§13.3.1等腰三角形性质.doc

13.3.1等腰三角形性质淮南市大通区黄山中学 郑仁义一、教材分析:等腰三角形是初中阶段重要而基础的几何图形，不仅本身具有特殊的性质而且也是后续学习等边三角形、菱形、正方形、圆等内容的基础。本节课从轴对称入手，通过轴对称引导学生发现等腰三角形的性质，并在此基础上引导学生获得添加辅助线的方法。在教学中，引导学生先观察，再通过折叠操作，发现其对称性，猜想结论，最后通过推理论证得出结论。而结论的重要性在于为解题中证明线段相等、角相等、两条直线垂直等提供了新的策略和方法。二、学情分析：本节课是在学生已经学习了三角形的基本概念、全等三角形和轴对称知识的基础上展开的，虽然有了这些知识，但是在证明过程中“辅助线”的添加会使学生感到茫然。由于缺乏经验，学生可能会失败，不过这一探究活动正是数学课堂必不可少的。面对学生的疑问和困惑，教师可适时引导学生从前面剪等腰三角形和折叠的探究活动寻找思路，最后形成解题策略。三、教学目标:（一）知识与技能：探索并证明等腰三角形的两个性质。并能利用两条性质证明角相等、线段相等和两条直线垂直。（二）过程与方法：经历观察、操作、猜想、证明等过程发展学生的合情推理意识，并使学生感受研究数学问题的基本思路和方法。（三）、在探究的过程中培养学生的逻辑思维能力和思维的严谨性，通过解决问题帮助学生形成解题策略。四、教学重、难点:重点：探索并证明等腰三角形的性质。难点:性质证明过程中“辅助线”的添加和“三线合一”的理解。五、教学方法:观察发现、探究归纳法等。六、教具准备:剪刀、长方形纸、三角板等。七：教学过程：（一）、复习引入1、师：前面我们学习了轴对称图形及其作法，请同学们思考我们学过的几何图形中有哪些是轴对称图形？（教师适当引导学生回答，最后师生归纳为线段、角、正方形、长方形、圆。）师：除了这些几何图形以外有没有轴对称图形了呢？我们前面学习的三角形是不是轴对称图形呢？（学生可能有不同答案，承认学生认知的差异并让不同答案的学生举例。） 师：那么满足什么样的条件三角形才是轴对称图形呢？ 结合上面的回答和轴对称的定义，师生共同归纳为：将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形 2、通过多媒体技术播放图片，引导学生抽象出图片中的几何图形等腰三角形。（展示课题）（设计意图：通过轴对称和图片引入等腰三角形，不仅为利用轴对称性探究等腰三角形的性质做铺垫，而且也可以让学生感受等腰三角形在生活中的应用。）（二）、导入新课 1、学生回忆等腰三角形的相关概念（腰、底、顶角、底角）。在此基础上教师提出：我们知道等腰三角形就是有两边相等的三角形，那么我们如何做出一个等腰三角形呢？请同学们仿造课本中的方法，利用手中的剪刀和长方形纸片做出一个等腰三角形。你能说说手中的三角形为什么是等腰三角形吗？（设计意图：回忆相关概念是为接下来描述性质做准备，特别是对“三线合一”的描述需要用更加准确的语言。而利用轴对称性剪出等腰三角形是为探究性质做直观的准备。）2、仔细观察手中的纸片，你能发现它有什么其他的特征？学生独立思考后尝试概括自己手中等腰三角形纸片的特征，然后汇报交流。在观察过程中学生如果不能发现结论，教师可以引导学生沿折痕对折然后再观察重合的线段和角。教师通过几何画板工具展示等腰三角形，并通过演示折叠动画引导学生观察其中相等的线段和角。在此基础上猜想等腰三角形的特征。问题1：等腰三角形的大小、形状各不相同，是否都具有上面的特征呢？学生交流手中的纸片，相互比较，得出结论。问题2：你能概括出等腰三角形的特征吗？学生交流讨论，教师适时引导，得出结论并板书。（设计意图：通过丰富的感性材料，引导学生概括出等腰三角形共同的，本质的特征，由特殊到一般，逐步培养学生的抽象概括能力。）3、证明猜想一：你能对等腰三角形的第一个特征进行证明吗？（1）如何对文字性的命题进行证明？（2）如何证明两个角相等？（3）如何构造两个全等的三角形？你为什么想到这样做？学生根据问题画出图形，写出已知和求证，并按照提示语获得证明的思路。学生动手证明，并请一名同学板演证明过程。在这一过程中学生可能有不同的证明思路，教师给予肯定，并让学生感受方法的多样性。师：明确性质1，给出其简要形式，并让学生尝试用几何语言加以描述，加深学生对性质的理解。（设计意图：通过问题引导学生从感性的认识过渡到理性的证明，并能从中掌握解决问题的策略。）4、证明猜想二问题1：对于特征2，你是怎么理解这句话的？