统计力学笔记01之 遍厉各态原理与等概率原理.doc

统计力学里面的研究方法都是一样的，什么近独立自由粒子的最概然分布，什么系综理论。这个思想都是很自然的，然而是一个相当相当漂亮的，一个相当具 有艺术性和数学技巧的研究方法。 中国的教育都没有教到重点上，统计力学的考试就是算几个费米统计的题目，算算算，考高数啊还是！ 我先来说一下什么是系综，系综就是将之前的分子理论模型进一步的实际化了的理论，要搞明白这个先看一下三种统计即 ：波尔兹曼统计，费米统计和波色统计。这三种统计是在做一件什么事情呢。他们是在计算一个宏观系统的微观状态数，这个有是统计的根本原理，统计热力学不纠结于热力学量的一些相互关系。它从更加本质的层面来解释热力学平衡的一些现象。我 们先忘掉热力学，在统计里面我们做物理分析的模型基础还是分子运动理论的那些东西。 ，这些组成宏观系统的粒子性质是完全不同的，比如说，颜色，大小，形状，相互作用模式，可不可以区分，等等。但是热力学里面我们只关注这些粒子的有关性 质，比如可不可分辨，粒子全不全同。 粒子的这个性质对于统计热力学来说的影响是至关重要的。我们把粒子分成三种，一种是可以分辨的粒子，一种是不可以分辨的粒子，不可以分辨这个意思很深刻， 我不懂。 不可分辨的粒子里面还分为两种，一种是每一个状态上面只可以有一个粒子，另外一种就是每一个状态上面可以有多个粒子。 所以统计热力学里面我们把粒子分成了，波尔兹曼粒子， 费米子，还有波色子三种，因为我们在接下来计算微观状态数的时候就会发现我们不得不讨论粒子的这几个性质，不得不对粒子进行一个分类。近独立粒子的最概然分布的问题是用不到相空间的那种方法的，因为在近独立粒子问题里面我们所研究的问题比实际的问题简化了很多很多，我们不考虑那个令我们最头疼的相互作用。 因而这些系统的性质变得相对的简单。我 们认为一个系统的宏观状态一定的情况下，还可以有很多满足这个宏观状态下的微观条件。 就是说一个系统如果只有这样的几个约束条件：能量为100j，体积为1立方米，温度为1k，有10000个粒子，这样的系统是不能完全确定的， 我们要找出在这个宏观量确定的前提下，这个系统所能够有的所有的状态（就是说只要有一点我们能够区别的不同，那么两个系统的状态就不同）。 这样的状态当然有很多，就相当于我只规定一个教室里面有50个人，教室里面的50个人可以有很多很多不同的坐法，坐法数目的多少取决于有多少个座位，有多 少个人，这些人我能不能把他们区别开来。 注意我这里说的区别指的不是我们人不能把他们区别开来，而是这两个东西客观的说本来就不可以区别开来。我们要计算这个东西，那么我们就必须要引入能级，简并度，等一些概念。有了这几个概念之后我们对于这种近独立分布的系统的微观状态数的计算就有办法了。这里不多说这个很好理解然 后我们算出了比如说这样一个满足宏观约束的系统的所有可能的状态数是50000个， 依据等概率的原理，我们说这样的满足宏观物理量：能量为100j，体积为1立方米，温度为1k，有10000个粒子的系统，他还可能有50000个不同的 状态，那么现在我去找到一个这样的系统，它到底是处在这50000个状态中的那一个状态呢。 等概率原理告诉你，你不知道，因为每一个出现的概率都是一样的是1/50000.这个好像很OK，但是对事情没有多大的帮助。不急!接下来 我们再依赖于我们的能级和简并度这两个概念来构造一些东西出来。 说明一点，能级和简并度是组成系统的粒子的一些性质， 从量子的角度来说组成系统的是某种粒子他们的状态的变化不是连续的，比如他们所具有的能量，比如他们运动的方向。打个比方，能量分离就像是你去拨一个开关 一样，开关只能处在两个位置，你的力不够大，这个开关是不会动的，你的力再大，你也只能把它拨到另外一个档位上面去。粒子具有怎样的能级， 以及每一个能级能有多少简并度这个是粒子的性质。比如一个费米子（不可分辨，同时一个粒子的状态上面只能有一个粒子），它只可以有1ev，和3ev这样两 个能量的状态， 这个就是能级，同时我们再看我们发现能量是1ev的状态下面这个粒子还可以有不同，比如5个不同的运动模式，那么这个5就叫做这个粒子的能级 1ev 的简并度。这套离散的东西对于量子问题处理是好办的。 经典里面我们还是认为能量的取值是连续的，每一个能级的简并度也是有的，一会我们就可以算出来。我 们刚刚得到的，那个系统的可能的状态有50000个，这个好像对于问题没有什么帮助，现在我们依靠能级来给这50000个状态来分一下类别。以便我们好下 一步继续处理我们的问题。我们发现这样的50000个状态里面 有49856个状态他们有相同的地方（你可能会惊讶于怎么有高达百分之98的粒子都有共同点呢，这个是事实。正是由于有这个事实才可以使得统计这套方法很 有用） 他们的处在同样一个能级E上面的粒子数是一样的， 比如我现在有这样一批粒子，他们是波色子，他们都是相同的，每一个粒子只能取1，2，3，4，5，6，7，8，9，10（ev） 这样十个能量的状态，在这个系统满足所规定的宏观状态之后，我们发现了一个规律，就是每一个能级之下的粒子数基本上都是确定的，比如总是只有400多个粒 子有10ev的能量，总是只有8000个粒子有能量6ev，注意我的数字没有意义，只是便于理解。 就像每一个社会里面上层的人只有那么百分之几，十分落魄的人也只有那么百分之几，人们的数量会有一个分布。中等的人总是最多的，超级天才只有那么一两个。我们就发现这样一个具有能级的粒子，他们在满足宏观物理量的条件下平衡了之后，他们的粒子数关于能量都有一个确定的分布。而我们上面做的工作可以告诉你这个分布是什么。比 如对于波尔兹曼系统，粒子有能级为ei，每个ei下面由wi个简并度的宏观状态是 总能量是E，总粒子数是N，的系统来说，他们在平衡（即各项指标都不随时间变化）之后，有一个确定的粒子数关于能量的分布，是Ai（处在能级为ei下的粒 子数）=wi*exp（-a1-ei*a2）其中a1，a2可以是由拉格朗日数乘法引入的两个参数，他们可以根据约束（ E=求和 Ai*ei，即总能量等于每个粒子的能量之和，N=求和Ai，总粒子数等于每个能级底下的粒子数之和）所以三种统计都是在做同样的一件事情，就是找到这个平衡状态时候的分布。其 实我这样说不是很严谨，但是事实就是处理这样一个问题，就像一个社会一样，我想知道这个社会发展之后大概是一个什么样子，我们就求出这个社会所有可能的样 子，比如我们只关心每个人有多少