2)，(2，2，0)，(0，2，2)，(0，0，2)设n(x，y，z)为平面AB1C的法向量，由n0，n0得：xyz，可取n(1，1，1)，故A1到平面ACB1的距离为.3若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A. B1C. D.解析：选D.以D为坐标原点，为x，y，z轴正向建立坐标系，C(0，1，0)，C1(0，1，)，A(1，0，0)，(0，0，)，(1，1，)，易知平面ABCD，可取为平面ABCD的法向量，故A1C1到平面ABCD的距离为.4把边长为a(a0)的正ABC沿高线AD折成60的二面角，则点A到BC的距离是()Aa B.aC.a D.a解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，因为正ABC边长为a，所以|BD|DC|，所以B(，0，0)，A(0，0，a)，C(，a，0)，所以(，0，a)，(，a，0)与同向的单位向量为s0(，0)所以da.5正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1到平面BDC1的距离为()A.a B.aC.a D.a解析：选D.明显A1C平面AB1D1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n(1，1，1)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，(0，a，0)，则两平面间的距离为d|a.6已知点A(1，2，1)，B(1，3，4)，D(1，1，1)，若2，则空间P，D两点间的距离为_解析：设P(x，y，z)，由(x1，y2，z1)22(1x，3y，4z)(22x，62y，82z)，得即故|PD|.答案：7三棱锥SABC中，SA平面ABC，ABAC，且ASABAC2，D是SA的中点，则点D到BC的距离为_解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，所以(2，0，1)，(2，2，0)，所以在上的投影长为，故D到BC的距离为 .答案：8已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(a，a，0)，B1(a，a)，D(0，a，)，C1(0，a，a)，设平面AB1D的法向量为n(x，y，z)，则即所以取z2，则y1，x，所以n(，1，2)，(0，0，)，则点C1到平面AB1D的距离为a.答案：a9.在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD，且ABAD1，BB2，M，N分别是AD，DC的中点，求直线AC与直线MN的距离解：依据长方体的性质可知ACMN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离由题意得(1，1，0)，(0，2)所以点M到直线AC的距离d .10如图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD，平面CSD平面ABCD，CSDS，CS2AD2，E为BS的中点，CE，AS.求点A到平面BCS的距离解：如图，以S(O)为坐标原点，OD、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系设A(xA，yA，zA)，因平面COD平面ABCD，ADCD，故AD平面COD，即点A在xOz平面上，因此yA0，zA|1.又x12|23，xA0，解得xA.从而A(，0，1)因ADBC，故BC平面CSD，即平面BCS与平面yOz重合，从而点A到平面BCS的距离为xA.B.能力提升1空间直角坐标系中(O为坐标原点)，在坐标平面xOy上到点A(3，2，5)，B(3，5，1)距离相等的点有()A1个B2个C不存在 D无数个解析：选D.过AB的中点(3，3)且以(0，3，4)为法向量的平面上的点到A、B的距离相等2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为线段BD1，CC1上的动点，则PQ的最小值为()A. B.C. D.解析：选D.PQ的最小值即为异面直线CC1，BD1间的距离，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D1(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，1)，所以(1，1，1)，(0，0，1)，设Q(1，1，z)，z0，1，令(0，1)，则(，)，所以(1，)，(，1，z)，因为所以所以z，即P(，)，Q(1，1，)，故|PQ|.3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为_解析：建立如图坐标系，设|，C(0，0，0)，D(1，0，)，B(0，2，0)，B1(0，2，2)，(1，0，)，(0，2，2)，(0，2，0)为平面C1DC的法向量，设n(x，y，z)为平面B1DC的法向量，由n0，n0得：xz0，yz0，可取n(，1，1)则cos 60，得.故|.答案：4在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN的距离为_解析：以D为坐标原点， 以，为x，y，z轴正向建立坐标系，在线段AB上取点E，使|，易得，则AM平面ENC，则异面直线AM与CN的距离等于M到平面ENC的距离，E(1，0)，N(1，1，)，C(0，1，0)，M(1，1)，(0，)，(1，0)，(0，1)，设n(x，y，z)为平面ENC的法向量，由n0，n0得y2z4x，可取n(1，4，2)，故AM与CN的距离为.答案：5已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离解：(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，0)，F(，1，0)，(，0)，(1，1)，设平面PEF的法向量n(x，y，z)，则n0且n0，所以令x2，则y2，z3.所以n(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离为d，因此，点D到平面PEF的距离为.(2)因为(0，0)，所以点A到平面PEF的距离为d，所以AC到平面PEF的距离为.6(选做题)已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1.(1)求证：AC1平面A1BC；(2)求点C1到平面A1AB的距离解：(1)证明：如图，取AB的中点E，连接DE，则DEBC，因为BCAC，所以DEAC，且A1D平面ABC，以射线DE，DC，DA1分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A(0，1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，设A1(0，0，t)，C1(0，2，