引导学生用自己的语言加以描述，并肯定答案的多样性。师生完善后得出：等腰三角形顶角的平分线，既是底边的高线，又是底边的中线。等腰三角形底边的高线，既是顶角的平分线，又是底边的中线。等腰三角形底边的中线，既是底边的高线，又是顶角的平分线。（设计意图：若要使学生真正理解“三线合一”的性质必须把它分解为三个命题,感受其实质内容。）问题2：若让你选择其中一个进行证明，你能写出已知和求证吗？通过性质1的证明从中你受到了哪些启发？在学生交流讨论的基础上，教师给出提示：可以先做出这三条线段的任意一条，然后证明它也是其他两条线段。之后让学生说出已知和求证并动手证明，请一名同学展示成果，教师肯定学生的不同答案。最后教师明确性质2,给出简要形式，并让学生用几何语言加以描述。（设计意图：学生利用前面的解题经验，感受辅助线的作用。并且提高学生学生添加辅助线的自觉性和能动性，形成解题策略。）问题3：其他三角形是否也具有这样的性质呢？先由学生独立思考，然后再由教师通过几何画板工具演示“三线合一”的动画过程，帮助学生直观的理解这一性质。（设计意图：通过动画演示可以为“三线合一”提供直观的支撑，也说明它是等腰三角形特有的性质。）问题4：根据等腰三角形的两条结论，你认为它们有什么用？学生思考交流，然后汇报，最后师生共同归纳为：可以用来证明两个角相等、两条线段相等以及线段的垂直关系。为了帮助学生记忆并能更好的利用，教师可以引导学生将此性质归纳为由一知二，即在等腰三角形中，知道顶角的平分线、底边的高线、底边的中线任何一条线段，就知道另外的两条。（设计意图：可以使学生进一步理解等腰三角形性质的意义，明确性质在解决问题中的作用，提高学生的解题能力。）问题5：上面的证明过程中，“辅助线”发挥了重要的作用，由此你还能发现等腰三角形具有什么性质?教师引导学生结合本章的内容进行思考。最后引导学生得出等腰三角形的轴对称性。并在此基础上归纳等腰三角形性质3并板书。（设计意图：理解等腰三角形的轴对称性，体会它在探究和证明中的重要作用。）三、练习巩固：（课件）（1）填空：1、等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_。2、等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_。3、等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为_。(2)判断正误：1、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以。2、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。3、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。4、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角。（设计意图：练习1的梯度训练可以使学生进一步巩固等腰三角形的性质1，且可以与三角形内角和等知识结合，有利于优化学生的认知结构。练习2通过转换表述的方式，帮助学生更好的掌握性质2，同时培养学生的空间想象能力。）例：如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数。（课件）分析：利用题目所给的条件结合本节所学习的性质1，可以得出一些相等的角，再利用各角之间的数量关系与三角形的内角和定理，可以列出相应的方程解决问题。解：（可先由学生完成，师再板演示范或展示课件）（设计意图：通过逻辑推理得出等量关系，再通过方程思想解决问题。一方面让学生进一步巩固等腰三角形性质1，同时可以帮助学生形成解题策略。） 解决问题：地震过后，小亮同学用以下的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅垂，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的，他们的判断对吗?为什么？ （设计意图：让学生感受数学在生活中的应用，培养学生应用数学的意识。）四、归纳总结： 思考： 1、本节课学习了等腰三角形的哪些性质？2、我们如何得出这些性质的？3、“三线合一”的含义是什么?举例说明!4、通过本节课你学会了哪些证明线段相等，角相等的方法？ （ 在学生回答的基础上通过知识构图